6.2: Мікроскопічний опис ідеального газу

5.2.1 Докази кінетичної теорії

Чому матерія має теплові властивості, які вона робить? Основна відповідь повинна виходити з того, що матерія зроблена з атомів. Як же тоді атоми породжують об'ємні властивості, які ми спостерігаємо? Гази, теплові властивості яких настільки прості, дають нам найкращий шанс побудувати простий зв'язок між мікроскопічним і макроскопічним світами.

Важливим спостереженням є те, що, хоча тверді речовини та рідини майже нестисливі, гази можуть стискуватися, як коли ми збільшуємо кількість повітря в шині автомобіля, майже не збільшуючи її об'єм взагалі. Це змушує нас підозрювати, що атоми в твердому тілі упаковані пліч-о-пліч, тоді як газ в основному вакуум, з великими просторами між молекулами. Більшість рідин і твердих речовин мають щільність приблизно в 1000 разів більше, ніж більшість газів, тому, очевидно, кожна молекула в газі відокремлена від найближчих сусідів пробілом приблизно в 10 разів більше, ніж самі молекули.

Якщо молекули газу не мають нічого, крім порожнього простору між ними, чому молекули в кімнаті навколо вас просто не впадуть на підлогу? Єдино можлива відповідь - вони знаходяться в стрімкому русі, постійно відскакуючи від стін, підлоги і стелі. У розділі 2.4 я вже навів деякі докази кінетичної теорії тепла, яка стверджує, що тепло - це кінетична енергія випадково рухомих молекул. Ця теорія була запропонована Даніелем Бернуллі в 1738 році і зустрівся зі значною опозицією, оскільки здавалося, що молекули в газі врешті-решт заспокояться і осідуть у тонку плівку на підлозі. Прецеденту для такого роду вічного руху не було. Жоден гумовий м'яч, яким би еластичним не відскочив від стіни з рівно такою ж енергією, як спочатку, і ми ніколи не спостерігаємо зіткнення між кульками, при якому жодна кінетична енергія взагалі не перетворюється на тепло і звук. Однак аналогія є помилковою. Гумова куля складається з атомів, і коли він нагрівається при зіткненні, тепло є формою руху цих атомів. Однак окрема молекула не може володіти теплом. Так само звук є формою об'ємного руху молекул, тому стикаються молекули в газі не можуть перетворити їх кінетичну енергію в звук. Молекули дійсно можуть викликати вібрації, такі як звукові хвилі, коли вони вражають стінки контейнера, але вібрації стінок так само ймовірно, що передають енергію молекулі газу, як і забирають енергію з неї. Дійсно, такий вид обміну енергією є тим механізмом, за допомогою якого температури газу і його ємності стають врівноваженими.

5.2.2 Тиск, об'єм та температура

Газ чинить тиск на стінки свого контейнера, і в кінетичній теорії ми інтерпретуємо цей, очевидно, постійний тиск як усереднений результат величезної кількості зіткнень, що відбуваються щосекунди між молекулами газу і стінками. Емпіричні факти про гази можна узагальнити співвідношенням

$$PV \propto nT , \text{[ideal gas]}$$

який дійсно тримається тільки для ідеального газу. $n$Ось кількість молекул у зразку газу.

Приклад$\PageIndex{1}$: Volume related to temperature

Пропорційність обсягу до температури при фіксованому тиску була основою для нашого визначення температури.

Приклад 8: Тиск, пов'язаний з температурою
Тиск пропорційний температурі, коли обсяг тримається постійним. Прикладом може служити підвищення тиску в шині автомобіля, коли автомобіль деякий час їхав по автостраді, а шини і повітря стали гарячими.

Ми зараз пов'язуємо ці емпіричні факти з кінетичною теорією класичного ідеального газу. Для простоти ми припускаємо, що газ є одноатомним (тобто кожна молекула має лише один атом), і що він обмежений кубічною коробкою об'єму$V$, з$L$ довжиною кожного$A$ краю та площею будь-якої стінки. Атом, швидкість якого має$x$ компонент,$v_x$ буде регулярно стикатися з лівою стінкою, проїжджаючи відстань,$2L$ паралельну$x$ осі між зіткненнями з цією стіною. Час між зіткненнями є$\Delta t=2L/v_x$, і при кожному зіткненні$x$ компонент імпульсу атома змінюється від$-mv_x$ до$mv_x$. Сумарна сила на стіну дорівнює

