8.E: Відносність (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 73445

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

1. На малюнку показано перетворення Лоренца з використанням конвенцій, використаних у розділі 7.2. Для простоти вибирається трансформація, яка подовжує одну діагональ в 2 рази. Оскільки перетворення Лоренца зберігають площу, інша діагональ скорочується в 2 рази. Нехай вихідна рамка відліку, зображена з квадратом, буде А, а нова Б. (а) Вимірюючи лінійкою на малюнку, показати, що швидкість кадру В щодо кадру А дорівнює\(0.6c\). (б) Роздрукуйте копію сторінки. За допомогою лінійки намалюйте третій паралелограм, який представляє друге послідовне перетворення Лоренца, яке подовжує довгу діагональ на інший коефіцієнт 2. Викликати цей третій кадр С. Використовуйте вимірювання за допомогою лінійки для визначення швидкості кадру C відносно кадру А. Чи дорівнює вона подвійній швидкості, знайденій у частині a? Поясніть, чому слід очікувати, що вийде так, як це відбувається. (Перевірка відповіді доступна на сайті lightandmatter.com)

2. Космонавти в трьох різних космічних кораблів спілкуються один з одним. Ті, хто знаходиться на борту кораблів A і B, погоджуються з швидкістю, в якій проходить час, але вони не згодні з тими, що знаходяться на кораблі С.
(а) Аліса знаходиться на борту корабля А. Як вона описує рух власного корабля, в його рамках відліку?
(б) Опишіть рух двох інших кораблів відповідно до Аліси.
(c) Дайте опис відповідно до Бетті, чиєю рамкою відліку є корабель Б.
(d) Зробіть те ж саме для Кеті, на борту корабля C.

3. Що відбувається в рівнянні,\(\gamma\) коли ви ставите в від'ємне число для\(v\)? Поясніть, що це означає фізично, і чому це має сенс.

4. Космічний зонд «Вояджер 1», запущений в 1977 році, рухається швидше відносно землі, ніж будь-який інший створений людиною об'єкт, зі швидкістю 17 000 метрів в секунду.
(а) Обчисліть зонд\(\gamma\).
(б) Протягом одного року на землі на зонді проходить трохи менше одного року. Наскільки менше? (Є 31 мільйон секунд на рік.) (Перевірка відповіді доступна на сайті lightandmatter.com)

5. У прикладі 2 на сторінці 391 я зауважив, що прискорення макроскопічного (тобто не мікроскопічного) об'єкта, близького до швидкості світла, вимагатиме необгрунтованої кількості енергії. Припустимо, що зореліт «Ентерпрайз» від «Зоряного шляху» має масу\(8.0\times10^7\) кг, приблизно таку ж, як у королеви Єлизавети 2. Обчисліть кінетичну енергію, яку вона мала б мати, якби вона рухалася з половиною швидкості світла. Порівняйте із загальним енергетичним вмістом світових ядерних арсеналів, що становить близько\(10^{21}\) Дж. (перевірка відповіді доступна на сайті lightandmatter.com)

6. Земля обертається навколо Сонця, і тому скорочується релятивістично у напрямку його руху. Обчислити величину, на яку зменшується його діаметр в цьому напрямку. (Перевірка відповіді доступна на сайті lightandmatter.com)

a/ Задача 7.

7. У цій домашній задачі ви заповните кроки алгебри, необхідні для того, щоб знайти рівняння для\(\gamma\) сторінки 389. Щоб алгебра була простою, нехай час на\(t\) малюнку k дорівнює 1, як це запропоновано на малюнку, що супроводжує цю домашню задачу. Початковий квадрат тоді має площу 1, а перетворений паралелограм також повинен мати площу 1. (а) Доведіть, що точка P знаходиться в\(x=v\gamma\), так що його\((t,x)\) координати є\((\gamma,v\gamma)\). (b) Знайти\((t,x)\) координати точки Q. (c) Знайти довжину короткої діагоналі, що з'єднує P і Q. (d) Середні координати P і Q, щоб знайти координати середньої точки C паралелограма, а потім знайти відстань OC. (e) Знайти площу паралелограма, обчисливши подвоєну площу трикутника PQO. [Підказка: Ви можете взяти PQ, щоб бути основою трикутника.] (f) Встановіть цю область рівною 1 і вирішіть\(\gamma\) для доведення\(\gamma=1/\sqrt{1-v^2}\). (Перевірка відповіді доступна на сайті lightandmatter.com)

