3.5: Коливання

Давайте повернемося до прикладу розтягнутої пружини з попереднього розділу. Ми знаємо, що його енергія є формою електричної енергії взаємодіючих атомів, що є приємним концептуально, але не допомагає нам вирішувати проблеми, оскільки ми не знаємо\(U\), як енергія залежить від довжини пружини. Все, що ми знаємо, це те, що існує рівновага (цифра a /1), яка є локальним мінімумом функції\(U\). Надзвичайно важливою проблемою, яка виникає у зв'язку з цим, є як розрахувати коливальний рух навколо рівноваги, як у /4-13. Навіть якби ми провели спеціальні експерименти, щоб з'ясувати, як працювала енергія весни, може здатися, що нам доведеться пройти стільки ж роботи, щоб впоратися з будь-якими іншими коливаннями, такими як саджанець, що гойдається вперед і назад на вітрі.

a/ Пружина має мінімальну енергетичну довжину, 1, і енергія потрібна для того, щоб стиснути або розтягнути її, 2 і 3. Маса, прикріплена до пружини, буде коливатися навколо рівноваги, 4-13.

Дивно, але цей тип коливань можна проаналізувати дуже загальним та елегантним способом, якщо аналіз обмежується невеликими коливаннями. Ми поговоримо про масу на весну для конкретності, але в обговоренні взагалі не буде нічого, що обмежується цією конкретною фізичною системою. По-перше, давайте виберемо систему координат, в якій\(x=0\) відповідає положення маси, де пружина знаходиться в рівновазі, і оскільки\(U\) такі енергії взаємодії тільки добре визначені до адитивної константи, ми просто визначимо, що вона дорівнює нулю при рівновазі:

\[\begin{equation*} U(0) = 0 \end{equation*}\]

Оскільки\(x=0\) рівновага,\(U(x)\) повинна мати там локальний мінімум, а диференційована функція (яку ми припускаємо\(U\) є) має нульову похідну при локальному мінімумі:

\[\begin{equation*} \frac{d{}U}{d{}x}(0) = 0 \end{equation*}\]

b/ Три функції з однаковою кривизною при\(x\) = 0.

Існує ще нескінченно багато функцій, які могли б задовольнити цим критеріям, включаючи три, показані на малюнку b\(x^2/2\), які є\(x^2/2(1+x^2)\), і\((e^{3x}+e^{-3x}-2)/18\). Зверніть увагу, однак, як всі три функції практично ідентичні прямо біля мінімуму. Це тому, що всі вони мають однакову кривизну. Більш конкретно, кожна функція має свою другу похідну, рівну 1 ат\(x=0\), а друга похідна - міра кривизни. Пишемо\(k\) для другої похідної енергії в точці рівноваги,

\[\begin{equation*} \frac{d{}^2U}{d{}x^2}(0) = k . \end{equation*}\]

Фізично,\(k\) це міра жорсткості. Наприклад, надміцні пружини в амортизаторах автомобіля мали б високу цінність\(k\). Його часто називають постійною пружини, але ми використовуємо лише пружину як приклад тут. Як показано на малюнку b, будь-які дві функції, які мають\(U(0)=0\)\(d{}U/d{}x=0\), і\(d{}^2U/d{}x^2=k\), з однаковим значенням\(k\), практично не відрізняються для малих значень\(x\), так що якщо ми хочемо проаналізувати невеликі коливання, це навіть не має значення, яку функцію ми припускаємо. Для простоти ми просто будемо використовувати\(U(x)=(1/2)kx^2\) відтепер.

Тепер ми готові проаналізувати систему «маса на пружині», маючи на увазі, що це дійсно лише репрезентативний приклад цілого класу подібних коливальних систем. Ми очікуємо, що рух буде повторюватися знову і знову, і оскільки ми не збираємося включати фрикційне нагрівання в нашу модель, це повторення повинно тривати вічно, не згасаючи. Найцікавіше, що потрібно знати про рух, був би період\(T\), який є кількістю часу, необхідного для одного повного циклу руху. Можна очікувати, що період буде залежати від постійної пружини\(k\)\(m\), маси та амплітуди\(A\), визначеної на малюнку c. ¹¹

c/ Амплітуда зазвичай визначається як відстань від рівноваги до однієї крайності руху, тобто половина загального ходу.

