4.5: Виноски

1. Електричні та магнітні взаємодії не зовсім поводяться так, і це момент, який ми розглянемо пізніше в книзі.
2. Тепер ми можемо бачити, що деривація була б однаково справедливою для\(U_i\ne U_f\). Два спостерігачі погоджуються про відстань між частинками, тому вони також погоджуються з енергіями взаємодії, хоча вони не погоджуються з кінетичними енергіями.
3. Нагадаємо, що верхній регістр\(P\) - це сила, тоді як у нижньому регістрі\(p\) - імпульс.
4. Це з користю заднім числом. У той час слово «сила» вже мало певні конотації, і люди думали, що розуміють, що воно означає і як його виміряти, наприклад, використовуючи весняну шкалу. З їхньої точки зору,\(F=d{}p/d{}t\) було не визначенням, а тестованим - і суперечливим! — заяву.
5. Це патологічне рішення вперше було відзначено на сторінці 83, а більш детально розглянуто на сторінці 910.
6. Зворотне не відповідає дійсності, тому що кінетична енергія не залежить від напрямку руху, але імпульс робить. Ми можемо змінити імпульс частинки, не змінюючи її енергії, як коли куля басейну відскакує від бампера, змінюючи знак\(p\).
7. Частина визначення про «силою» має на увазі виключити передачу енергії теплопровідністю, як коли піч гріє суп.
8. «Чорний ящик» - це традиційний інженерний термін для пристрою, внутрішня робота якого нам байдуже.
9. Для концептуальної простоти ми ігноруємо передачу теплової енергії в зовнішній світ через вихлоп і радіатор. Насправді сума цих енергій плюс корисна передана кінетична енергія дорівнювала б\(W\).
10. Ця підпрограма не є настільки точним способом обчислення періоду, як енергетичний, який ми використовували в незгасаному випадку, оскільки вона перевіряє лише, чи оберталася маса в якийсь момент протягом інтервалу часу\(\Delta{}t\).
11. Співвідношення є\(\omega_{max\ A}/\omega_\text{o}=\sqrt{1-1/2Q^2}\), яке за формою схоже з рівнянням для частоти вільної вібрації,\(\omega_{f}/\omega_\text{o}=\sqrt{1-1/4Q^2}\). Тонкий момент тут полягає в тому, що хоча максимум\(A\) і максимум\(A^2\) повинні відбуватися на одній частоті, максимальна енергія не відбувається, як ми могли б очікувати, на тій же частоті, що і максимум\(A^2\). Це пояснюється тим, що енергія взаємодії пропорційна\(A^2\) незалежно від частоти, але кінетична енергія пропорційна\(A^2\omega^2\). Максимальна енергія насправді відбувається саме так\(\omega_\text{o}\).
12. Наприклад, графіки, розраховані на синусоїдальне водіння, мають резонанси, які трохи нижче власної частоти, стаючи нижче зі збільшенням демпфування, поки для\(Q\le1\) максимального відгуку не настане при\(\omega=0\). На малюнку m, однак, ми бачимо, що імпульсивне водіння при\(\omega=2\omega_\text{o}\) виробляє сталий стан з більшою енергією, ніж при\(\omega=\omega_\text{o}\).
13. Якщо ви дізналися про диференціальні рівняння, ви знаєте, що будь-яке диференціальне рівняння другого порядку вимагає специфікації двох граничних умов, щоб однозначно визначити рішення.
14. Насправді, якщо ви знаєте про комплексні числа і теорему Ейлера, це не зовсім так безглуздо.
15. Звичайно, ви могли б сказати в запечатаній лабораторії, який шлях був вниз, але це тому, що поблизу знаходиться велика планета, а гравітаційне поле планети потрапляє в лабораторію, а не тому, що сам простір має особливий напрямок вниз. Так само, якщо ваш експеримент був чутливий до магнітних полів, може мати значення, в який бік була орієнтована будівля, але це тому, що земля створює магнітне поле, а не тому, що сам простір оснащений північним напрямком.
16. Нуль тут дійсно нульовий вектор, тобто вектор, складові якого всі нуль, тому ми повинні дійсно представляти його жирним шрифтом\ vc {0}. Однак, як правило, не існує великої небезпеки плутанини, тому більшість книг, включаючи цю, не використовують жирний шрифт для нульового вектора.
17. Існує, однак, інша операція, розглянута в наступному розділі, яка множить два вектори, щоб дати вектор.
18. Символ\(\nabla\) називається «набла». Класне слово!