$$F = \sum \frac{\Delta p_{x,i}}{\Delta t_i} \text{[monoatomic ideal gas]} ,$$

де індекс$i$ відноситься до окремих атомів. Підставляючи$\Delta p_{x,i}=2mv_{x,i}$ і$\Delta t_i=2L/v_{x,i}$, у нас є

$$F = \sum \frac{mv_{x,i}^2}{L} \text{[monoatomic ideal gas]} .$$

$mv_{x,i}^2$Величина вдвічі перевищує внесок у кінетичну енергію від частини руху атомів центру маси, яка паралельна$x$ осі. Оскільки ми припускаємо одноатомний газ, центр руху маси є єдиним типом руху, який породжує кінетичну енергію. (Більш складна молекула може обертатися і вібрувати, а також.) Якби кількість всередині суми включала$z$ компоненти$y$ і, то вона була б удвічі більшою сумарною кінетичною енергією всіх молекул. Оскільки ми очікуємо, що енергія буде рівномірно$x$ розподілена між$y$, і$z$ рух, ¹ кількість всередині суми, отже, повинна дорівнювати 2/3 загальної кінетичної енергії, тому

$$F = \frac{2K_{total}}{3L} \text{[monoatomic ideal gas]} .$$

Діливши на$A$ і використовуючи$AL=V$, ми маємо

$$P = \frac{2K_{total}}{3V} \text{[monoatomic ideal gas]} .$$

Це може бути пов'язано з емпіричним співвідношенням,$PV \propto nT$ якщо помножити$V$ на обидві сторони і переписати$K_{total}$ як$n\bar{K}$, де$\bar{K}$ середня кінетична енергія на молекулу:

$$PV = \frac{2}{3}n\bar{K} \text{[monoatomic ideal gas]} .$$

Вперше ми маємо інтерпретацію температури на основі мікроскопічного опису речовини: в одноатомному ідеальному газі температура є мірою середньої кінетичної енергії на молекулу. Пропорційність між ними є$\bar{K}=(3/2)kT$, де константа пропорційності$k$, відома як константа Больцмана, має числове значення$1.38\times10^{-23}\ \text{J}/\text{K}$. З точки зору константи Больцмана, взаємозв'язок між об'ємними кількостями для ідеального газу стає

$$PV = nkT , \text{[ideal gas]}$$

який відомий як ідеальний закон газу. Хоча я не буду доводити цього тут, це рівняння застосовується до всіх ідеальних газів, хоча виведення передбачало одноатомний ідеальний газ у кубічній коробці. (Можливо, ви бачили, що це написано в іншому місці як$PV=NRT$, де$N=n/N_A$ знаходиться кількість молей атомів$R=kN_A$, і$N_A=6.0\times10^{23}$, званий числом Авогадро, по суті, кількість атомів водню в 1 г водню.)

Приклад$\PageIndex{2}$: Pressure in a car tire

$\triangleright$Проїхавши деякий час по автостраді, повітря в шині вашого автомобіля нагрівається від$10°\text{C}$ до$35°\text{C}$. На скільки підвищується тиск?

$\triangleright$Шини можуть трохи розширюватися, але ми припускаємо, що цей ефект невеликий, тому обсяг майже постійний. З ідеального закону газу співвідношення тисків таке ж, як і відношення абсолютних температур,

$$\begin{align*} P_2/ P_1 &= T_2/ T_1\\ &=(308\ \text{K})/(283\ \text{K})\\ &= 1.09 ,\\ \end{align*}$$

або збільшення на 9%.

Питання для обговорення

◊ Порівняйте кількість енергії, необхідної для нагрівання 1 літра гелію на 1 градус, з енергією, необхідною для нагрівання 1 літра ксенону. В обох випадках нагрівання здійснюється в герметичній посудині, яка не дозволяє газу розширюватися. (Судно також добре ізольоване.)

◊ Повторіть обговорення питання А, якщо порівняння становить 1 кг гелію проти 1 кг ксенону (рівні маси, а не рівні обсяги).

◊ Повторіть обговорення питання А, але тепер порівняйте 1 літр гелію в посудині постійного обсягу з такою ж кількістю гелію в посудині, що дозволяє розширюватися за межі початкового об'єму в 1 літр. (Це може бути поршень, або повітряна куля.)

Автори та атрибуція

Template:ContribCrowell