У таких прикладах, як брахістохрона та місія «Аполлон-11», як правило, необхідно було використовувати числові методи для визначення кількості часу, необхідного для певного руху. Ще раз, давайте пил від функції time3 зі сторінки 93 і модифікуємо її для наших цілей. Для гнучкості ми визначимо функцію\(U(x)\) як окрему функцію Python. Ми дійсно хочемо обчислити час, необхідний для того, щоб маса повернулася до початкової точки, але це було б незручно налаштувати, оскільки наша функція працює, розділяючи відстань, яку потрібно пройти, на крихітні сегменти. За симетрії, час, необхідний для переходу від одного кінця до іншого дорівнює часу, необхідному для повернення до початку, так що ми просто обчислимо час для половини циклу, а потім подвоїти його, коли ми повернемо результат в кінці функції. Тест на рядках 16-19 необхідний, тому що в іншому випадку в самому кінці руху ми можемо в кінцевому підсумку спробувати взяти квадратний корінь негативного числа через помилки округлення.

import math
def u(k,x):
  return .5*k*x**2

def osc(m,k,a,n):
  x=a
  v=0
  dx = -2.*a/n
  t=0
  e = u(k,x)+.5*m*v**2
  for i in range(n):
    x_old = x
    v_old = v
    x = x+dx
    kinetic = e-u(k,x)
    if kinetic<0. :
      v=0.
      print "warning, K=",kinetic,"<0"
    else :
      v = -math.sqrt(2.*kinetic/m)
    v_avg = (v+v_old)/2.
    dt=dx/v_avg
    t=t+dt
  return 2.*t

>>> print(osc(1.,1.,1.,100000))
warning, K= -1.43707268307e-12 <0
6.2831854132667919

Перше, що слід звернути увагу, це те, що з цим конкретним набором входів (\(m\)=1 кг\(k=1\ \text{J}/\text{m}^2\), і\(A=1\ \text{m}\)), програма відмінно впоралася з обчислювальною роботою\(2\pi=6.2831853...\). Це матінка-природа дає нам сильний натяк на те, що проблема має алгебраїчне рішення, а не лише числове. Наступна цікава річ відбувається, коли ми змінюємо амплітуду від 1 м до 2 м:

>>> print(osc(1.,1.,2.,100000))
warning, K= -5.7482907323e-12 <0
6.2831854132667919

Незважаючи на те, що маса повинна була подолати подвійну відстань в кожному напрямку, період однаковий, щоб в межах числової точності розрахунку!

З цими натяками здається, що ми повинні почати шукати алгебраїчне рішення. Для керівництва, ось графік\(x\) як функція\(t\), як обчислюється функцією osc з n = 10.

Це виглядає як косинусна функція, тому давайте подивимося, чи\(x=A\cos{}(\omega{}t+\delta)\) є a рішенням для збереження енергетичного рівняння - це не рідкість, щоб спробувати «реверс-інженер» загадкових результатів числового обчислення, подібного до цього. Символ\(\omega=2\pi/T\) (грец. Omega), званий кутовою частотою, є стандартним символом кількості радіанів в секунду коливання. За винятком коефіцієнта\(2\pi\), він ідентичний звичайній частоті\(f=1/T\), яка має одиниці\(\text{s}^{-1}\) або Гц (Герц). Фазовий кут\(\delta\) повинен забезпечити можливість, яка\(t=0\) не збігається з початком руху. Енергія - це

\[\begin{align*} E &= K + U \\ &= \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 \\ &= \frac{1}{2}m\left(\frac{d{}x}{d{}t}\right)^2 + \frac{1}{2}kx^2 \\ &= \frac{1}{2}m\left[-A\omega\sin{}(\omega{}t+\delta)\right]^2 + \frac{1}{2}k\left[A\cos{}(\omega{}t+\delta)\right]^2 \\ &= \frac{1}{2}A^2\left[m\omega^2\sin{}^2(\omega{}t+\delta) + k\cos{}^2(\omega{}t+\delta)\right] \end{align*}\]

