2.3: Неявна диференціація

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76235

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Рівняння 2.2.5 може бути використано для розв'язання задачі диференціації неявної функції. Розглянемо, наприклад, малоймовірне рівняння

\[ \ln ( xy) = x^2 y^3 \label{2.3.1}\]

Обчисліть похідну dy/dx. Було б легко, якби тільки один міг написати це у формі y = щось; але важко (наскільки я знаю, неможливо) написати y явно як функцію\(x\). Рівняння\ ref {2.3.1} неявно відноситься\(y\) до\(x\). Як ми будемо розраховувати\(dy/dx\)?

Крива\(f(x, y) = 0\) може розглядатися як перетин поверхні\(z = f (x , y)\) з площиною\(z = 0\). Таким чином, похідна\(dy/dx\) може розглядатися як межа як\(δx\) і\(δy\) наблизитися до нуля співвідношення\(δy/δx\) в площині\(z = 0\); тобто збереження z постійної і, отже,\(δz\) дорівнює нулю. Таким чином, рівняння 2.2.5 дає нам, що

\[ \frac{dy}{dx} = - \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) / \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right).\]

Наприклад, показати, що для Rquation\ ref {2.3.1}

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{y(2x^2y^3-1)}{x(1-3x^2y^3)}.\]