8. (а) Вільний нейтрон (на відміну від нейтрона, пов'язаного з атомним ядром) нестійкий і піддається бета-розпаду (який ви можете переглянути). Маси задіяних частинок такі:

нейтрон	1,67495×10 ^{− 27} кг
протона	1,67265×10 ^{− 27} кг
електрон	0,00091×10 ^{− 27} кг
антинейтрино	< 10 ^{− 35} кг

Знайдіть енергію, що виділяється при розпаді вільного нейтрона. (Перевірка відповіді доступна на lightandmatter.com)
(б) Нейтрони та протони складають по суті всю масу звичайної матерії навколо нас. Ми спостерігаємо, що Всесвіт навколо нас не має вільних нейтронів, але багато вільних протонів (ядер водню, який є елементом, з якого складається 90% Всесвіту). Ми знаходимо нейтрони тільки всередині ядер разом з іншими нейтронами і протонами, а не самостійно.

Якщо є процеси, які можуть перетворювати нейтрони в протони, ми можемо уявити, що можуть бути і перетворення протон-нейтронів, і справді такий процес іноді відбувається в ядрах, які містять як нейтрони, так і протони: протон може розпастися на нейтрон, позитрон і нейтрино. Позитрон - це частинка з тими ж властивостями, що і електрон, за винятком того, що її електричний заряд позитивний (див. Главу 7). А нейтрино, як і антинейтрино, має незначну масу.

Хоча такий процес може відбуватися всередині ядра, поясніть, чому це не може статися з вільним протоном. (Якби це могло, водень був би радіоактивним, а ви б не існували!)

9. (а) Знайти релятивістське рівняння швидкості об'єкта з точки зору його маси та імпульсу (усунення\(\gamma\)). (Перевірка відповіді доступна на сайті lightandmatter.com)
(b) Покажіть, що ваш результат приблизно такий же, як і класичне значення\(p/m\), при низьких швидкостях.
(c) Покажіть, що дуже великі моменти призводять до швидкості, близької до швидкості світла.

10. (а) Показати\(v=(3/5)c\), що для,\(\gamma\) виходить простий дріб.
(b) Знайти інше значення,\(v\) для якого\(\gamma\) є простим дробом.

11. Об'єкт, що рухається зі швидкістю, дуже близькою до швидкості світла, називають ультрарелятивістським. Зазвичай (на щастя) єдиними ультрарелятивістськими об'єктами у нашому Всесвіті є субатомні частинки, такі як космічні промені або частинки, які були прискорені в прискорювачі частинок.
(а) Яке число\(\gamma\) для ультрарелятивістської частинки?
(b) Повторіть приклад 18 на сторінці 418, але замість дуже низьких, нерелятивістських швидкостей розгляньте ультрарелятивістські швидкості.
(c) Знайти рівняння для співвідношення\(\mathcal E/p\). Швидкість може бути релятивістською, але не припускайте, що це ультрарелятивістська. (Перевірка відповіді доступна на lightandmatter.com)
(d) Спростіть відповідь на частину c для випадку, коли швидкість ультрарелятивістська. (Перевірка відповіді доступна на lightandmatter.com)
(e) Ми можемо думати про промінь світла як ультрарелятивістський об'єкт - він, безумовно, рухається зі швидкістю, досить близькою до швидкості світла! Припустимо, ви включаєте одноватний ліхтарик, залишаєте його включеним на одну секунду, а потім вимкніть. Обчислити імпульс відкатного ліхтаря, в одиницях\(\text{kg}\!\cdot\!\text{m}/\text{s}\). (Перевірка відповіді доступна на сайті lightandmatter.com)
(f) Обговоріть, як ваша відповідь частково е стосується принципу відповідності.

