14.2: Світло як частинка

Єдине, що заважає моєму навчанню, - це моя освіта. - Альберт Ейнштейн

Радіоактивність є випадковою, але чи виявляють закони фізики випадковість в інших контекстах, крім радіоактивності? Так. Радіоактивний розпад був просто хорошим манежем, щоб ми почали з понять випадковості, тому що всі атоми даного ізотопу ідентичні. Запанчивши манеж необмеженим запасом ідентичних атом-іграшок, природа допомогла нам усвідомити, що їх подальша поведінка може бути різним незалежно від їх первісної ідентичності. Тепер ми готові залишити манеж, і подивитися, як випадковість вписується в структуру фізики на самому фундаментальному рівні.

Закони фізики описують світло і матерію, а квантова революція переписала обидва опису. Радіоактивність була хорошим прикладом поведінки матерії таким чином, що не відповідає класичній фізиці, але якщо ми хочемо потрапити під капот і зрозуміти, як відбуваються некласичні речі, буде легше зосередитися на світлі, а не на матерії. Радіоактивний атом, такий як уран-235, - це все-таки надзвичайно складна система, що складається з 92 протонів, 143 нейтронів і 92 електронів. Світло, однак, може бути простою синусоїдою.

Проте успішною була класична хвильова теорія світла - дозволяючи, наприклад, створити радіо та радіолокацію, вона все ще не змогла описати багато важливих явищ. Прикладом, який зараз представляє великий інтерес, є те, як озоновий шар захищає нас від небезпечної короткохвильової ультрафіолетової частини сонячного спектру. У класичному описі світло - це хвиля. Коли хвиля переходить у середовище та назад із нього, її частота незмінна, і хоча її довжина хвилі змінюється, поки вона знаходиться в середовищі, вона повертається до свого початкового значення, коли хвиля знову з'являється. На щастя для нас, це зовсім не те, що робить ультрафіолетове світло, коли воно проходить через озоновий шар, або шар взагалі не пропонував би захисту!

13.2.1 Докази світла як частинки

Довгий час фізики намагалися пояснити проблеми з класичною теорією світла як виникають внаслідок недосконалого розуміння атомів і взаємодії світла з окремими атомами і молекулами. Наприклад, парадокс озону можна було б пояснити неправильним припущенням про те, що озоновий шар можна вважати гладкою, безперервною речовиною, коли насправді він був зроблений з окремих молекул озону. Лише в 1905 році Альберт Ейнштейн кинув рукавицю, припускаючи, що проблема не має нічого спільного з деталями взаємодії світла з атомами і всім, що стосується фундаментальної природи самого світла.

a/ Цифрова камера зображення диммерних і диммерних джерел світла. Точки - це записи окремих фотонів.

У ті часи дані були схематичними, ідеї розпливчастими, а експерименти важко інтерпретувати; потрібен був такий геній, як Ейнштейн, щоб прорізати зарості плутанини і знайти просте рішення. Однак сьогодні ми можемо отримати прямо до суті справи з шматочком звичайної побутової електроніки, цифровою камерою. Замість плівки цифрова камера має комп'ютерний чіп, поверхня якого розділена на сітку світлочутливих квадратів, званих «пікселями». У порівнянні з зерном сполуки срібла, що використовується для виготовлення звичайної фотоплівки, піксель цифрової камери активується кількістю світлової енергії на порядки меншою. Ми можемо дізнатися щось нове про світло, використовуючи цифрову камеру для виявлення меншої та меншої кількості світла, як показано на малюнку а. Рисунок а/1 є фальшивим, але /2 і /3 - це реальні цифрові зображення камери, зроблені професором Лайманом Пейджем з Прінстонського університету в якості демонстрації в класі. Рисунок а/1 - це те, що ми побачили б, якби ми використовували цифрову камеру, щоб сфотографувати досить тьмяне джерело світла. На малюнках a /2 та /3 інтенсивність світла різко зменшувалася, вставивши напівпрозорі поглиначі, такі як тонований пластик, що використовується в сонцезахисних окулярах. Переходячи від /1 до /2 до /3, все більше і більше світлової енергії викидається поглиначами.

b/A хвиля частково поглинається.

Результати кардинально відрізняються від того, що ми очікували на основі хвильової теорії світла. Якби світло було хвилею і нічого, крім хвилі, b, то поглиначі просто скоротили б амплітуду хвилі по всьому хвильовому фронту. Весь чіп цифрової камери буде освітлений рівномірно, і ослаблення хвилі з поглиначем означало б, що кожен піксель займе багато часу, щоб увібрати достатню кількість енергії для реєстрації сигналу.

