22.2: Гіроскоп

Іграшковий гіроскоп маси$m$ складається з обертового маховика, встановленого в рамці підвіски, що дозволяє осі маховика вказувати в будь-якому напрямку. Один кінець осі спирається на пілон$a$ відстані$d$ від центру маси гіроскопа.

Малюнок 22.2: Іграшковий гіроскоп

Вибирайте полярні координати так, щоб вісь маховика гіроскопа була вирівняна по осі r, а вертикальна вісь - вісь z (на малюнку 22.2 показано схематичне зображення гіроскопа).

Малюнок 22.3 Кутові обертання

Маховик обертається навколо своєї осі з кутовою швидкістю обертання,

$$\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}_{s}=\omega_{s} \hat{\mathbf{r}} \nonumber$$

де$\omega_{s}$ радіальна складова і$\omega_{s}>0$ для випадку, проілюстрованого на малюнку 22.2.

Коли ми випускаємо гіроскоп, він зазнає дуже дивного руху. Замість того, щоб падати вниз, центр мас обертається навколо вертикальної осі, яка проходить через точку$S$ контакту осі з пілоном з прецесійною кутовою швидкістю

$$\overrightarrow{\boldsymbol{\Omega}}=\Omega_{z} \hat{\mathbf{k}}=\frac{d \theta}{d t} \hat{\mathbf{k}} \nonumber$$

де$\Omega_{z}=d \theta / d t$ z -компонент і$\Omega_{z}>0$ для випадку, проілюстрованого на малюнку 22.3. Тому кутова швидкість маховика - це сума цих двох внесків.

$$\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}=\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}_{s}+\overrightarrow{\boldsymbol{\Omega}}=\omega_{s} \hat{\mathbf{r}}+\Omega_{z} \hat{\mathbf{k}} \nonumber$$

Вивчимо окремий випадок, коли величина$\left|\Omega_{z}\right|$ прецесійної складової кутової швидкості набагато менше величини спінової$\left|\omega_{s}\right|$ складової кутової швидкості$\left|\Omega_{z}\right|<<\mid \omega_{s}$, так що величина кутової швидкості$|\vec{\omega}| \simeq\left|\omega_{\mathrm{s}}\right| \text { and } \Omega_{z} \text { and } \omega_{s}$ майже постійна. Ці припущення в сукупності називаються гіроскопічним наближенням.

Діаграма сил для гіроскопа показана на малюнку 22.4. Гравітаційна сила діє в центрі маси і спрямована вниз,$\overrightarrow{\mathbf{F}}^{g}=-m g \hat{\mathbf{k}}$. Існує також контактна сила,$\overrightarrow{\mathbf{F}}^{c}$ між кінцем осі і пілоном. Може здатися, що контактна сила$\overrightarrow{\mathbf{F}}^{c}$ має лише висхідну складову$\overrightarrow{\mathbf{F}}^{v}=F_{z} \hat{\mathbf{k}}$, але, як ми незабаром побачимо, також повинна бути радіальна внутрішня складова контактної сили,$\overrightarrow{\mathbf{F}}^{r}=F_{r} \hat{\mathbf{r}}, \text { with } F_{r}<0$ оскільки центр маси зазнає кругового руху.

Малюнок 22.4 Діаграма сили і крутного моменту для гіроскопа

Причина того, що гіроскоп не падає вниз, полягає в тому, що вертикальна складова контактної сили точно врівноважує силу тяжіння.

$$F_{z}-m g=0 \nonumber$$

Як щодо крутного моменту щодо точки контакту$S$? Контактна сила діє при$S$ тому, що вона не сприяє крутному моменту близько$S$; тільки гравітаційна сила сприяє крутному моменту близько$S$ (рис. 22.5b). Напрямок крутного моменту про$S$ задається

$$\vec{\tau}_{S}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, \mathrm{cm}} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{gravity}}=d \hat{\mathbf{r}} \times m g(-\hat{\mathbf{k}})=d m g \hat{\boldsymbol{\theta}} \nonumber$$

