4.3: Теплопровідність

На малюнку IV.1 показано тепло, що протікає зі швидкістю Dq/dT уздовж бруска площі поперечного перерізу А матеріалу. Існує температурний градієнт по довжині бруса (саме тому по ній стікає тепло). На відстані х від кінця планки температура T; на відстані x + δ x це T + δ T. Зверніть увагу, що якщо тепло тече в позитивному напрямку, як показано, δ T повинен бути негативним. Тобто прохолодніше до правого кінця планки. Температурний градієнт DT/dx негативний. Тепло тече в зворотному напрямку до температурного градієнта.

Ставлення швидкості теплового потоку на одиницю площі до негативного температурного градієнта називається теплопровідністю матеріалу:

\[ \frac{dQ}{dt} = -KA \frac{dT}{dx}.\]

Я використовую символ K для теплопровідності. Інші символи, які часто можна побачити, є k або λ. Його одиницею СІ є W m ⁻¹ K ⁻¹.

Я визначив його в одновимірній ситуації і для ізотропного середовища, в цьому випадку тепловий потік протилежний температурному градієнту. Можна уявити, що в анізотропному середовищі швидкість теплового потоку і температурний градієнт можуть відрізнятися паралельно різним кристалографічним осям. У цьому випадку тепловий потік і градієнт температури не можуть бути строго антипаралельними, а теплопровідність є тензорною величиною. Така ситуація не торкнеться нас в цьому розділі.

Якщо в нашому одновимірному прикладі немає виходу тепла з боків планки, то швидкість потоку тепла по планці повинна бути однаковою по всій планці, а значить, температурний градієнт рівномірний по довжині дроту. Може бути простіше уявити собі відсутність втрат тепла з боків, ніж домогтися цього на практиці. Якби бар розташовувався у вакуумі, не було б втрат від провідності або конвекції, а якби бар був дуже блискучим, було б мало втрат випромінюванням.

Значення порядку величини теплопровідності поширених речовин

Повітря 0,03 Вт, м ⁻¹ К ⁻¹

Вода 0.6

Скло 0,8

Фр 80

Аль 240

Куб 400

Легко уявити, як тепло може проводитися уздовж твердого тіла, при цьому коливання атомів на одному кінці твердого тіла передаються наступним атомам одним атомом, підштовхуючи наступний і так далі. Однак з таблиці видно, і в будь-якому випадку загальновідомо, що деякі речовини (метали) проводять тепло набагато краще за інших. Адже серед металів існує тісна кореляція між тепловою і електричною провідністю (при заданій температурі). Це говорить про те, що механізм теплопровідності в металах такий же, як і для електропровідності. Тепло проводиться в металі насамперед електронами.

Було б цікавою вправою знайти з Інтернету або з інших посилань теплову та електричну провідність ряду металів. Можна виявити, що теплопровідність, K, іноді цитується в незнайомих «практичних» одиницях, таких як BTU на годину на квадратний фут для градієнта температури 1 F° на дюйм, і перетворення їх у одиниці СІ W m ^{−1 K −1} може бути трохи складним завданням. Електричні провідності, σ, дещо зменшуються з підвищенням температури (так само роблять теплопровідності, але скоріше менше), тому важливо було б знайти їх усі при однаковій температурі. Тоді ви могли бачити, чи співвідношення K/σ дійсно однакове для всіх металів при заданій температурі. Це відоме як Закон Відеманна-Франца. Теорія першого порядку (яку ми тут не наводимо) передбачає, що

\[ \frac{K}{ \sigma T} = \frac{1}{3} \left( \frac{ \pi k}{e} \right)^2 = 2.44 \times 10^{-8} \text{W} \Omega \text{K}^{-1}.\]

Тут k - постійна Больцмана, а e - електронний заряд. Виявлено, що цей прогноз добре підкоряється при кімнатних температурах і вище, але при низьких температурах електропровідність швидко зростає зі зниженням температури, і співвідношення починає опускатися значно нижче значення, передбаченого рівнянням 4.2.2, наближаючись до нуля при 0 К.

Читач може бути знайомий з наступними термінами в електриці:

Провідність σ

Провідність G

Питомий опір ρ

Опір R

Вони пов'язані G = 1/ R, σ = 1/ρ, R = ρ л/А, G = σ А/л,

де l і A - довжина і площа поперечного перерізу провідника. Читач, ймовірно, також знає, що опори додають послідовно, а провідності додають паралельно. Ми можемо визначити деякі аналогічні величини, пов'язані з тепловим потоком. Таким чином, питомий опір є зворотним провідності, опір L/A раз питомий опір, провідність A/L раз провідність і так далі. Ці поняття можуть стати в нагоді в наступному жанрі проблем, улюблених екзаменаторами.

Приміщення містить стіни площею А ₁, товщиною d ₁, теплопровідністю К ₁, дверима площею А ₂, товщиною d ₂, теплопровідністю К ₂ та вікном площа А ₃, товщина d ₃, теплопровідність К ₃, Температура всередині T ₁, а температура зовні T ₂. Яка швидкість тепловтрат з приміщення?

У нас є три провідності паралельно:\( \frac{K_1 A_1}{d_1},~ \frac{K_2 A_2}{d_2},\), і\( \frac{K_3 A_3}{d_3}\), і так ми маємо

\[ \frac{dQ}{dt} = \left( \frac{K_1 A_1}{d_1} + \frac{K_2 A_2}{d_2} + \frac{K_3 A_3}{d_3} \right) (T_2 - T_1 ).\]

Звичайно, проблема не повинна бути саме такою. Можливо, вам дають норму тепловтрат і просять знайти площу вікна. Але ви отримуєте загальне уявлення, і ви, ймовірно, зможете придумати кілька прикладів самостійно. Швидкість теплового потоку аналогічна струму, а різниця температур - як ЕРС батареї.