с/Потік частинок частково поглинається.

Але цифри a /2 та /3 показують, що деякі пікселі приймають сильні удари, тоді як інші взагалі не збирають енергії. Замість хвильової картини зображення, яке природно викликається даними, - це щось більше схоже на град куль з кулемета, c. Кожна «куля» світла, мабуть, несе лише крихітну кількість енергії, тому для їх виявлення індивідуально потрібна чутлива цифрова камера, а не око або шматок плівки.

Хоча Ейнштейн інтерпретував різні спостереження, до такого висновку він дійшов у своїй роботі 1905 року: що чиста хвильова теорія світла є надмірним спрощенням, і що енергія променя світла приходить кінцевими шматками, а не плавно поширюється по всій області простору.

Тепер ми вважаємо ці шматки частинками світла і називаємо їх «фотонами», хоча Ейнштейн уникав слова «частинка», а слово «фотон» було придумано пізніше. Незалежно від слів, біда полягала в тому, що хвилі і частинки здавалися суперечливими категоріями. Реакцію на папір Ейнштейна можна було б люб'язно охарактеризувати як енергійно скептичну. Навіть через двадцять років Ейнштейн писав: «Тому зараз існують дві теорії світла, обидві незамінні, і, як треба визнати сьогодні, незважаючи на двадцять років величезних зусиль фізиків-теоретиків - без будь-якого логічного зв'язку». У решті цієї глави ми дізнаємося, як врешті-решт був вирішений уявний парадокс.

д/Ейнштейн і Сёра: близнюки розлучилися при народженні? Сена Гранде Жатт Жоржа Сєра (19 століття).

Питання для обговорення

◊ Припустимо, хтось спростовує дані цифрової камери на малюнку а, стверджуючи, що випадкова картина точок виникає не через щось фундаментальне про природу світла, а просто тому, що пікселі камери не всі точно однакові - деякі просто більш чутливі, ніж інші. Як ми могли перевірити це тлумачення?

◊ Обговоріть, як принцип відповідності застосовується до спостережень та концепцій, розглянутих у цьому розділі.

13.2.2 Скільки світла один фотон?

Фотоелектричний ефект

Ми бачили докази того, що світлова енергія надходить невеликими шматками, тому наступне питання, яке потрібно задати, природно, скільки енергії в одному шматку. Найпростішим експериментальним шляхом вирішення цього питання є явище, відоме як фотоелектричний ефект. Фотоелектричний ефект виникає, коли фотон вдаряється об поверхню твердого предмета і вибиває електрон. Це відбувається постійно навколо вас. Це відбувається прямо зараз на поверхні вашої шкіри і на папері або екрані комп'ютера, з якого ви читаєте ці слова. Це зазвичай не призводить до будь-якого спостережуваного електричного ефекту, однак, тому що в середньому вільні електрони блукають назад так само часто, як і викидаються. (Якби об'єкт якимось чином втратив значну кількість електронів, його зростаючий чистий позитивний заряд почав би все сильніше притягувати електрони назад.)

e/Апарат для спостереження за фотоефектом. Промінь світла б'є пластину конденсатора всередині вакуумної трубки, а електрони викидаються (чорні стрілки).

На малюнку е показаний практичний метод виявлення фотоефекту. Дві дуже чисті паралельні металеві пластини (електроди конденсатора) запаяні всередині вакуумної трубки, і тільки одна пластина піддається впливу світла. Оскільки між пластинами є хороший вакуум, будь-який викинутий електрон, який, трапляється, спрямований у правильному напрямку, майже напевно досягне іншої пластини конденсатора, не стикаючись з будь-якими молекулами повітря.

Освітлена (нижня) пластина залишається з чистим позитивним зарядом, а неосвітлена (верхня) пластина набуває негативний заряд від відкладених на ній електронів. Таким чином, між пластинами виникає електричне поле, і саме через це поле шляху електронів викривлені, як показано на схемі. Однак, оскільки вакуум є хорошим ізолятором, будь-які електрони, які досягають верхньої пластини, не дають реагувати на електричне тяжіння, стрибнувши назад через зазор. Замість цього вони змушені пробиратися по контуру, проходячи через амперметр. Амперметр дозволяє виміряти силу фотоефекту.

