2.7: Приклади

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79064

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Реальний об'єкт знаходиться в 15 см від сходяться лінзи фокусної відстані 25 см. Де знаходиться зображення? Опишіть його.

Світло розходиться від реального об'єкта, тому початкова конвергенція негативна. \(C_1\)= −1/15 см ⁻¹. Потужність сходяться лінзи\(P\) = + 1/25 см ⁻¹. Остаточна конвергенція

\( C_2 = -\frac{1}{15}+ \frac{1}{25} = -\frac{2}{75}\)см ⁻¹.

Зображення знаходиться на відстані 37,5 см від об'єктива. Світло розходиться після того, як він покидає лінзу. Зображення знаходиться на тій же стороні об'єктива, що і об'єкт. Він являє собою віртуальний образ. Збільшення є\(C_1/C_2 = +2.5\). Зображення прямостояче і збільшене в розмірах.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Грані двоопуклої лінзи мають радіуси кривизни 20 см і 30 см, а показник заломлення скла дорівнює 1,5. Що таке фокусна відстань об'єктива?

Зверніться до малюнка II.6.

Початкова збіжність дорівнює нулю. Остаточне зближення буде\(1/f\). Потужність першої поверхні -\( \frac{1.5-1.0}{+20}\) см ⁻¹ .Потужність другої поверхні -\(\frac{1.0-1.5}{-30}\) см ⁻¹. Відзначимо, що радіус кривизни другої поверхні при зіткненні зі світлом негативний.

Тому

\( \frac{1}{f} = \frac{1.5-1.0}{+20}+\frac{1.0-1.5}{-30}.\)

\(f\)= 24 см.

Лінза - це сходяться лінза.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Яка фокусна відстань цієї лінзи, в якій я відзначив радіуси кривизни в см і показники заломлення?

Потужність, яка є зворотною фокусної відстані, - це сума повноважень трьох інтерфейсів:

\(\frac{1}{f} = \frac{1.5-1.0}{20}+ \frac{1.6-1.5}{-18} + \frac{1.0-1.6}{40} = + 0.004\)см ⁻¹. \( \qquad \therefore \, f\)= +225.0 см.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Давайте тепер перейдемо безпосередньо до неможливої складної проблеми Розділу 2.1

Я позначив в декількох показниках заломлення, і, курсивом, радіуси кривизни і відстань віртуального об'єкта, в см. Пам'ятайте, що, незважаючи на малюнок, ми припускаємо, що всі лінзи тонкі - тобто їх товщина незначна порівняно з іншими відстанями.

Система занурена в воду, тому початкове сходження становить +1,33/50. Ми збираємося знайти остаточне зближення. До початкової збіжності ми збираємося додати послідовно сили перших трьох заломлюючих інтерфейсів, потім відбиває поверхню, а потім три заломлюючі поверхні знову на виході. Слідкуйте за показниками заломлення і ознаками радіусів кривизни в кожному семестрі. Розрахунок йде так - так швидко, як ви можете написати: Остаточна конвергенція =

\( +\frac{1.33}{50} + \frac{1.50-1.33}{35}+\frac{1.00-1.50}{-38}+\frac{1.60-1.00}{-28}+\frac{-2\times1.60}{+26}+\frac{1.00-1.60}{+28} + \frac{1.50-1.00}{+38}+\frac{1.33-1.50}{-35} \)см ⁻¹.

Ви можете майже подвоїти швидкість, коли розумієте, що потужність переломлюючого інтерфейсу однакова, незалежно від того, яким шляхом ви йдете (зліва направо або справа наліво).

Отримуємо:

Остаточне збіжність = −0,103304 см ⁻¹.

Кінцева конвергенція - це показник заломлення, розділений на відстань зображення, тому відстань зображення від об'єктива (пам'ятайте, що це тонка лінза, тому не запитуйте, яка частина об'єктива) становить 1,33 ÷ 0,103304 або 12,9 см.

Світло розходиться після того, як він покидає лінзу. Він знаходиться на тій же стороні об'єктива, що і віртуальний об'єкт. Він являє собою віртуальний образ. Збільшення є початковою збіжністю ÷ кінцевою збіжністю і, отже, становить −0,257. Зображення перевернуто і зменшується в розмірах.

Цей приклад, можливо, показує найбільшу потужність (каламбур не призначений) методу збіжності - тобто у роботі з багатьма оптичними елементами один за одним. Немає необхідності в заплутаних аргументах типу «реальне зображення, утворене першим елементом, діє як віртуальний об'єкт для другого елемента, а потім...».

Приклад\(\PageIndex{5}\)

На лінзі проводяться три спостереження з метою визначення радіусів кривизни двох її поверхонь і показника заломлення її скла.

