10: Чисельне інтегрування ОДУ

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 9.5: Інтеграція Монте-Карло
- 10.1: Приклад- рівняння руху в класичній механіці

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У статті описано числові методи розв'язання початково-значущої задачі, яка є стандартним типом задачі, що виникає у багатьох галузях фізики. Припустимо, у нас є система, стан якої в часі $t$ описується вектором $\vec{y}(t)$ , який підпорядковується звичайному диференціальному рівнянню першого порядку (ODE) для виду:

$\frac{d\vec{y}}{dt} = \vec{F}\Big(\vec{y}(t), t\Big).$

Ось $\vec{F}$ деяка задана векторно-значна функція, входами якої є (i) миттєвий стан $\vec{y}(t)$ і (ii) поточний час $t$ . Потім, з огляду на початковий час $t_{0}$ і початковий стан $\vec{y}(t_0)$ , мета полягає в тому, щоб знайти $\vec{y}(t)$ для наступних разів.

Концептуально задача початкового значення відрізняється від задачі розв'язання ОДУ, розглянутої в статті про скінченно-різницеві рівняння. Там нам дали пару меж з певними граничними умовами, і мета полягала в тому, щоб знайти рішення між двома межами. У цьому випадку нам дається стан в початковий час $t_{0}$ , і наша мета - знайти $\vec{y}(t)$ для себе якийсь набір майбутніх часів $t > t_0$ . Це іноді називають «інтеграцією» ОДА, оскільки рішення має вигляд

$\vec{y}(t) = \vec{y}(t_0)\, +\, \int^t_{t_0} dt' \;\vec{F}\Big(\vec{y}(t'), t'\Big).$

Однак, на відміну від звичайного числового інтегрування (тобто обчислення певного інтеграла), значення цілого числа не відомо заздалегідь, через $\vec{F}$ залежність від невідомого $\vec{y}(t)$ .