Несподівана залежність від частоти

Фотоелектричний ефект був відкритий безтурботно Генріхом Герцом в 1887 році, коли він експериментував з радіохвилями. Його не особливо цікавило явище, але він помітив, що ефект виробляється сильно ультрафіолетом і слабше - більш низькими частотами. Світло, частота якого була нижчою за певну критичну величину, взагалі не викидав жодних електронів. (Насправді це все було до відкриття Томсоном електрона, тому Герц не описав би ефект з точки зору електронів - ми обговорюємо все з користю заднім числом.) Ця залежність від частоти не мала ніякого сенсу з точки зору класичної хвильової теорії світла. Світлова хвиля складається з електричного і магнітного полів. Чим сильніше поля, тобто тим більше амплітуда хвилі, тим більші сили, які будуть чинити на електрони, які опинилися купалися у світлі. Це повинна була бути амплітуда (яскравість), яка була актуальною, а не частота. Залежність від частоти не тільки доводить, що хвильова модель світла потребує модифікації, але при правильній інтерпретації дозволяє визначити, скільки енергії в одному фотоне, а також призводить до зв'язку між моделями хвиль і частинок, які нам потрібні для їх узгодження.

Щоб досягти будь-якого прогресу, нам потрібно розглянути фізичний процес, за допомогою якого фотон викидає електрон з металевого електрода. Метал містить електрони, які вільно пересуваються. Зазвичай у внутрішній частині металу такий електрон відчуває привабливі сили від атомів у всіх напрямках навколо нього. Сили скасовують. Але якщо електрон виявляється на поверхні металу, тяжіння з внутрішньої сторони не врівноважується будь-яким потягом ззовні. Таким чином, вискакуючи через поверхню, електрон втрачає деяку кількість енергії\(E_s\), яка залежить від типу використовуваного металу.

f/Хом'як в її м'яч хом'яка схожий на електрон, що виходить з металу (кахельна підлога кухні) в навколишній вакуум (дерев'яна підлога). Дерев'яна підлога вище, ніж кахельна підлога, тому в міру того, як вона скочується по сходинці, хом'як втратить певну кількість кінетичної енергії, аналогічної\(E_s\). Якщо її кінетична енергія занадто мала, вона навіть не зробить крок.

Припустимо, фотон б'є електрон, знищуючи себе і віддаючи всю свою енергію електрону. (Тепер ми знаємо, що це завжди відбувається в фотоелектричному ефекті, хоча в 1905 році ще не було встановлено, чи був фотон повністю знищений.) Електрон (1) втратить кінетичну енергію через зіткнення з іншими електронами, коли він оре через метал на шляху до поверхні; (2) втрачає кількість кінетичної енергії, рівну,\(E_s\) як вона виходить через поверхню; і (3) втрачає більше енергії на своєму шляху через зазор між пластинами, через електричне поле між пластинами. Навіть якщо електрон виявляється прямо біля поверхні металу, коли він поглинає фотон, і навіть якщо електричне поле між пластинами ще не накопичилося дуже багато,\(E_s\) це гола мінімальна кількість енергії, яку він повинен отримати від фотона, якщо він повинен сприяти вимірюваному струму. Причина використання дуже чистих електродів полягає в тому, щоб мінімізувати\(E_s\) та зробити його певним значенням, характерним для металевої поверхні, а не сумішшю значень через різні типи бруду та сирцю, які присутні в крихітних кількостях на всіх поверхнях у повсякденному житті.

Тепер ми можемо інтерпретувати частотну залежність фотоелектричного ефекту простим способом: мабуть, кількість енергії, якою володіє фотон, пов'язана з його частотою. Низькочастотний червоний або інфрачервоний фотон має енергію менше\(E_s\), ніж, тому промінь з них не буде виробляти ніякого струму. Високочастотний синій або фіолетовий фотон, з іншого боку, упаковує достатньо удару, щоб електрон міг дістатися до іншої пластини. На частотах, що перевищують мінімальні, фотоелектричний струм продовжує збільшуватися з частотою світла через ефекти (1) і (3).

Чисельна залежність між енергією і частотою

Підказаний фотоновим папером Ейнштейна, Роберт Міллікан (з яким ми вперше зіткнулися в розділі 8) з'ясував, як використовувати фотоелектричний ефект для точного зондування зв'язку між частотою та енергією фотонів. Замість того, щоб вдаватися в історичні подробиці фактичних експериментів Міллікана (тривала експериментальна програма, яка займала значну частину його професійної кар'єри), опишемо простий варіант, показаний на малюнку g, який іноді використовується в лабораторних курсах коледжу. ² Ідея полягає в тому, щоб просто висвітлити одну пластину вакуумної трубки світлом однієї довжини хвилі та контролювати різницю напруги між двома пластинами, коли вони заряджаються. Оскільки опір вольтметра дуже високий (набагато вище, ніж опір амперметра), ми можемо припустити до хорошого наближення, що електрони, що досягають верхньої пластини, застрягли там постійно, тому напруга буде продовжувати збільшуватися до тих пір, поки електрони роблять це через вакуумну трубку.