я.) Реальний предмет розміщується на 40 см зліва від об'єктива, а праворуч формується реальне зображення на 300 см.

Питання не говорить нам, що це за об'єктив. Припустимо, що він двоопуклий; незабаром з'ясуємо, чи ні.

Перший експеримент говорить нам:

\( \frac{1}{+300} = -\frac{1}{40} + \frac{n-1}{r_1} + \frac{1-n}{-r_2}. \)

Тобто

\[(n-1) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right) = 0.0283 \text{cm}^{-1} \label{eq:2.7.1} \]

ii.) Лінза плаває на поверхні ртуті,\(r_1\) -стороною вгору. Над ним розміщується реальний предмет на 60 см, а над ним формується реальне зображення на 50 см.

Другий експеримент говорить нам:

\( +\frac{1}{50} = -\frac{1}{60}+\frac{n-1}{r_1}+\frac{-2n}{-r_2}+ \frac{1-n}{-r_1} \).

Тобто:

\[\frac{n-1}{r_1}+\frac{n}{r_2} = 0.0183. \label{eq:2.7.2} \]

ііі.) Лінза плаває на поверхні ртуті,\(r_2\) -стороною вгору. Над ним розміщується реальний предмет на 60 см, а над ним формується реальне зображення на 6 см. (Малюнок II.10.)

Необхідно нагадати собі, що, незважаючи на малюнок, лінза тонка і всі кути невеликі. Третій експеримент говорить нам:

\( +\frac{1}{6} = -\frac{1}{6-}+\frac{n-1}{r_2}+\frac{-2n}{-r_1}+\frac{1-n}{-r_2}. \)

Тобто

\[ \frac{n-1}{r_2} + \frac{n}{r_1} = 0.0916. \label{eq:2.7.3} \]

Таким чином, ми маємо три нелінійні рівняння для розв'язання трьох невідомих. Відомо, що три нелінійні рівняння змушують дорослих чоловіків тремтіти у взутті, але, на щастя, ці три тривіальні для вирішення. Це може допомогти, щоб дозволити\(s = 1/r_1\) і\(t = r_2\), коли рівняння стануть

\[(n-1)(s+t) = 0.0283. \label{eq:2.7.4} \]

\[ (n-1)s+nt= 0.0183. \label{eq:2.7.5} \]

\[ (n-1)t+ns = 0.0916. \label{eq:2.7.6} \]

Незабаром приїжджає:\(\underline{n = 1.53, \, r_1 = 15.8\space \text{cm},\space r_2 = −100.0 \, \text{cm}}\).

Наше припущення, що лінза двоопукла, було неправильним. Друга поверхня - навпаки, а кришталик - це меніск сходяться лінзи.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Сходжується лінза формує реальне зображення реального об'єкта. Показати, що найменша відстань між реальним об'єктом і\(4f\) реальним зображенням дорівнює і що тоді збільшення дорівнює −1. Пам'ятайте про це, коли ви намагаєтеся показати слайди у своїй вітальні, і ви, здається, не можете сфокусувати проектор на екрані.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Екран знаходиться на фіксованій відстані від реального об'єкта. Об'єктив, що сходиться, розміщується між об'єктом і екраном таким чином, щоб кинути збільшене перевернуте реальне зображення на екран. Потім об'єктив переміщується до екрана, і після того, як він перемістився на відстань\(d\), видно, що він кидає на екран ще одне справжнє, перевернуте зображення, але цього разу зменшилося. Показати, що, якщо відстань між об'єктом і екраном є\(w\), фокусна відстань об'єктива дорівнює

\( f= \frac{w^2-d^2}{4w}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Жук на осі сходиться лінзи і на відстані більше, ніж\(2f\) від неї біжить до об'єктива зі швидкістю\(v\). Покажіть, що його реальне зображення рухається зі швидкістю\(m^2 v\), де\(m\) знаходиться поперечне збільшення. У якому напрямку рухається зображення — назустріч чи подалі від об'єктива?

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Два середовища з показниками заломлення\(n_1\) і\(n_2\) розділені сферичним заломлюючим інтерфейсом або лінзою — неважливо, який. Об'єкт довжини\(\Delta p\) лежить уздовж осі в\(n_1\) сторону. В результаті довжина зображення дорівнює\(\Delta q\). Співвідношення\(\Delta q/ \Delta p \) називається l поздовжнім збільшенням. Покажіть, що

\( m_\text{long} = \frac{n_2}{n_1}m^2_\text{lat}\).

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Коли сходяться лінза поміщається у воду (коефіцієнт заломлення =\(\frac{3}{4}\)), її фокусна відстань вдвічі більше, ніж, коли вона знаходиться в повітрі. Який показник заломлення скла, з якого виготовлена лінза?