4.3: Резонанс

Резонанс - це явище, при якому генератор найбільш сильно реагує на рушійну силу, яка відповідає власній частоті вібрації. Наприклад, припустимо, що дитина знаходиться на гойдалках дитячого майданчика з природною частотою 1 Гц. Тобто, якщо відтягнути дитину від рівноваги, звільнити її, а потім перестати робити що-небудь на деякий час, вона буде коливатися на частоті 1 Гц. Якби не було тертя, як ми припускали в розділі 2.5, то сума її гравітаційної і кінетичної енергії залишалася б постійною, а амплітуда була б точно такою ж від одного коливання до наступного. Однак тертя збирається перетворити ці форми енергії в тепло, тому її коливання поступово згасають. Щоб це не відбувалося, Ви могли б дати їй поштовх один раз за цикл, тобто, частота ваших поштовхів буде 1 Гц, що таке ж, як природна частота гойдалки. Поки ви залишаєтеся в ритмі, гойдалки реагує досить добре. Якщо ви починаєте гойдалки з відпочинку, а потім дати поштовхи на 1 Гц, амплітуда гойдалки швидко нарощує, як на малюнку а, поки через деякий час вона не досягає стійкого стану, в якому тертя видаляє стільки ж енергії, як ви поклали в протягом одного циклу.

самостійна перевірка:

Малюнок a:\(t\) Графік\(x\) -проти- для гойдалки, натиснутого на резонанс.

На малюнку а порівняйте амплітуду циклу відразу після першого поштовху до амплітуди після другого. Порівняйте енергії, а також. (відповідь у зворотному боці PDF-версії книги)

Що буде, якщо спробувати натиснути на 2 Гц? Ваш перший поштовх ставить в деякому\(p\) імпульсі, але ваш другий поштовх відбувається тільки після половини циклу, коли гойдалки повертається прямо на вас, з імпульсом\(-p\)! Перенесення імпульсу від другого поштовху рівно достатньо, щоб зупинити розмах. В результаті виходить дуже слабке, і не дуже синусоїдальне, рух, б.

Малюнок b: Гойдалки штовхаються в два рази більше резонансної частоти.

Роблячи математику легко

Це простий і фізично прозорий приклад резонансу: гойдалки реагують найсильніше, якщо відповідати його природному ритму. Однак він має деякі характеристики, які математично потворні і, можливо, нереальні. Швидкі, жорсткі поштовхи відомі як імпульсні сили, c, і вони ведуть до\(x\) -\(t\) графіку, який має недиференційовані перегини.

Малюнок c:\(t\) Графік\(F\) -проти- для імпульсної рушійної сили.

Імпульсивні сили, подібні до цього, не тільки погано поводяться математично, вони зазвичай небажані в практичному плані. Наприклад, у двигуні автомобіля інженери дуже наполегливо працюють над тим, щоб зусилля на поршнях змінювалося плавно, щоб уникнути надмірної вібрації. Протягом усієї іншої частини цього розділу ми будемо вважати рушійну силу, яка є синусоїдальною, d, тобто той, чий\(F\) -\(t\) графік або синусоїдальна функція або функція, яка відрізняється від синусоїдальної хвилі в фазі, наприклад косинус. Сила позитивна для половини кожного циклу і негативна для другої половини, тобто є як штовхання, так і тягне. Синусоїдальні функції мають багато приємних математичних характеристик (ми можемо їх диференціювати та інтегрувати, а сума синусоїдальних функцій, які мають однакову частоту, є синусоїдальною функцією), і вони також використовуються в багатьох практичних ситуаціях. Наприклад, мій гаражні двері zapper посилає синусоїдальну радіохвилю, і приймач налаштовується на резонанс з нею.

Малюнок d: Синусоїдальна рушійна сила.

Друге математичне питання, яке я глянув у прикладу свінг, було те, як поводиться тертя. У розділі 3.2.4, про сили між твердими частинами, емпіричне рівняння кінетичного тертя було незалежним від швидкості. Тертя рідини, з іншого боку, залежить від швидкості. Для дитини на гойдалках тертя рідини є найважливішою формою тертя, і приблизно пропорційно\(v^2\). У інших ситуаціях, наприклад, з газом низької щільності або тертям між твердими поверхнями, які були змащені рідиною, такою як масло, ми можемо виявити, що сила тертя має деяку іншу залежність від швидкості, можливо, пропорційна або має якусь іншу складну швидкість\(v\) залежність, яку навіть не можна виразити простим рівнянням. Було б надзвичайно складно розглядати всі ці різні можливості в повній загальності, тому для решти цього розділу, ми будемо вважати, що тертя пропорційне швидкості

\[\begin{equation*} F = -bv , \end{equation*}\]

просто тому, що отримані рівняння виявляються найпростішими для вирішення. Навіть коли тертя не поводиться саме так, багато наших результатів все одно можуть бути принаймні якісно правильними.