г/Інший спосіб вивчення фотоелектричного ефекту.

У момент, коли різниця напруг досягла значення\(\Delta \) V, мінімальна енергія, необхідна електрону, щоб зробити його з нижньої пластини і через зазор до іншої пластини, є\(E_s+e\Delta \) V. Як\(\Delta V\) збільшується, ми в кінцевому підсумку досягаємо точки, в якій\(E_s+e\Delta V\) дорівнює енергія одного фотона. Більше ніякі електрони не можуть перетнути зазор, і показання на вольтметрі перестають підвищуватися. Кількість\(E_s+e\Delta V\) тепер говорить нам про енергію одного фотона. Якщо визначити цю енергію для різних довжин хвиль, h, ми виявимо наступну просту залежність між енергією фотона і частотою світла:

\[\begin{equation*} E = hf , \end{equation*}\]

де\(h\) - константа зі значенням\(6.63\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}\). Зверніть увагу, як рівняння переносить хвильові та частинкові моделі світла під одним дахом: ліва сторона - енергія однієї частинки світла, тоді як права - частота одного і того ж світла, інтерпретується як хвиля. Константа\(h\) відома як константа Планка, з історичних причин, пояснених у виносці, що починається на попередній сторінці.

h/ Величина\(E_s+e\Delta V\) вказує на енергію одного фотона. Виявлено, що він пропорційний частоті світла.

самоперевірка:

Як би ви витягли\(h\) з графіка на малюнку h? Що робити, якщо ви навіть не знали\(E_s\) заздалегідь, і могли б лише графік\(e\Delta V\) проти\(f\)?

(відповідь у зворотному боці PDF-версії книги)

Оскільки енергія фотона є\(hf\), промінь світла може мати лише енергії\(hf\)\(2hf\)\(3hf\), тощо Його енергія квантована — немає такого поняття, як частка фотона. Квантова фізика отримала свою назву від того факту, що вона квантує такі величини, як енергія, імпульс та кутовий імпульс, які раніше вважалися гладкими, безперервними та нескінченно ділимими.

Приклад 7: Кількість фотонів, що випромінюються лампочкою в секунду

\(\triangleright\)Приблизно скільки фотонів випромінюється лампочкою потужністю 100 Вт за 1 секунду? \(\triangleright\)Люди, як правило, запам'ятовують довжини хвиль, а не частоти для видимого світла. Лампочка випромінює фотони з діапазоном частот і довжин хвиль, але давайте візьмемо 600 нм як типову довжину хвилі для цілей оцінки. Енергія одного фотона дорівнює \[\begin{align*} E_{photon} &= hf \\ &= hc/\lambda \end{align*}\] Потужність 100 Вт означає 100 джоулів в секунду, тому кількість фотонів дорівнює \[\begin{align*} (100\ \text{J})/E_{photon} &= (100\ \text{J}) / (hc/\lambda ) \\ &\approx 3\times10^{20} \end{align*}\] Така величезність цього числа узгоджується з принципом відповідності. Експерименти, які встановили класичну теорію оптики, не були помилковими. Вони мали рацію, в межах своєї області застосовності, в якій кількість фотонів була настільки великою, щоб бути невідрізною від безперервного променя.

Приклад 8: Вимірювання хвилі

Коли серфери виходять на воду, чекаючи свого шансу зловити хвилю, вони зацікавлені в обох висоті хвиль і коли хвилі збираються прибути. Іншими словами, вони спостерігають як амплітуду, так і фазу хвиль, і їм не важливо, що вода зерниста на молекулярному рівні. Принцип відповідності вимагає, щоб ми могли робити те ж саме для електромагнітних хвиль, оскільки класична теорія електрики та магнетизму була заявлена і перевірена експериментально з точки зору полів\(\mathbf{E}\) і\(\mathbf{B}\), які є амплітудою електромагнітної хвилі. Фаза також необхідна, оскільки індукційні ефекти, передбачені рівнянням Максвелла, перевернуть їх ознаки залежно від того, чи коливальне поле знаходиться на шляху вгору або на шляху назад. Це більш вимогливе застосування принципу відповідності, ніж той, який у прикладі 7, оскільки амплітуди та фази складають більш детальну інформацію, ніж загальна інтенсивність променя світла. Вимірювання очного яблука не можуть виявити цей тип інформації, оскільки око набагато більше довжини хвилі, але, наприклад, радіоприймач AM може робити це за допомогою радіохвиль, оскільки довжина хвилі для станції на 1000 кГц становить близько 300 метрів, що набагато більше, ніж антена. Принцип відповідності вимагає, щоб ми могли пояснити це з точки зору теорії фотонів, і це вимагає не просто того, що у нас є велика кількість фотонів, що випромінюються передавачем в секунду, як у прикладі 7, але навіть до того часу, коли вони поширюються і досягають приймальної антени, повинно бути багато фотонів, що перекривають один одного в просторі однієї кубічної довжини хвилі. Завдання 47 на стор. 903 перевіряє, що число насправді надзвичайно велике.

