6.2: Мікроскопічний опис ідеального газу
- Page ID
- 73326
5.2.1 Докази кінетичної теорії
Чому матерія має теплові властивості, які вона робить? Основна відповідь повинна виходити з того, що матерія зроблена з атомів. Як же тоді атоми породжують об'ємні властивості, які ми спостерігаємо? Гази, теплові властивості яких настільки прості, дають нам найкращий шанс побудувати простий зв'язок між мікроскопічним і макроскопічним світами.
Важливим спостереженням є те, що, хоча тверді речовини та рідини майже нестисливі, гази можуть стискуватися, як коли ми збільшуємо кількість повітря в шині автомобіля, майже не збільшуючи її об'єм взагалі. Це змушує нас підозрювати, що атоми в твердому тілі упаковані пліч-о-пліч, тоді як газ в основному вакуум, з великими просторами між молекулами. Більшість рідин і твердих речовин мають щільність приблизно в 1000 разів більше, ніж більшість газів, тому, очевидно, кожна молекула в газі відокремлена від найближчих сусідів пробілом приблизно в 10 разів більше, ніж самі молекули.
Якщо молекули газу не мають нічого, крім порожнього простору між ними, чому молекули в кімнаті навколо вас просто не впадуть на підлогу? Єдино можлива відповідь - вони знаходяться в стрімкому русі, постійно відскакуючи від стін, підлоги і стелі. У розділі 2.4 я вже навів деякі докази кінетичної теорії тепла, яка стверджує, що тепло - це кінетична енергія випадково рухомих молекул. Ця теорія була запропонована Даніелем Бернуллі в 1738 році і зустрівся зі значною опозицією, оскільки здавалося, що молекули в газі врешті-решт заспокояться і осідуть у тонку плівку на підлозі. Прецеденту для такого роду вічного руху не було. Жоден гумовий м'яч, яким би еластичним не відскочив від стіни з рівно такою ж енергією, як спочатку, і ми ніколи не спостерігаємо зіткнення між кульками, при якому жодна кінетична енергія взагалі не перетворюється на тепло і звук. Однак аналогія є помилковою. Гумова куля складається з атомів, і коли він нагрівається при зіткненні, тепло є формою руху цих атомів. Однак окрема молекула не може володіти теплом. Так само звук є формою об'ємного руху молекул, тому стикаються молекули в газі не можуть перетворити їх кінетичну енергію в звук. Молекули дійсно можуть викликати вібрації, такі як звукові хвилі, коли вони вражають стінки контейнера, але вібрації стінок так само ймовірно, що передають енергію молекулі газу, як і забирають енергію з неї. Дійсно, такий вид обміну енергією є тим механізмом, за допомогою якого температури газу і його ємності стають врівноваженими.
5.2.2 Тиск, об'єм та температура
Газ чинить тиск на стінки свого контейнера, і в кінетичній теорії ми інтерпретуємо цей, очевидно, постійний тиск як усереднений результат величезної кількості зіткнень, що відбуваються щосекунди між молекулами газу і стінками. Емпіричні факти про гази можна узагальнити співвідношенням
який дійсно тримається тільки для ідеального газу. \(n\)Ось кількість молекул у зразку газу.
Приклад\(\PageIndex{1}\): Volume related to temperature
Пропорційність обсягу до температури при фіксованому тиску була основою для нашого визначення температури.