3.3.1 Затухаючий, вільний рух

Чисельне лікування

Осцилятор, який має тертя називається затухаючим. Давайте використаємо числові методи, щоб знайти рух затухаючого осцилятора, який звільняється від рівноваги, але після цього не відчуває рушійної сили. Можна очікувати, що рух буде складатися з коливань, які поступово згасають.

Малюнок е: Затухаюча синусоїда, форми\(x = Ae^{- ct}\text{sin} (\omega_{f} t+\delta)\).

У розділі 2.5 ми змоделювали незгаслий випадок, використовуючи нашу перевірену та справжню функцію Python, засновану на збереженні енергії. Тепер, однак, цей підхід стає трохи незручним, тому що він передбачає розщеплення шляху, який потрібно пройти на\(n\) крихітні сегменти, але за наявності демпфування, кожен гойдалки трохи коротше, ніж останній, і ми не знаємо заздалегідь точно, як далеко коливання отримає перед поворотом навколо. Простішою технікою тут є використання сили, а не енергії. Другий закон Ньютона дає\(a=F/m\)\(a=(-kx-bv)/m\), де ми використали результат прикладу 40 для сили, що чиниться пружиною. Це стає трохи красивіше, якщо ми перепишемо його в форму

\[\begin{equation*} ma+bv+kx = 0 , \end{equation*}\]

що дає симетричну обробку трьох термінів за участю\(x\) і його першого і другого похідних,\(v\) і\(a\). Тепер замість того, щоб розраховувати час,\(\Delta{}t=\Delta{}x/v\) необхідний для переміщення заданої відстані\(\Delta{}x\), ми вибираємо\(\Delta{}t\) і визначаємо пройдену відстань за цей час,\(\Delta{}x=v\Delta{}t\). Крім того, ми більше не можемо оновлювати на\(v\) основі збереження енергії, оскільки у нас немає простого способу відстежувати, скільки механічної енергії було змінено на теплову енергію. Замість цього ми перераховуємо швидкість за допомогою\(\Delta{}v=a\Delta{}t\).

import math
k=39.4784 # chosen to give a period of 1 second
m=1.
b=0.211 # chosen to make the results simple
x=1.
v=0.
t=0.
dt=.01
n=1000
for j in range(n):
  x=x+v*dt
  a=(-k*x-b*v)/m
  if (v>0) and (v+a*dt<0) :
    print("turnaround at t=",t,", x=",x)
  v=v+a*dt
  t=t+dt

turnaround at t= 0.99 , x= 0.899919262445
turnaround at t= 1.99 , x= 0.809844934046
turnaround at t= 2.99 , x= 0.728777519477
turnaround at t= 3.99 , x= 0.655817260033
turnaround at t= 4.99 , x= 0.590154191135
turnaround at t= 5.99 , x= 0.531059189965
turnaround at t= 6.99 , x= 0.477875914756
turnaround at t= 7.99 , x= 0.430013546991
turnaround at t= 8.99 , x= 0.386940256644
turnaround at t= 9.99 , x= 0.348177318484

Константа пружини,\(k=4\pi{}=39.4784\) Н/м, сконструйована так, що якщо рівняння без\(f=(1/2\pi)\sqrt{k/m}\) затухання все ще було істинним, частота становила б 1 Гц. Почнемо з того, що додавання невеликої кількості демпфування, схоже, не змінило період взагалі, або, принаймні, не в межах точності розрахунку. ¹⁰ Ви можете перевірити самі, однак, що велике значення\(b\), скажімо\(\text{N}\!\cdot\!\text{s}/\text{m}\), 5, значно змінює період.

Звільняємо масу з\(x=1\ \text{m}\), і після одного циклу вона тільки повертається до приблизно\(x=0.9\ \text{m}\). Я\(b=0.211\ \text{N}\!\cdot\!\text{s}/\text{m}\) вибрав, возитися, поки не отримав цей результат, так як зниження рівно на 10% легко обговорювати. Зверніть увагу, як амплітуда після двох циклів приблизно\(0.81\ \text{m}\), тобто\(1\ \text{m}\) раз\(0.9^2\): амплітуда знову знизилася рівно на 10%. Цей шаблон триває до тих пір, поки виконується моделювання, наприклад, для останніх двох циклів ми маємо 0.34818/0.38694 = 0.89982, або майже рівно 0.9 знову. Це могло здатися примхливим, коли я вирішив використовувати нереальне рівняння\(F=-bv\), але це виплата. Тільки з\(-bv\) тертям ми отримуємо такий математично простий експоненціальний розпад.

Оскільки розпад експоненціальний, він ніколи не вимирає повністю; це відрізняється від поведінки, яку ми мали б при кулонівському терті, що змушує об'єкти повністю подрібнюватися до зупинки в якийсь момент. З тертям, яке діє подібно\(F=-bv\),\(v\) стає менше, коли коливання стають меншими. Менша і менша сила призводить до того, що вони вимирають зі швидкістю, яка повільніше і повільніше.

Дописувачі та атрибуція

Template:ContribCrowell