Приклад 9: Імпульс фотона

\(\triangleright\)Згідно з теорією відносності, імпульс пучка світла задається\(p=E/c\). Застосовуйте це, щоб знайти імпульс одного фотона з точки зору його частоти та за довжиною хвилі. \(\triangleright\)Поєднуючи рівняння\(p=E/c\) і\(E=hf\), знаходимо \[\begin{align*} p &= E/c \\ &= \frac{h}{c}f . \end{align*}\] Щоб повторно висловити це з точки зору довжини хвилі, ми використовуємо\(c=f\lambda \): \[\begin{align*} p &= \frac{h}{c}\cdot\frac{c}{\lambda} \\ &= \frac{h}{\lambda} \end{align*}\] Друга форма виходить простіше.

Питання для обговорення

◊ Фотоелектричний ефект лише коли-небудь викидає дуже крихітний відсоток електронів, доступних біля поверхні об'єкта. Наскільки добре це узгоджується з хвильовою моделлю світла, і наскільки добре з моделлю частинок? Розглянемо дві різні шкали відстані, що беруть участь: довжина хвилі світла та розмір атома, який знаходиться на порядку\(10^{-10}\) або\(10^{-9}\) м.

◊ Яке значення має той факт, що постійна Планка чисельно дуже мала? Як би відрізнявся наш повсякденний досвід світла, якби він був не таким малим?

◊ Як вплинуть на описані вище експерименти, якщо на один електрон, ймовірно, потрапив більше одного фотона?

◊ Намалюйте деякі репрезентативні траєкторії електронів для\(\Delta V=0\),\(\Delta V\) менше максимального значення, і\(\Delta V\) більше максимального значення.

◊ Поясніть на основі фотонної теорії світла, чому ультрафіолетове світло буде більш імовірним, ніж видиме або інфрачервоне світло, викликати рак, пошкоджуючи молекули ДНК. Як це пов'язано з дискусійним питанням C?

◊ Чи\(E=hf\) має на увазі, що фотон змінює свою енергію при переході з одного прозорого матеріалу в іншу речовину з іншим показником заломлення?

13.2.3 Двійність хвильових частинок

Як світло може бути і часткою, і хвилею? Зараз ми готові вирішити це уявне протиріччя. Часто в науці, коли щось здається парадоксальним, це тому, що ми (1) не визначаємо наші терміни ретельно, або (2) не перевіряємо наші ідеї проти будь-якої конкретної реальної ситуації. Визначимо частинки і хвилі наступним чином:

• Хвилі демонструють суперпозицію, а конкретно інтерференційні явища.
• Частинки можуть існувати лише цілими числами, а не дробами.

Як реальна перевірка нашого філософствування, існує один конкретний експеримент, який чудово працює. Ми створили експеримент з перешкодами з подвійною щілиною, який, як ми знаємо, створить дифракційну картину, якщо світло є хвилею чесності до добра, але ми виявляємо світло за допомогою детектора, який здатний зондувати окремі фотони, наприклад, цифрова камера. Щоб зробити можливим виділення окремих точок за рахунок окремих фотонів, ми повинні використовувати фільтри для зменшення інтенсивності світла до дуже низького рівня, як на фотографіях професора Пейджа на стор. 837. Вся справа запечатана всередині світлонепроникної коробки. Результати наведені на малюнку i. (Насправді подібні цифри на сторінці 837 - це просто вирізи з цих фігур.)

i/Хвильові інтерференційні моделі, сфотографовані професором Лайманом Пейджем з цифровою камерою. Лазерне світло з однією чітко визначеною довжиною хвилі пройшло через серію поглиначів, щоб скоротити його інтенсивність, потім через набір щілин для створення перешкод, і, нарешті, в чіп цифрової камери. (Потрійна щілина насправді використовувалася, але для концептуальної простоти ми обговорюємо результати в основному тексті так, ніби це була подвійна щілина.) На панелі 2 інтенсивність була зменшена відносно 1, а тим більше для панелі 3.

