15.29: Сили

Сила визначається як швидкість зміни імпульсу, і ми хочемо знайти перетворення між силами, що відносяться до кадрів, в рівномірному відносному русі таким чином, щоб це відношення трималося на всіх таких кадрах.

Припустимо, що в\( \Sigma'\), маса має миттєву масу\( m'\) і швидкість, миттєвими компонентами яких є\( u'_{x'}\) і\( u'_{y'}\). Якщо на нього діє сила, то швидкість і, отже, і маса є функціями часу. \( x\)-складова сили задається

\[ F'_{x'}=\frac{d}{dt}(m'u'_{x'}). \label{15.29.1} \]

Ми хочемо висловити все з правого боку з точки зору необгрунтованих кількостей. Таким чином, з рівняння 15.21.8 та оберненого рівняння 15.16.2 отримуємо

\[ m'u'_{x'}=m\gamma(u_{x}-v). \label{15.29.2} \]

Також

\[ \frac{d}{dt'}=\frac{dt}{dt'}\frac{d}{dt} \label{15.29.3} \]

Давайте спочатку оцінимо\( \frac{d}{dt}(m\gamma u_{x}-m\gamma v)\). У цьому виразі\( v\) і\( \gamma\) не залежать від часу (кадр\( \Sigma'\) рухається з постійною швидкістю відносно\( \Sigma\)), а\( \frac{d}{dt}\) від\( mu_{x}\) є\( x\) -складовою сили в\( \Sigma\), тобто\( F_{x}\). Таким чином

\[ \frac{d}{dt}(m\gamma u_{x}-m\gamma v)=\gamma\left(F_{x}-v\frac{dm}{dt}\right). \label{15.29.4} \]

Тепер потрібно провести оцінку\( \frac{d}{dt'}\) в плані негрунтовних кількостей. Якщо ми почнемо з

\[ dt'=\left(\frac{\partial t'}{\partial x}\right)_{t}dx+\left(\frac{\partial t'}{\partial t}\right)_{x}dt \label{15.29.6} \]

і ми будемо оцінювати,\( \frac{dt'}{dt}\) який, будучи загальною похідною, є зворотним\( \frac{dt}{dt'}\). Часткові похідні задаються рівняннями 15.15.3j, k та l, while\( \frac{dx}{dt}=u_{x}\). Звідси отримуємо

\[ \frac{dt}{dt'}=\frac{1}{\gamma\left(1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}\right)}. \label{15.29.7} \]

Таким чином ми приходимо до

\[ F'_{x'}=\frac{F_{x}-v\left(\frac{dm}{dt}\right)}{1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}} \label{15.29.8} \]

Маса не є постійною (тобто не\( \frac{dm}{dt}\) дорівнює нулю), тому що існує сила, що діє на тіло, і ми повинні\( \frac{dm}{dt}\) співвідносити термін з силою. У якийсь момент, коли сила і швидкість (в\( \Sigma\)) є\( \bf{F}\) і\( \bf{u}\), швидкість, з якою\( \bf{F}\) виконується робота над тілом, є\( \bf{F*u}\)\( =F_{x}u_{x}+F_{y}u_{y}+F_{z}u_{z}\) і це дорівнює швидкості збільшення енергії тіла, яка є\( \dot{m}c^{2}\). (У розділі 15.24, виводячи вираз для кінетичної енергії, я писав, що швидкість виконання роботи дорівнювала швидкості збільшення кінетичної енергії. Тепер я тільки що написав, що вона дорівнює швидкості приросту (загальної) енергії. Що правильно?)

\[ \frac{dm}{dt}=\frac{1}{c^{2}}(F_{x}u_{x}+F_{y}u_{y}+F_{z}u_{z}). \label{15.29.9} \]

Підставляємо це на рівняння,\( \ref{15.29.8}\) і після ще трохи алгебри ми нарешті отримаємо перетворення для\( F'_{x'}\):

\[ F'_{x'}=F_{x}-\frac{v}{c^{2}-u_{x}v}(u_{y}F_{y}+u_{z}F_{z}). \label{15.29.10} \]

\( z'-\)Компоненти\( y'-\) та трохи простіше, і я залишаю це як вправу, щоб показати, що

\[ F'_{y'}=\frac{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u_{x}v}{c}}F_{y} \label{15.29.11} \]

\[ F'_{z'}=\frac{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u_{x}v}{c}}F_{z}. \label{15.29.12} \]

Як завжди, зворотні перетворення знаходять шляхом зміни загрунтованого і негрунтованого величин і зміни знака\( v\).

Сила на частинку і її результуючий прискорення взагалі не в одному напрямку, тому що маса не є постійною. (Другий закон Ньютона не є\( \bf{F}=m\bf{a}\); це\( \bf{F}=\bf{\dot{p}}\)) Таким чином

\[ \textbf{F}=\frac{d}{dt}(m\textbf{u})=m\textbf{a}+\dot{m}\textbf{u}. \label{15.29.13} \]

Тут

\[ m=\frac{m_{0}}{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}} \label{15.29.14} \]

і так

\[ \dot{m}=\frac{m_{0}ua}{c^{2}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}. \label{15.29.15} \]

Таким чином

\[ \textbf{F}=\frac{m_{0}}{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}} \left(\textbf{a}+\frac{ua}{c^{2}-u^{2}}\textbf{u}\right). \label{15.29.16} \]