і знаходиться в$\hat{\boldsymbol{\theta}}$ позитивному напрямку. Однак ми знаємо, що якщо є ненульовий крутний момент близько$S$, то кутовий момент близько$S$ повинен змінюватися в часі, згідно

$$\vec{\tau}_{S}=\frac{d \overrightarrow{\mathrm{L}}_{S}}{d t} \nonumber$$

Кутовий момент про точку$S$ гіроскопа задається

$$\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}=\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}^{\text {otbital }}+\overrightarrow{\mathbf{L}}_{\mathrm{cm}}^{\text {spin }} \nonumber$$

Орбітальний момент моменту навколо точки$S$ дорівнює

$$\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}^{\text {otbial }}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, c m} \times m \overrightarrow{\mathbf{v}}_{c m}=d \hat{\mathbf{r}} \times m d \Omega_{z} \hat{\boldsymbol{\theta}}=m d^{2} \Omega_{z} \hat{\mathbf{k}} \nonumber$$

Величина орбітального моменту$S$ близько майже постійна і напрямок не змінюється. Тому

$$\frac{d}{d t} \overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}^{\text {obital }}=\overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber$$

Кутовий імпульс обертання включає два терміни. Нагадаємо, що маховик зазнає два окремих обертання навколо різних осей. Він обертається навколо осі маховика з кутовою швидкістю обертання$\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}_{s}$. У міру попередження маховика навколо точки повороту маховик обертається навколо осі z з прецесійною кутовою швидкістю$\overrightarrow{\mathbf{\Omega}}$ (рис. 22.5). Таким чином, кутовий імпульс обертання задається

$$\overrightarrow{\mathbf{L}}_{\mathrm{cm}}^{\operatorname{spin}}=I_{r} \omega_{s} \hat{\mathbf{r}}+I_{z} \Omega_{z} \hat{\mathbf{k}} \nonumber$$

де$I_{r}$ - момент інерції щодо осі маховика і$I_{z}$ - момент інерції щодо осі z. Якщо припустити, що вісь безмасова і маховик рівномірний з радіусом R, то$I_{r}=(1 / 2) m R^{2}$. За перпендикулярною віссю теорема$I_{r}=I_{z}+I_{y}=2 I_{z}$ звідси$I_{z}=(1 / 4) m R^{2}$.

Малюнок 22.5: Обертання навколо центру маси маховика Малюнок 22.6 Спін кутового моменту.

Нагадаємо, що гіроскопічне наближення тримає, коли,$\left|\Omega_{z}\right|<<\left|\omega_{s}\right|$ що означає, що$I_{z} \Omega_{z}<<I_{r} \omega_{s}$ і тому ми можемо ігнорувати внесок у спіновий кутовий імпульс від обертання навколо вертикальної осі, і так

$$\overrightarrow{\mathbf{L}}_{\mathrm{cm}}^{\operatorname{spin}} \simeq I_{\mathrm{cm}} \omega_{s} \hat{\mathbf{r}} \nonumber$$

(Внесок у спіновий момент, обумовлений обертанням навколо осі z,$I_{z} \Omega_{z} \hat{\mathbf{k}}$ майже постійний як за величиною, так і за напрямком, тому він не змінюється в часі,$d\left(I_{z} \Omega_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) / d t \simeq \overrightarrow{\mathbf{0}}$. Тому момент імпульсу приблизно$S$ дорівнює.

$$\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S} \simeq \overrightarrow{\mathbf{L}}_{\mathrm{cm}}^{\mathrm{spin}}=I_{\mathrm{cm}} \omega_{s} \hat{\mathbf{r}} \nonumber$$