Ні теорія чистої хвилі, ні теорія чистих частинок не можуть пояснити результати. Якби світло було лише частинкою, а не хвилею, ефекту перешкод не було б. Результатом експерименту буде як вистріл градом куль через подвійну щілину, j. Тільки дві плями безпосередньо за щілинами будуть вражені.

j/Кулі проходять через подвійну щілину.

Якби, з іншого боку, світло було лише хвилею, а не частинкою, ми отримали б таку ж дифракційну картину, яка трапилася б з водяною хвилею, k. На фотографії не було б дискретних точок, лише дифракційний малюнок, який плавно затінюється між світлим і темним.

k/ Водяна хвиля проходить через подвійну щілину.

Застосовуючи визначення до цього експерименту, світло повинен бути і часткою, і хвилею. Це хвиля, оскільки вона проявляє інтерференційні ефекти. У той же час той факт, що фотографії містять дискретні точки, є прямою демонстрацією того, що світло відмовляється розбиватися на одиниці менше одного фотона. Там можуть бути тільки цілі числа фотонів: чотири фотони на малюнку i /3, наприклад.

Неправильна інтерпретація: фотони заважають один одному

Однією з можливих інтерпретацій подвійності хвиль і частинок, яка виникла у фізиків на початку гри, було те, що, можливо, ефекти перешкод походять від фотонів, що взаємодіють один з одним. За аналогією, водяна хвиля складається з рухомих молекул води, і інтерференція водних хвиль в кінцевому підсумку виходить з усіх взаємних поштовхів і тягнень молекул. Це тлумачення було остаточно спростовано Г.І. Тейлором, студентом Кембриджського університету. Демонстрація професора Пейджа, яку ми щойно обговорювали, є по суті модернізованою версією роботи Тейлора. Тейлор міркував, що якщо інтерференційні ефекти надходять від фотонів, взаємодіючих один з одним, для створення перешкод повинен бути присутнім мінімум двох фотонів. Зробивши джерело світла надзвичайно тьмяним, ми можемо бути практично впевнені, що в коробці ніколи не буває двох фотонів одночасно. На малюнку i/3, однак, інтенсивність світла була настільки знижена поглиначами, що якби він був у відкритому, середній поділ між фотонами був би близько кілометра! У будь-який момент кількість фотонів в коробці, швидше за все, буде дорівнює нулю. Практично впевнено, що в коробці ніколи не було відразу двох фотонів.

л/Один фотон може пройти через обидві щілини.

Поняття шляху фотона не визначено.

Якщо один фотон може демонструвати подвійну щілинну перешкоду, то через яку щілину він пройшов? Неминуча відповідь повинна полягати в тому, що він проходить через обидва! Це може здатися не таким дивним, якщо ми думаємо про фотон як про хвилю, але це дуже неінтуїтивно, якщо ми спробуємо візуалізувати його як частинку. Мораль полягає в тому, що ми не повинні думати з точки зору шляху фотона. Як і повністю людський і повністю божественний Ісус християнського богослов'я, фотон повинен бути 100% хвилею і 100% частинкою. Якби фотон мав чітко визначену траєкторію, то він не демонстрував би хвильової суперпозиції і інтерференційних ефектів, що суперечать його хвильовій природі. (У підрозділі 13.3.4 ми обговоримо принцип невизначеності Гейзенберга, який дає числовий спосіб підходу до цього питання.)

Ще одне неправильне тлумачення: гіпотеза пілотної хвилі

Друге можливе пояснення подвійності хвильових частинок було сприйнято серйозно в ранній історії квантової механіки. Що робити, якщо частинка фотона схожа на серфера, що їде на вершині супутньої хвилі? Коли хвиля рухається вздовж, частка штовхається, або «пілотується» нею. Уявлення частинки і хвилі як двох окремих сутностей дозволяє уникнути, здавалося б, парадоксального уявлення про те, що фотон - це одночасно і те, і інше. Хвиля радісно робить свої хвильові трюки, як суперпозиція і інтерференція, а частка діє як респектабельна частка, рішуче відмовляючись перебувати відразу в двох різних місцях. Якщо хвиля, наприклад, зазнає руйнівного втручання, стаючи майже нульовим у певній області простору, то частинка просто не направляється в цю область.

Проблема з інтерпретацією пілотної хвилі полягає в тому, що єдиний спосіб її експериментально перевірити або перевірити - це якщо комусь вдається від'єднати частинку від хвилі і показати, що дійсно є дві сутності, а не лише одна. Частина наукового методу полягає в тому, що гіпотези повинні бути експериментально перевірені. Оскільки нікому ніколи не вдавалося відокремити хвилеподібну частину фотона від частини частинки, інтерпретація не є корисною чи значущою в науковому сенсі.

