15.3: Підготовка

Співвідношення швидкості тіла (або$\nu$ частки, або системи відліку) часто задається символом$\beta$:

$$\beta=\frac{\nu}{c}. \label{15.3.1}$$

З причин, які стануть очевидними (сподіваюся!) пізніше діапазон зазвичай обмежується між 0 і 1.$\beta$ У нашому дослідженні спеціальної теорії відносності ми виявимо, що нам доводиться часто використовувати ряд функцій$\beta$. Найпоширенішими з них є:

$$\gamma=(1-\beta^{2})^{-\frac{1}{2}}, \label{15.3.2}$$

$$k=\sqrt{\frac{(1+\beta)}{(1-\beta)}}, \label{15.3.3}$$

$$z=k-1, \label{15.3.4}$$

$$\phi=\frac{1}{2}\ln \left[\frac{(1+\beta)}{(1-\beta)} \right]=\tanh^{-1}\beta=\ln k. \label{15.3.6}$$

$$\theta=\cos^{-1}\gamma=\sin^{-1}(i\beta\gamma). \label{15.3.7}$$

На малюнках XV.1-3 я малюю$\gamma, k$ і$\phi$ як функції$\beta$. $\gamma$Функції$k$ переходять від 1 до ∞, оскільки b переходить від 0 до 1;$z,K$ і$\phi$ переходять від 0 до ∞. $\theta$Функція уявна.

Надмірність

Багато - можна навіть сказати більшість - проблем у спеціальній теорії відносності (включаючи екзаменаційні та домашні запитання!) сума, при позбавленні їх дієслівності, до наступного:

«З огляду на одну з величин$\beta,\gamma,k,z,K,\phi,\theta$, обчислити одну з інших».

Таким чином, я б припустив, що, ще до того, як ви маєте уявлення про те, що ці величини означають, ви можете написати програму для вашого комп'ютера (або програмований калькулятор) таким чином, що, коли ви вводите будь-який з реальних величин, комп'ютер миттєво поверне всі шість з них. Це позбавить вас у майбутніх випадках від необхідності запам'ятовувати точні формули або турбуватися про нудну арифметику, щоб ви могли сконцентрувати свій розум на розумінні відносності.

Просто для подальшого використання, Я табулювати тут відносини між цими різними величинами. Це передбачало деяку алгебру та набір тексту; Я не думаю, що є якісь помилки, але я сподіваюся, що якийсь читач може ретельно перевірити їх і дасть мені знати (jtatum@ uvic.ca), якщо він чи вона знайде їх.

$\beta = \sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}=\frac{k^{2}-1}{k^{2}+1}=\frac{z(z+2)}{(z+1)^{2}+1}=\frac{\sqrt{K(K+2)}}{K+1}=\tanh\phi$або$\frac{e^{2\phi}-1}{e^{2\phi}+1}=-i\tan\theta$

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{k^{2}+1}{2k}=\frac{(z+1)^{2}+1}{2(z+1)}=K+1=\cosh\phi$або$\frac{1}{2}(e^{\phi}+e^{-\phi})=\cos\theta$

$k=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}=\gamma+\sqrt{\gamma^{2}-1}=z+1=K+1+\sqrt{K(K+2)}=e^{\phi}=e^{-i\theta}$

$z=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}-1=\gamma-1+\sqrt{\gamma^{2}-1}=k-1=K+\sqrt{K(K+2)}=e^{\phi}-1=e^{-i\theta}-1$

$K=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}-1=\gamma-1=\frac{(k-1)^{2}}{2k}=\frac{z^{2}}{2(z+1)}=\frac{(e^{\phi}-1)^{2}}{2e^{\phi}}=\cos\theta-1$

$\phi=\tanh^{-1}\beta$або$\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\beta}{1-\beta}\right)=\cosh^{-1}\gamma$ або$\ln(\gamma+\sqrt{\gamma^{2}-1})=\ln k=\ln(z+1)=\ln\left(K+1+\sqrt{K(K+2)}\right)=-i\theta$

$\theta=\frac{i}{2}\ln\left(\frac{1+\beta}{1-\beta}\right)=i\ln(\gamma+\sqrt{\gamma^{2}-1})=i\ln k=i\ln(z+1)=i\ln\left[K+1+\sqrt{K(K+2)}\right]=i\phi$