10.5: Проблеми з фізичними вправами

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75198

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У кожній з задач 10.1-10.3, для даної системи:

(i) вивести рівняння руху Гамільтона, і

(ii) перевірити, чи рівняння еквівалентні рівнянню тим, що походять від формалізму Лагранжа.

10.1. Наша система «випробувального стенду»: кулька на кільці, обертається з фіксованою кутовою швидкістю\(\omega\) близько свого вертикального діаметра\(-\) див. Рис. 2.1, відтворений праворуч.

Знімок екрана 2022-01-29 в 1.14.12 AM.png

10.2. Система, розглянута в Задачі 2.3: маятник, що звисає з горизонтальної опори, закон руху якого\(x_{0}(t)\) зафіксований - див. Малюнок праворуч. (Немає обмеження вертикальної площини.)

Знімок екрана 2022-01-29 в 1.15.18 AM.png

10.3. Система, розглянута в задачі 2.8: блок маси,\(m\) який може ковзати, без тертя, по похилій поверхні важкого клину маси\(m\) '. Клин вільно переміщатися, також без тертя, по горизонтальній поверхні - див. Малюнок праворуч. (Обидва рухи знаходяться у вертикальній площині, що містить найкрутішу лінію нахилу.)

Знімок екрана 2022-01-29 в 1.16.07 AM.png

10.4. Знайти і розв'язати рівняння руху частинки з наступною гамільтоновою функцією:\[H=\frac{1}{2 m}(\mathbf{p}+a \mathbf{r})^{2},\] де\(a\) постійний скаляр.

10.5. \(L\)Дозволяти функція Лагранжа та\(H\) Гамільтонова функція тієї ж системи. Які три з наступних чотирьох тверджень,

(i)\(\frac{d L}{d t}=0\),

(ii)\(\frac{\partial L}{\partial t}=0\),

(iii)\(\frac{d H}{d t}=0\),

(iv)\(\frac{\partial H}{\partial t}=0\),

еквівалентні? Наведіть приклад, коли ці три рівності тримаються, а четверте - ні.

10.6. Обчисліть дужки Пуассона декартової складової моменту\(\mathbf{L}\) частинки, що рухається в центральному силовому полі, та її гамільтонової функції\(H\), і обговорити найбільш очевидні наслідки результату.

10.7. Після того, як малі коливання були ініційовані в точковому маятнику, показаному на малюнку праворуч, струна підтягується повільно, так що довжина маятника\(l\) зменшується. Нехтуючи розсіюванням,

(i) довести прямим розрахунком, що енергія коливань дійсно змінюється пропорційно частоті коливань, як це випливає з постійності відповідного адіабатичного інваріанту (40); і

(ii) знайти\(l\) -залежність амплітуди кутових і лінійних відхилень від рівноваги.

Знімок екрана 2022-01-29 в 1.17.28 AM.png

10.8. Маса\(m\) невеликого тіла, яке здійснює\(1 \mathrm{D}\) коливання в потенційній ямі\(U(x)=a x^{2 n}\)\(n>0\), при, змінюється повільно. Обчисліть енергію коливань\(E\) як функцію\(m\).

10.9. Жорсткий куля відскакує вертикально від підлоги ліфта, прискорення якого вгору змінюється дуже повільно. Нехтуючи розсіюванням енергії, розрахуйте, скільки\(h\) змінюється висота відскоку під час збільшення прискорення з 0 до\(g\). Чи справедливий ваш результат для рівного, але різкого збільшення прискорення ліфта?