12. Як обговорювалося в розділі 6, швидкість, з якою порушення рухається уздовж струни під напругою\(v=\sqrt{T/\mu}\),\(\mu\) задається, де маса на одиницю довжини, і\(T\) є натягом.
(а) Припустимо\(\rho\), що струна має щільність і площу поперечного перерізу\(A\). Знайдіть вираз для максимального натягу, яке могло б існувати в рядку, не виробляючи\(v>c\), що неможливо відповідно до відносності. Висловіть свою відповідь з точки зору\(\rho\)\(A\), і\(c\). Тлумачення полягає в тому, що відносність ставить обмеження на те, наскільки міцним може бути будь-який матеріал. (Перевірка відповіді доступна на lightandmatter.com)
(b) Кожна речовина має міцність на розрив, визначену як сила на одиницю площі, необхідну для її розбиття, витягнувши її. Міцність на розрив вимірюється в одиницях\(\text{N}/\text{m}^2\), що таке ж, як і паскаль (Па), мкс одиниця тиску. Зробити числову оцінку максимальної міцності на розрив, дозволеної відносністю в тому випадку, коли мотузка зроблена зі звичайної матерії, з щільністю на тому ж порядку, що і у води. (Для порівняння, кевлар має міцність на розрив близько\(4\times10^9\) Па, і є припущення, що волокна, виготовлені з вуглецевих нанотрубок, можуть мати значення настільки ж високими, як\(6\times10^{10}\) Па.) (Перевірка відповіді доступна на сайті lightandmatter.com)
(c) Чорна діра - це зірка, яка звалилася і стала дуже щільною, так що її гравітація занадто сильна, щоб будь-коли втекти з неї. Наприклад, швидкість втечі з чорної діри більша\(c\), тому снаряд не може бути вистрілений з неї. Багато людей, коли вони чують цей опис чорної діри з точки зору швидкості втечі, більшої\(c\), ніж, дивуються, чому все ще не можна було б витягти об'єкт з чорної діри іншими способами, ніж запустити його як снаряд. Наприклад, припустимо, ми опускаємо космонавта в чорну діру на мотузці, а потім знову витягуємо його назад. Чому це може не спрацювати?

13. (а) Заряджена частинка оточена рівномірним електричним полем. Починаючи з відпочинку, він прискорюється полем до швидкості\(v\) після проходження дистанції\(d\). Тепер дозволено продовжити подальшу відстань\(3d\), для повного зміщення від початку\(4d\). Якої швидкості він досягне, припускаючи класичну фізику?
(б) Знайти релятивістський результат для випадку\(v=c/2\).

14. Проблема 14 була видалена.

15. Розгорніть рівняння\(K = m(\gamma-1)\) в ряді Тейлора та знайдіть перші два незникаючі члени. Показати, що перший член є нерелятивістським виразом для кінетичної енергії.

16. Розгорніть релятивістське рівняння для імпульсу в ряді Тейлора та знайдіть перші два незникаючі терміни. Покажіть, що перший термін є класичним виразом.

17. (Рішення в pdf-версії книги) Як і було обіцяно в підрозділі 7.2.8, ця задача проведе вас через етапи знаходження рівняння для поєднання швидкостей в відносності, узагальнюючи числовий результат, знайдений в задачі 1. Припустимо, що A рухається щодо B\(u\) зі швидкістю, а B щодо С в\(v\). Ми хочемо, щоб знайти швидкість А\(w\) відносно C, з точки зору\(u\) і\(v\). Припустимо, що А випромінює світло з певною частотою. Це буде спостерігатися Б з доплерівським зсувом\(D(u)\). C виявляє подальший зсув\(D(v)\) відносно B. Тому ми очікуємо, що доплерівські зрушення множаться\(D(w)=D(u)D(v)\), і це забезпечує неявне правило для визначення того,\(w\) чи\(v\) відомі\(u\) і відомі. (а) Використовуючи вираз для\(D\) наведеного в розділі 7.2.8, запишіть рівняння\(u\), що стосується\(v\), і\(w\). (б) Вирішити для з\(w\) точки зору\(u\) і\(v\). (c) Покажіть, що ваша відповідь на частину b задовольняє принципу відповідності.

b/Задача 18.

18. На малюнку зображено сім чотиривекторів, представлених в двовимірному графіку\(x\) versus\(t\). Всі вектори мають\(y\) і\(z\) компоненти, які дорівнюють нулю. Які з цих векторів є конгруентними іншим, тобто які представляють просторово-часові інтервали, рівні один одному?