Відповідно до збереження енергії, це має бути постійною. Використовуючи ідентичність\(\sin^2+\cos^2=1\), ми можемо побачити, що це буде константа, якщо ми маємо\(m\omega^2=k\)\(\omega=\sqrt{k/m}\), або, тобто\(T=2\pi\sqrt{m/k}\). Зверніть увагу, що період не залежить від амплітуди.

Приклад 23: Пружина і важіль

d/ Приклад 23. Шток обертається на шарнірі внизу. \(\triangleright\)Який період малих коливань системи показаний на малюнку? Нехтуйте масою важеля і пружини. Припустимо, що пружина настільки жорстка, що гравітація не є важливим ефектом. Пружина розслаблена, коли важіль розташований вертикально. \(\triangleright\)Це трохи складно, тому що постійна пружини\(k\), хоча і є актуальною, не є тим, що\(k\) ми повинні вносити в рівняння\(T=2\pi\sqrt{m/k}\). Те\(k\), що йде там, має бути другою\(U\) похідною по відношенню до положення\(x\), маси, що рухається. Енергія,\(U\) що зберігається в пружині, залежить від того, наскільки віддалений кінчик важеля від центру. Ця відстань дорівнює\((L/b)x\), тому енергія навесні \[\begin{align*} U &= \frac{1}{2}k\left(\frac{L}{b}x\right)^2 \\ &= \frac{kL^2}{2b^2}x^2 , \\ \end{align*}\] і\(k\) ми повинні покласти в\(T=2\pi\sqrt{m/k}\) це \[\begin{equation*} \frac{d^2 U}{dx^2} = \frac{kL^2}{b^2} . \\ \end{equation*}\] Результатом є \[\begin{align*} T &= 2\pi\sqrt{\frac{mb^2}{kL^2}} \\ &= \frac{2\pi b}{L}\sqrt{\frac{m}{k}} \\ \end{align*}\] Важіль важеля робить його так, ніби пружина була міцнішою, і зменшує період коливань в рази\(b/L\).

Приклад 24: Вода в П-образній трубці

e/Вода в П-образній трубці. \(\triangleright\)Який період коливання води на малюнку е? \(\triangleright\)У прикладі 13 на стор. 89 ми знайшли\(U( y)=\rho gAy^2\), так що «пружинна константа», яка насправді не є постійною пружини тут взагалі, є \[\begin{align*} k &= \frac{\text{d}^2 U}{\text{d} y^2} \\ &= 2\rho gA . \end{align*}\] Це цікавий приклад, тому що\(k\) можна обчислити без будь-яких наближень, але кінетична енергія вимагає наближення, тому що ми не знаємо деталей закономірності течії води. Це може бути дуже складно. Буде тенденція до того, щоб вода біля стінок текла повільніше через тертя, а також може спостерігатися закручений, турбулентний рух. Однак якщо зробити наближення, що вся вода рухається з тією ж швидкістю, що і поверхня\(\text{d} y/\text{d} t\), то застосовується аналіз маси на пружині. Допускаючи\(L\) загальну довжину заповненої частини трубки, маса є\(\rho LA\), і у нас є \[\begin{align*} T &= 2\pi\sqrt{ m/ k} \\ &= 2\pi\sqrt{\frac{\rho LA}{2\rho gA}} \\ &= 2\pi\sqrt{\frac{ L}{2 g}} . \end{align*}\]

Дописувачі та атрибуція

Template:ContribCrowell