12.3: Модель Еренфест
- Page ID
- 79568
12.3.1 Опис моделі
Гра з перегортанням монет - це «дводержавна» ланцюжок Маркова. Для застосувань фізики нас часто цікавлять ланцюги Маркова, де кількість можливих станів величезна (наприклад, термодинамічні мікростани). Модель Ehrenfest - приємний і простий приклад, який ілюструє багато властивостей таких ланцюгів Маркова. Ця модель була введена командою чоловіка-фізика Павла і Тетяни Еренфест в 1907 році, з метою вивчення фізики дифузії.
Припустимо, у нас є дві коробки, позначені A і B, і загальна кількість\(N\) помітних частинок для розподілу між двома коробками. У даний момент часу нехай будуть\(n\) частинки в коробці А, а отже,\(N-n\) частинки в коробці B. Тепер ми неодноразово застосовуємо наступну процедуру:
- Випадковим чином вибираємо одну з\(N\) частинок (з однаковою ймовірністю).
- З імовірністю\(q\) перемістіть обрану частинку з якого б ящика вона не опинилася, в іншу коробку. В іншому випадку (з ймовірністю\(1-q\)) залиште частинку в її поточній коробці.
Якщо є\(n\) частинки в коробці А, то ми маємо\(n/N\) ймовірність вибору частинки в полі А, а потім ймовірність перемістити цю частинку в поле B. Дотримуючись аналогічної логіки для всіх інших можливостей, ми досягаємо трьох можливих результатів:\(q\)
- Переміщення частинки від А до Б: ймовірність\(nq/N\)
- Переміщення частинки від B до A: ймовірність\((N-n)q/N\)
- Залиште систему без змін: ймовірність\(1-q\)
Ви можете перевірити, що (i) ймовірності підсумовуються до\(1\), і (ii) це резюме відповідає дійсності для кінцевих випадків\(n=N\) і\(n=0\).
12.3.2 Маркова ланцюг Опис
Ми можемо позначити стани системи, використовуючи ціле число\(n \in \{0, 1, \dots, N\}\), відповідне кількості частинок у полі А.\(N+1\) Можливі стани, а діаграма стану виглядає наступним чином:
Припустимо, ми починаємо в стані\(n_{0}=N\), помістивши всі частинки в поле А. Як ми неодноразово застосовуємо процедуру Еренфеста, система проходить послідовність станів\(\{n_0 = N, n_1, n_2, n_3, \dots\}\), яку можна охарактеризувати як ланцюг Маркова. Побудувавши стан\(n_{k}\) проти числа кроку\(k\), ми бачимо випадкову траєкторію, подібну до наведеної нижче:
Зверніть увагу, що система швидко відходить від свого початкового стану\(n=50\), і осідає в поведінку, де вона коливається навколо середнього стану\(n=25\). Шукатимемо стаціонарний розподіл, при якому ймовірність знаходження в кожному стані незмінна на наступних кроках. Дозвольте\(\pi_{n}\) позначити стаціонарну ймовірність перебування в стані\(n\). Згідно з правилом Байєса, цей розподіл ймовірностей повинен задовольнити
\[\begin{align} \pi_n &= P(n|n-1) \pi_{n-1} + P(n|n) \pi_n + P(n|n+1) \pi_{n+1} \\ & = \frac{N-n+1}{N} \,q\, \pi_{n-1} + (1-q) \pi_n + \frac{n+1}{N}\,q\, \pi_{n+1}. \end{align}\]
Ми можемо розібратися,\(\pi_{n}\) використовуючи два різних методи. Перший метод полягає у використанні наших знань статистичної механіки. У стаціонарному розподілі кожна окрема частинка повинна мати однакові шанси опинитися в коробці А або коробці Б. Існують\(2^{N}\) можливі коробкові призначення, кожне з яких енергетично еквівалентно і, отже, мають рівні ймовірності. Звідси ймовірність знаходження\(n\) частинок в коробці А - це кількість способів збирання\(n\) частинок\(N \choose n\), яке ділиться на кількість можливих боксових завдань. Це дає
\[\pi_n = {N\choose n} \, 2^{-N}.\]
Підставивши в правило Байєса формулу, ми можемо переконатися, що цей розподіл дійсно є стаціонарним. Зверніть увагу, що\(\pi_{n}\) виявляється незалежним від\(q\) (ймовірність перенесення обраної частинки в іншу коробку). Інтуїтивно\(q\) керує тим, як «швидко» ми переносимо частинки з однієї коробки в іншу. Тому він повинен впливати на те, наскільки швидко система досягає свого стаціонарного або «рівноважного» поведінки, але не самого стаціонарного розподілу.
12.3.3 Детальний баланс
Є ще один спосіб з'ясувати\(\pi_{n}\), який не покладатися на вгадування відповіді одним пострілом. Припустимо, ми вибираємо пару сусідніх станів\(n+1\),\(n\) і, і припустимо, що швидкість, з якою відбувається\(n \rightarrow n+1\) перехід, така ж, як і швидкість\(n \rightarrow n+1\), з якою відбувається протилежний перехід. Така умова гарантовано не тримається, але якщо воно тримається для кожної пари станів, то розподіл ймовірностей обов'язково стаціонарний. Така ситуація називається детальним балансом. З точки зору ймовірностей стану та ймовірностей переходу, детальний баланс вимагає
\[P(n+1|n) \, \pi_n = P(n|n+1) \, \pi_{n+1} \qquad \forall n \in \{0,\dots,N\},\]
для цього Маркова ланцюг. Підключивши ймовірності переходу, отримаємо рекурсійне відношення
\[\pi_{n+1} = \frac{N-n}{n+1}\, \pi_{n}.\]
Те, що зручно в цьому рекурсійному відношенні, полягає в тому, що воно включає лише\(\pi_{n}\) і\(\pi_{n+1}\), на відміну від відношення правил Байєса, яке також включало\(\pi_{n-1}\). За допомогою індукції ми можемо тепер легко показати, що
\[\pi_n = {N\choose n} \pi_0.\]
Зберігаючи ймовірність\(\sum_n \pi_n = 1\), ми можемо це показати\(\pi_0 = 2^{-N}\). Це призводить до
\[\pi_n = {N\choose n} 2^{-N},\]
що є результатом, про який ми раніше здогадалися, використовуючи чисто статистичні аргументи.
Для більш складних ланцюгів Маркова, можливо, неможливо вгадати стаціонарний розподіл; в таких випадках детальний аргумент балансу часто є найкращим підходом. Однак зауважте, що детальна умова балансу не гарантовано відбудеться. Є деякі ланцюги Маркова, які не підкоряються детальному балансу, тому нам завжди потрібно перевіряти, чи результат деталізованої умови балансу є самоузгодженим (тобто, що він дійсно може підкорятися кожній парі станів).