Тлумачення ймовірності

Правильна інтерпретація подвійності хвиля-частинок пропонується випадковим характером експерименту, про який ми обговорювали: хоча кожна хвиля/частинка фотонів готується і випускається однаково, місце, в якому вона врешті-решт виявляється цифровою камерою, кожен раз різне. Ідея інтерпретації ймовірності хвильово-частинкової подвійності полягає в тому, що розташування фотонної частинки є випадковим, але ймовірність того, що вона знаходиться в певному місці, вища там, де амплітуда фотонної хвилі більша.

Більш конкретно, розподіл ймовірності частинки повинен бути пропорційним квадрату амплітуди хвилі,

\[\begin{equation*} (\text{probability distribution}) \propto (\text{amplitude})^2 . \end{equation*}\]

Це випливає з принципу відповідності і з того, що щільність енергії хвилі пропорційна квадрату її амплітуди. Якщо ми проводимо експеримент з подвійною щілиною досить довго, візерунок точок заповнюється і стає дуже гладким, як і очікувалося в класичній фізиці. Щоб зберегти відповідність між класичною і квантовою фізикою, кількість енергії, що осідає в даній області картинки в довгостроковій перспективі, повинна бути пропорційною квадрату амплітуди хвилі. Кількість енергії, що відкладається на певній ділянці, залежить від кількості підібраних фотонів, що пропорційно ймовірності знаходження там будь-якого заданого фотона.

Приклад 10: Мікрохвильова піч

\(\triangleright\)На малюнку показані двовимірні (зверху) і одновимірні (знизу) уявлення стоячої хвилі всередині мікрохвильової печі. Сірий являє собою нульове поле, а білий і чорний означають найсильніші поля, при цьому білий - це поле, яке знаходиться в протилежному напрямку порівняно з чорним. Порівняйте ймовірності виявлення мікрохвильового фотона в точках А, В і С. m/Приклад 10. \(\triangleright\)А і С - обидві крайності хвилі, тому ймовірності виявлення фотона при А і С рівні. Не має значення, що ми представили C як негативний, а A як позитивний, тому що це квадрат амплітуди, який є актуальним. Амплітуда при В приблизно на 1/2 менше, ніж у інших, тому ймовірність виявлення фотона там приблизно на 1/4 стільки ж.

Інтерпретація ймовірності була тривожною для фізиків, які провели попередню кар'єру, працюючи в детермінованому світі класичної фізики, і за іронією долі найбільш напружені заперечення проти неї були підняті Ейнштейном, який винайшов концепцію фотонів в першу чергу. Проте інтерпретація ймовірності пройшла кожен експериментальний тест, і зараз так само добре встановлена, як і будь-яка частина фізики.

Аспект інтерпретації ймовірності, який викликав занепокоєння багатьох людей, полягає в тому, що процес виявлення та запису положення фотона, здається, має магічну здатність позбутися хвилеподібної сторони особистості фотона і змусити його вирішити раз і назавжди, де він дійсно хоче бути. Але виявлення або вимірювання - це все-таки лише фізичний процес, як і будь-який інший, регульований тими ж законами фізики. Детальне обговорення цього питання ми відкладемо до стор. 864, так як вимірювальний прилад на зразок цифрової камери зроблений з матерії, але ми поки тільки обговорювали, як квантова механіка відноситься до світла.

Приклад 11: Що таке константа пропорційності?

\(\triangleright\)Що таке константа пропорційності, яка б зробила фактичне рівняння\((\text{probability distribution})\propto(\text{amplitude})^2\)? \(\triangleright\)Імовірність того, що фотон знаходиться в певній малій області об'єму,\(v\) повинна дорівнювати частці енергії хвилі, яка знаходиться в межах цього об'єму. Для синусоїдальної хвилі, яка має єдину, чітко визначену частоту\(f\), це дає \[\begin{align*} P &= \frac{\text{energy in volume $v$}}{\text{energy of photon}} \\ &= \frac{\text{energy in volume $v$}}{hf} . \end{align*}\] Ми припускаємо, що він\(v\) досить малий, щоб електричні та магнітні поля були майже постійними по всьому ньому. У нас тоді є \[\begin{equation*} P = \frac{\left(\frac{1}{8\pi k}|\mathbf{E}|^2 +\frac{c^2}{8\pi k}|\mathbf{B}|^2\right)v}{hf} . \end{equation*}\] Ми можемо спростити цей грізний вигляд вираз, визнаючи, що в площині хвилі,\(|\mathbf{E}|\) і\(|\mathbf{B}|\) пов'язані між собою\(|\mathbf{E}|=c|\mathbf{B}|\). Це означає (задача 40, стор. 725), що електричне і магнітне поля кожен вносять половину загальної енергії, тому ми можемо спростити результат до \[\begin{align*} P &= 2\frac{\left(\frac{1}{8\pi k}|\mathbf{E}|^2\right)v}{hf} \\ &= \frac{v}{4\pi khf}|\mathbf{E}|^2 . \end{align*}\] Імовірність пропорційна квадрату амплітуди хвилі, як рекламується. ^3

