1.1: Вступ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79651

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Математична фізика оперує поєднанням трьох основних галузей математики: геометрії, алгебри та нескінченно малого аналізу. Взаємодія цих елементів зазнала значних змін з початку століття.

У класичній фізиці центральну роль відіграє аналіз, зокрема диференціальні рівняння. Цей формалізм найбільш гармонійно доповнюється Гіббсівською векторною алгеброю і численням для врахування. просторових, геометричних властивостей частинок і полів.

Мало хто теоретики трудилися так само терпляче, як Гіббс, щоб встановити найпростіший можливий формалізм для задоволення конкретної потреби. Його успіх можна оцінити по тому факту, що майже через століття - його обчислення, в початковому позначенні, знаходиться в універсальному вживанні. Однак, як тільки були використані всі спрощення, дозволені в класичній теорії, не залишилося резервної здатності мати справу з квантовою механікою і відносністю. Розрив у класичній алгебраїчній структурі був доповнений тензорами Мінковського та Гільбертовими векторами, матричними алгебрами, спінорами, групами Лі та безліччю інших конструкцій.

На жаль, переваги, отримані від підвищеної потужності та витонченості нового алгебраїчного обладнання, затьмарені побічними ефектами. Існує розповсюдження методів перекриття із занадто малою стандартизацією.

Крім того, хоча алгебри зберігають невизначено геометричний характер, «простори», про які йдеться, є математичними абстракціями з, але мізерним зверненням до звичайної просторової інтуїції.

Ці особливості є природними наслідками швидкого зростання, які можна виправити шляхом консолідації та впорядкування; проблема полягає в адаптації Гіббсійського принципу економіки до більш складних умов.

Цей курс є доповіддю про виконання такого проекту. Наш акцент на формалізмі не означає нехтування концептуальними проблемами. Насправді, найбільш корисним аспектом нашої консолідації є результуюча концептуальна ясність.

Центральна ідея цього підходу полягає в тому, що теорія груп надає нам гнучку та всебічну основу для опису та класифікації фундаментальних фізичних процесів. Навряд чи варто стверджувати, що цей метод дійсно важливий в сучасній фізиці, все ж його можливості ще далеко не вичерпані. Це може випливати з тенденції вдаватися до теорії груп лише для складних проблем, коли інші методи виходять з ладу або стають занадто громіздкими. Як результат, дискусії, як правило, є складними та абстрактними.

Відмінною рисою справжнього методу є початок з елементарних проблем, але ставитися до них з просунутої точки зору, і узгодити інтуїтивне тлумачення з плавним переходом до більш глибоких проблем. Зосереджуючись на теорії груп з самого початку, ми можемо повною мірою використовувати її об'єднуючу силу.

Як вже говорилося вище, це звіт про незавершену роботу. Хоча ми обмежимося проблемами, які потрапляють в сферу «консолідованої» теорії, ми зможемо обговорити деякі концептуальні проблеми квантової механіки.