1.9: Усереднена за часом енергія
- Page ID
- 78863
Оптичні частоти знаходяться в діапазоні 5 × 10 14 Гц, а найшвидші детектори, що працюють на оптичних частотах, мають час інтеграції більше 10 −10 с, тому не існує детектора, який може вимірювати коливання часу електромагнітних полів на оптичних частотах і будь-яких детектор завжди вимірює середнє значення, прийняте за проміжок часу, який є дуже великим порівняно з періодом\(2π/ω\) світлової хвилі, як правило, принаймні на коефіцієнт 10 5 довше. Тому ми обчислюємо середні за такі проміжки часу вектора Пойнтінга та електромагнітної енергії. Оскільки вектор Пойнтінга та щільність енергії залежать нелінійно (квадратично) від амплітуд поля, ми не можемо виконувати обчислення за допомогою складних амплітуд і взяти реальну частину після цього, а мати замість цього почати з реальних величин. Проте виходить, що кінцевий результат можна зручно виразити в терміні комплексних амплітуд поля.
Розглянемо дві часово-гармонічні функції:
\[A(t) = Re [ Ae^{−iωt}]= |A| cos(ϕ_{A} − ωt) \nonumber \]
\[B(t) = Re [ Be^{−iωt}]= |B| cos(ϕ_{B} − ωt) \nonumber \]
з\(A = |A| \exp(iϕA)\) і\(B = |B| \exp(iϕB)\) комплексних амплітуд. Для загальної функції часу\(f(t)\) визначаємо середнє значення часу за інтервал\(T\) за певний час t, за
\[\dfrac{1}{T}\int\limits_{t-T/2}^{t+T/2}f(t')\, dt'. \nonumber \]
де\(T\) набагато більше (скажімо коефіцієнт 10 5), ніж період світла. Очевидно, що для часово-гармонічних полів середнє не залежить від точного часу t, в яке воно обчислюється. і тому беремо t = 0 і запишемо
\[⟨f(t)⟩ = \lim_{T→∞}\dfrac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}f(t)\, dt. \nonumber \]
З A (t) = Re [Ae −iωt] =1/2 [Ae −iωt +A*e iωt], де A∗ - комплексний кон'югат A; і з подібним виразом для B (t) випливає, що
\[ \lim_{T→∞}\dfrac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}A(t)B(t)\, dt= \lim_{T→∞}\dfrac{1}{4T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}[AB* + A*B + ABe^{−2iωt} + A*B*e^{2iωt}]\, dt= \lim_{T→∞}\dfrac{1}{4T}[AB* + A*B + AB\dfrac{e^{iωt}-e^{-iωt}}{2iTω} + A*B*\dfrac{e^{iωt}-e^{-iωt}}{2iTω}]=\dfrac{1}{2}Re[AB*], \nonumber \]
Цей важливий результат буде використовуватися знову і знову. Словами:
Середнє значення добутку двох часово-гармонічних величин за тривалий проміжок часу в порівнянні з періодом, становить половину дійсної частини добутку комплексної амплітуди однієї величини і складного сполучення іншого.
Якщо застосувати це до вектора Пойнтінга загального часово-гармонічного електромагнітного поля: ε (r, t) = Re [E (r) e −iωt], H (r, t) = Re [H (r) e −iωt], то знайдемо, що час- усереднений потік енергії, що позначається S (r), задається
\[S(r)= \lim_{T→∞}\dfrac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}S(r,t)\, dt=\dfrac{1}{2}Re[E×H*]. \nonumber \]
Аналогічно, усереднена за часом щільність електромагнітної енергії становить:
\[⟨U_{en}(r)⟩= \lim_{T→∞}\dfrac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}U_{en}(r,t)\, dt=\dfrac{1}{2}Eε(r)· ε(r)*+\dfrac{μ_{0}}{2}H(r) · H(r)*=\dfrac{1}{2}E|ε(r)|^2+\dfrac{μ_{0}}{2}|H(r)|^2. \nonumber \]
Для окремого випадку плоских хвиль (1.6.12), (1.6.13) в середовищі без поглинання отримаємо:
\[S=\dfrac{1}{2}(\dfrac{E}{μ_{0}})^{1/2}Re [AA*] \hat{z} =\dfrac{1}{2}(\dfrac{E}{μ_{0}})^{1/2}|A|^2\hat{z}. \nonumber \]
Довжина вектора (\(\PageIndex{8}\)) - це усереднений за часом потік енергії на одиницю площі в напрямку плоської хвилі і прийнято називати інтенсивністю хвилі. Для усередненої за часом щільності електромагнітної енергії плоської хвилі отримаємо:
\[⟨U_{en}⟩=\dfrac{1}{2}E|A|^2+\dfrac{1}{2μ_{0}}μ_{0}E|A|^2=E|A|^2. \nonumber \]
Для плоської хвилі як усереднений за часом потік енергії, так і усереднена за часом густина енергії пропорційні модулю пружності в квадраті складного електричного поля.