10: Чисельне інтегрування ОДУ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79618

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У статті описано числові методи розв'язання початково-значущої задачі, яка є стандартним типом задачі, що виникає у багатьох галузях фізики. Припустимо, у нас є система, стан якої в часі\(t\) описується вектором\(\vec{y}(t)\), який підпорядковується звичайному диференціальному рівнянню першого порядку (ODE) для виду:

\[\frac{d\vec{y}}{dt} = \vec{F}\Big(\vec{y}(t), t\Big).\]

Ось\(\vec{F}\) деяка задана векторно-значна функція, входами якої є (i) миттєвий стан\(\vec{y}(t)\) і (ii) поточний час\(t\). Потім, з огляду на початковий час\(t_{0}\) і початковий стан\(\vec{y}(t_0)\), мета полягає в тому, щоб знайти\(\vec{y}(t)\) для наступних разів.

Концептуально задача початкового значення відрізняється від задачі розв'язання ОДУ, розглянутої в статті про скінченно-різницеві рівняння. Там нам дали пару меж з певними граничними умовами, і мета полягала в тому, щоб знайти рішення між двома межами. У цьому випадку нам дається стан в початковий час\(t_{0}\), і наша мета - знайти\(\vec{y}(t)\) для себе якийсь набір майбутніх часів\(t > t_0\). Це іноді називають «інтеграцією» ОДА, оскільки рішення має вигляд

\[\vec{y}(t) = \vec{y}(t_0)\, +\, \int^t_{t_0} dt' \;\vec{F}\Big(\vec{y}(t'), t'\Big).\]

Однак, на відміну від звичайного числового інтегрування (тобто обчислення певного інтеграла), значення цілого числа не відомо заздалегідь, через\(\vec{F}\) залежність від невідомого\(\vec{y}(t)\).