19. Чотири вектори можуть бути схожими на час, світлоподібними або космічними. Що можна сказати про властиві їм властивості частинок, чиї імпульс чотирьох векторів потрапляють в ці різні категорії?

20. Нижче наведено три найпоширеніші способи взаємодії гамма-променів з речовиною:

Фотоелектричний ефект: гамма-промінь потрапляє на електрон, знищується і віддає всю свою енергію електрону.

Комптонне розсіювання: гамма-промінь відскакує від електрона, виходячи в певному напрямку з деякою кількістю енергії.

Парне виробництво: гамма-промінь анігілюється, створюючи електрон і позитрон.

Приклад href=» #eg: no-pair-prod-in-vacuum">23 на стор. 420 показує, що виробництво пари не може відбуватися у вакуумі через збереження чотиривекторного енергетичного імпульсу. А як щодо двох інших процесів? Чи може фотоефект відбуватися без присутності якоїсь третьої частинки, такої як атомне ядро? Чи може розсіювання Комптона відбуватися без третьої частинки?

21. Розгорніть релятивістське рівняння для поздовжнього доплерівського зсуву світла\(D(v)\) в ряді Тейлора та знайдіть перші два незникаючі члени. Покажіть, що ці два терміни погоджуються з нерелятивістським виразом, так що будь-який релятивістський ефект має вищий порядок в\(v\).

22. Довести, як стверджується в підписі фігури a на p. 424, що\(S-180°=4(s-180°)\), де\(S\) сума кутів великого рівностороннього трикутника і\(s\) є відповідною сумою для одного з чотирьох малих. (рішення в pdf-версії книги)

23. Якби двовимірна істота жила на поверхні конуса, чи сказала б вона, що її простір вигнутий, чи ні?

24. (а) Переконайтеся, що рівняння\(1-gh/c^2\) гравітаційного доплерівського зсуву та гравітаційного розширення часу має одиниці, які мають сенс. (b) Чи задовольняє це рівняння принципу відповідності?

с/Задача 25 b. перемальована з Ван Баака, Фізика сьогодні 60 (2007) 16.

25. (а) Обчисліть доплерівський зсув, який слід очікувати в експерименті Фунт-Ребка, описаному на стор. 429. (b) В експерименті з гірсько-долини Ііджіма 1978 року (стор. 384) аналіз ускладнювався чутливістю годинника до тиску, вологості та температури. Чистіша версія експерименту була зроблена в 2005 році любителем Томом Ван Бааком. Він поклав своїх дітей та трьох своїх атомних годинників на мінівен і поїхав з Белвью, штат Вашингтон, до будиночка на горі Реньє, висотою 1340 метрів. Вдома він порівнював годинник з іншими, які залишилися в його будинку. Переконайтеся, що ефект, показаний на графіку, відповідає загальній теорії відносності.

26. Міжнародна космічна станція обертається на висоті близько 350 км і швидкістю близько 8000 м/с щодо землі. Порівняйте гравітаційні та кінематичні часові розширення. Зрештою, час біжить швидше на МКС, ніж на землі, або повільніше?

27. У розділі 7.4.3 представлена ньютонівська оцінка того, наскільки компактним повинен бути об'єкт, щоб бути чорною дірою. Хоча ця оцінка насправді не є правильною, виявляється, щоб дати правильну відповідь в межах приблизно в 2 рази. Приблизно якого розміру земля повинна бути стиснута, щоб стати чорною дірою?

28. Годинник А сидить на столі. Годинник B підкидається в повітря з тієї ж висоти, що і стіл, а потім повертається вниз. Порівняйте минулі часи. \ hwhint {hwhint:tossed-clock} (рішення у pdf-версії книги)

29. Кутовий\(d\) дефект трикутника (вимірюється в радіанах) визначається як\(s-\pi\), де\(s\) - сума внутрішніх кутів. Кутовий дефект пропорційний площі\(A\) трикутника. Розглянемо геометрію, виміряну двовимірною істотою, яка живе на поверхні радіусної сфери\(R\). Спочатку знайдіть якийсь трикутник на сфері, площа якого і кутовий дефект легко обчислити. Потім визначають загальне рівняння для\(d\) через\(A\) і\(R\). (Перевірка відповіді доступна на сайті lightandmatter.com)

Contributors and Attributions

Template:ContribCrowell