Питання для обговорення

◊ Повертаючись до прикладу моркви в мікрохвильовій печі, покажіть, що було б безглуздо мати ймовірність бути пропорційною самому полю, а не квадрату поля.

◊ Ейнштейн не намагався примирити хвильові і частинкові теорії світла, і мало що говорив про їх явну невідповідність. Ейнштейн в основному візуалізував промінь світла у вигляді потоку куль, що надходять з кулемета. У фотоелектричному ефекті фотонна «куля» потрапила б лише в один атом, так само, як справжня куля вдарила б лише одну людину. Припустимо, хтось читав його документ 1905 року хотів інтерпретувати його, сказавши, що так звані частинки світла Ейнштейна - це просто короткі хвильові поїзди, які займають лише невелику область простору. Порівнюючи довжину хвилі видимого світла (кілька сотень нм) з розміром атома (близько 0,1 нм), поясніть, чому це створює труднощі для узгодження теорій частинок і хвиль.

◊ Чи може існувати білий фотон?

◊ При подвійній щілинній дифракції фотонів ви б отримали однаковий малюнок точок на зображенні цифрової камери, якби ви покрили одну щілину? Чому має значення, даєте ви фотону два варіанти або тільки один?

13.2.4 Фотони в трьох вимірах

До цих пір я був підлий і уникав повного обговорення тривимірних аспектів інтерпретації ймовірностей. Наприклад, приклад моркви в мікрохвильовій печі зводиться до одновимірної ситуації, тому що ми розглядали три точки по одній лінії і тому, що ми тільки порівнювали співвідношення ймовірностей. Мета підняти його зараз полягає в тому, щоб відмовитися від будь-якого почуття, що вас обдурили концептуально, а не підготувати вас до математичного вирішення проблем у трьох вимірах, що не було б придатним для рівня цього курсу.

Типовим прикладом розподілу ймовірностей у розділі 13.1 був розподіл висот людей. Річ, яка змінювалася випадковим чином\(h\), висота, мала одиниці метрів, а розподіл ймовірностей був графіком функції\(D(h)\). Одиниці розподілу ймовірностей повинні були бути\(\text{m}^{-1}\) (зворотні метри), щоб області під кривою, інтерпретовані як ймовірності, були б безодиничними:\((\text{area})=(\text{height})(\text{width})=\text{m}^{-1}\cdot\text{m}\).

Тепер припустимо, що у нас є двовимірна задача, наприклад, розподіл ймовірностей для місця на поверхні мікросхеми цифрової камери, де буде виявлено фотон. Точка, де вона виявлена, буде описана двома змінними,\(x\) і\(y\), кожна з яких має одиниці метрів. Розподіл ймовірності буде функцією обох змінних,\(D(x,y)\). Імовірність тепер візуалізується як обсяг під поверхнею, описаної функцією\(D(x,y)\), як показано на малюнку n. Одиниці\(D\) повинні бути\(\text{m}^{-2}\) такими, що ймовірності будуть безмежними:\((\text{probability})=(\text{depth})(\text{length})(\text{width}) =\text{m}^{-2}\cdot\text{m}\cdot\text{m}\). З точки зору обчислення, ми маємо\(P\:=\:\int Ddx dy\).

n/Ймовірність - об'єм під поверхнею, що визначається\(D(x,y)\).

Узагальнюючи остаточно три виміри, ми знаходимо за аналогією, що розподіл ймовірностей буде функцією всіх трьох координат\(D(x,y,z)\), і матиме одиниці виміру\(\text{m}^{-3}\). На жаль, неможливо візуалізувати графік, якщо ви не мутант з природним відчуттям для життя в чотирьох вимірах. Якщо розподіл ймовірностей майже постійний в межах певного обсягу простору\(v\), ймовірність того, що фотон знаходиться в такому обсязі, просто\(vD\). Якщо ні, то ми можемо використовувати інтеграл,\(P\:=\:\int Ddx dydz\).

Дописувачі

Template:ContribCrowell