15.29: Сили

Сила визначається як швидкість зміни імпульсу, і ми хочемо знайти перетворення між силами, що відносяться до кадрів, в рівномірному відносному русі таким чином, щоб це відношення трималося на всіх таких кадрах.

Припустимо, що в$\Sigma'$, маса має миттєву масу$m'$ і швидкість, миттєвими компонентами яких є$u'_{x'}$ і$u'_{y'}$. Якщо на нього діє сила, то швидкість і, отже, і маса є функціями часу. $x$-складова сили задається

$$F'_{x'}=\frac{d}{dt}(m'u'_{x'}). \label{15.29.1}$$

Ми хочемо висловити все з правого боку з точки зору необгрунтованих кількостей. Таким чином, з рівняння 15.21.8 та оберненого рівняння 15.16.2 отримуємо

$$m'u'_{x'}=m\gamma(u_{x}-v). \label{15.29.2}$$

Також

$$\frac{d}{dt'}=\frac{dt}{dt'}\frac{d}{dt} \label{15.29.3}$$

Давайте спочатку оцінимо$\frac{d}{dt}(m\gamma u_{x}-m\gamma v)$. У цьому виразі$v$ і$\gamma$ не залежать від часу (кадр$\Sigma'$ рухається з постійною швидкістю відносно$\Sigma$), а$\frac{d}{dt}$ від$mu_{x}$ є$x$ -складовою сили в$\Sigma$, тобто$F_{x}$. Таким чином

$$\frac{d}{dt}(m\gamma u_{x}-m\gamma v)=\gamma\left(F_{x}-v\frac{dm}{dt}\right). \label{15.29.4}$$

Тепер потрібно провести оцінку$\frac{d}{dt'}$ в плані негрунтовних кількостей. Якщо ми почнемо з

$$dt'=\left(\frac{\partial t'}{\partial x}\right)_{t}dx+\left(\frac{\partial t'}{\partial t}\right)_{x}dt \label{15.29.6}$$

і ми будемо оцінювати,$\frac{dt'}{dt}$ який, будучи загальною похідною, є зворотним$\frac{dt}{dt'}$. Часткові похідні задаються рівняннями 15.15.3j, k та l, while$\frac{dx}{dt}=u_{x}$. Звідси отримуємо

$$\frac{dt}{dt'}=\frac{1}{\gamma\left(1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}\right)}. \label{15.29.7}$$

Таким чином ми приходимо до

$$F'_{x'}=\frac{F_{x}-v\left(\frac{dm}{dt}\right)}{1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}} \label{15.29.8}$$

Маса не є постійною (тобто не$\frac{dm}{dt}$ дорівнює нулю), тому що існує сила, що діє на тіло, і ми повинні$\frac{dm}{dt}$ співвідносити термін з силою. У якийсь момент, коли сила і швидкість (в$\Sigma$) є$\bf{F}$ і$\bf{u}$, швидкість, з якою$\bf{F}$ виконується робота над тілом, є$\bf{F*u}$$=F_{x}u_{x}+F_{y}u_{y}+F_{z}u_{z}$ і це дорівнює швидкості збільшення енергії тіла, яка є$\dot{m}c^{2}$. (У розділі 15.24, виводячи вираз для кінетичної енергії, я писав, що швидкість виконання роботи дорівнювала швидкості збільшення кінетичної енергії. Тепер я тільки що написав, що вона дорівнює швидкості приросту (загальної) енергії. Що правильно?)

$$\frac{dm}{dt}=\frac{1}{c^{2}}(F_{x}u_{x}+F_{y}u_{y}+F_{z}u_{z}). \label{15.29.9}$$

Підставляємо це на рівняння,$\ref{15.29.8}$ і після ще трохи алгебри ми нарешті отримаємо перетворення для$F'_{x'}$:

$$F'_{x'}=F_{x}-\frac{v}{c^{2}-u_{x}v}(u_{y}F_{y}+u_{z}F_{z}). \label{15.29.10}$$

$z'-$Компоненти$y'-$ та трохи простіше, і я залишаю це як вправу, щоб показати, що

$$F'_{y'}=\frac{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u_{x}v}{c}}F_{y} \label{15.29.11}$$

$$F'_{z'}=\frac{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u_{x}v}{c}}F_{z}. \label{15.29.12}$$

Як завжди, зворотні перетворення знаходять шляхом зміни загрунтованого і негрунтованого величин і зміни знака$v$.

Сила на частинку і її результуючий прискорення взагалі не в одному напрямку, тому що маса не є постійною. (Другий закон Ньютона не є$\bf{F}=m\bf{a}$; це$\bf{F}=\bf{\dot{p}}$) Таким чином

$$\textbf{F}=\frac{d}{dt}(m\textbf{u})=m\textbf{a}+\dot{m}\textbf{u}. \label{15.29.13}$$

Тут

$$m=\frac{m_{0}}{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}} \label{15.29.14}$$

і так

$$\dot{m}=\frac{m_{0}ua}{c^{2}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}. \label{15.29.15}$$

Таким чином

$$\textbf{F}=\frac{m_{0}}{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}} \left(\textbf{a}+\frac{ua}{c^{2}-u^{2}}\textbf{u}\right). \label{15.29.16}$$