| Приклад 8: Тиск, пов'язаний з температурою |
|---|
| Тиск пропорційний температурі, коли обсяг тримається постійним. Прикладом може служити підвищення тиску в шині автомобіля, коли автомобіль деякий час їхав по автостраді, а шини і повітря стали гарячими. |
Ми зараз пов'язуємо ці емпіричні факти з кінетичною теорією класичного ідеального газу. Для простоти ми припускаємо, що газ є одноатомним (тобто кожна молекула має лише один атом), і що він обмежений кубічною коробкою об'єму\(V\), з\(L\) довжиною кожного\(A\) краю та площею будь-якої стінки. Атом, швидкість якого має\(x\) компонент,\(v_x\) буде регулярно стикатися з лівою стінкою, проїжджаючи відстань,\(2L\) паралельну\(x\) осі між зіткненнями з цією стіною. Час між зіткненнями є\(\Delta t=2L/v_x\), і при кожному зіткненні\(x\) компонент імпульсу атома змінюється від\(-mv_x\) до\(mv_x\). Сумарна сила на стіну дорівнює
де індекс\(i\) відноситься до окремих атомів. Підставляючи\(\Delta p_{x,i}=2mv_{x,i}\) і\(\Delta t_i=2L/v_{x,i}\), у нас є
\(mv_{x,i}^2\)Величина вдвічі перевищує внесок у кінетичну енергію від частини руху атомів центру маси, яка паралельна\(x\) осі. Оскільки ми припускаємо одноатомний газ, центр руху маси є єдиним типом руху, який породжує кінетичну енергію. (Більш складна молекула може обертатися і вібрувати, а також.) Якби кількість всередині суми включала\(z\) компоненти\(y\) і, то вона була б удвічі більшою сумарною кінетичною енергією всіх молекул. Оскільки ми очікуємо, що енергія буде рівномірно\(x\) розподілена між\(y\), і\(z\) рух, 1 кількість всередині суми, отже, повинна дорівнювати 2/3 загальної кінетичної енергії, тому
Діливши на\(A\) і використовуючи\(AL=V\), ми маємо
Це може бути пов'язано з емпіричним співвідношенням,\(PV \propto nT\) якщо помножити\(V\) на обидві сторони і переписати\(K_{total}\) як\(n\bar{K}\), де\(\bar{K}\) середня кінетична енергія на молекулу:
Вперше ми маємо інтерпретацію температури на основі мікроскопічного опису речовини: в одноатомному ідеальному газі температура є мірою середньої кінетичної енергії на молекулу. Пропорційність між ними є\(\bar{K}=(3/2)kT\), де константа пропорційності\(k\), відома як константа Больцмана, має числове значення\(1.38\times10^{-23}\ \text{J}/\text{K}\). З точки зору константи Больцмана, взаємозв'язок між об'ємними кількостями для ідеального газу стає
який відомий як ідеальний закон газу. Хоча я не буду доводити цього тут, це рівняння застосовується до всіх ідеальних газів, хоча виведення передбачало одноатомний ідеальний газ у кубічній коробці. (Можливо, ви бачили, що це написано в іншому місці як\(PV=NRT\), де\(N=n/N_A\) знаходиться кількість молей атомів\(R=kN_A\), і\(N_A=6.0\times10^{23}\), званий числом Авогадро, по суті, кількість атомів водню в 1 г водню.)
Приклад\(\PageIndex{2}\): Pressure in a car tire
\(\triangleright\)Проїхавши деякий час по автостраді, повітря в шині вашого автомобіля нагрівається від\(10°\text{C}\) до\(35°\text{C}\). На скільки підвищується тиск?
\(\triangleright\)Шини можуть трохи розширюватися, але ми припускаємо, що цей ефект невеликий, тому обсяг майже постійний. З ідеального закону газу співвідношення тисків таке ж, як і відношення абсолютних температур,
або збільшення на 9%.
Питання для обговорення
◊ Порівняйте кількість енергії, необхідної для нагрівання 1 літра гелію на 1 градус, з енергією, необхідною для нагрівання 1 літра ксенону. В обох випадках нагрівання здійснюється в герметичній посудині, яка не дозволяє газу розширюватися. (Судно також добре ізольоване.)
◊ Повторіть обговорення питання А, якщо порівняння становить 1 кг гелію проти 1 кг ксенону (рівні маси, а не рівні обсяги).
◊ Повторіть обговорення питання А, але тепер порівняйте 1 літр гелію в посудині постійного обсягу з такою ж кількістю гелію в посудині, що дозволяє розширюватися за межі початкового об'єму в 1 літр. (Це може бути поршень, або повітряна куля.)