Наше початкове очікування того, що гіроскоп повинен впасти вниз через крутного моменту, який сила тяжіння чинить щодо точки контакту,$S$ призводить до порушення закону крутного моменту. Якщо центр маси дійсно почав падати, то зміна кута обертання, вказуватиме на негативний z -напрямок,$\Delta \overrightarrow{\mathbf{L}}_{\mathrm{cm}}^{\operatorname{spin}}$ і це суперечило б векторному аспекту рівняння (22.2.6). Замість того, щоб падати вниз, кутовий момент навколо центру маси,$\overrightarrow{\mathbf{L}}_{\mathrm{cm}}^{\mathrm{spin}}$ повинен змінити напрямок таким чином, щоб напрямок$\Delta \overrightarrow{\mathbf{L}}_{\mathrm{cm}}^{\text {spin }}$ знаходиться в тому ж напрямку, що і крутний момент про$S$ (Рівняння (22.2.5)), позитивний$\hat{\boldsymbol{\theta}}$ -напрямок.

Нагадаємо, що в нашому дослідженні кругового руху ми вже стикалися з декількома прикладами, в яких змінюється напрямок вектора постійної величини. Розглянуто точковий об'єкт маси m, що рухається по колу радіуса r. Коли ми вибираємо систему координат з початком у центрі кола, вектор положення$\overrightarrow{\mathbf{r}}$ спрямований радіально назовні. Коли маса рухається по колу, вектор положення має постійну величину, але змінюється в напрямку. Вектор швидкості задається

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{r}}}{d t}=\frac{d}{d t}(r \hat{\mathbf{r}})=r \frac{d \theta}{d t} \hat{\boldsymbol{\theta}}=r \omega_{z} \hat{\boldsymbol{\theta}} \nonumber$$

і має напрямок, яке перпендикулярно вектору положення (дотична до кола), (рис. 22.7а)).

Малюнок 22.7 (a) Обертове положення та вектор швидкості; (b) вектор швидкості та прискорення для рівномірного кругового руху

Для рівномірного кругового руху величина швидкості постійна, але напрямок постійно змінюється, і ми виявили, що прискорення задається (рис. 22.7b)

$$\overrightarrow{\mathbf{a}}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{v}}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(v_{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}}\right)=v_{\theta} \frac{d \theta}{d t}(-\hat{\mathbf{r}})=r \omega_{z} \omega_{z}(-\hat{\mathbf{r}})=-r \omega_{z}^{2} \hat{\mathbf{r}} \nonumber$$

Зауважимо, що ми використовували факти, які

\ [\ почати {масив} {l}
\ frac {d\ hat {\ mathbf {r}} {d t} =\ frac {d\ тета} {d\ тета}\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}
\ hat {\ boldsymbol {\ theta}} {d t} =-\ frac {d\ theta} {d\ theta}}\ hat {\ mathbf {r}}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

у рівняннях (22.2.13) та (22.2.14). Ми можемо застосувати ті ж міркування до того, як змінюється кутова спина в часі (рис. 22.8).

Похідна часу спінового кутового моменту задається

$$\frac{d \overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}}{d t}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{L}}_{\mathrm{cm}, \omega_{s}}^{\operatorname{spin}}}{d t}=\left|\overrightarrow{\mathbf{L}}_{\mathrm{cm}, \omega_{s}}^{\sin }\right| \frac{d \theta}{d t} \hat{\boldsymbol{\theta}}=\left|\overrightarrow{\mathbf{L}}_{\mathrm{cm}, \omega_{s}}^{\sin }\right| \Omega_{z} \hat{\boldsymbol{\theta}}=I_{r} \omega_{s} \Omega_{z} \hat{\boldsymbol{\theta}} \nonumber$$

$\Omega_{z}=d \theta / d t$де z -компонент і$\Omega_{z}>0$. Центр мас маховика обертається навколо вертикальної осі, яка проходить через точку$S$ контакту осі з пілоном з прецесійною кутовою швидкістю.

$$\overrightarrow{\mathbf{Q}}=\Omega_{z} \hat{\mathbf{k}}=\frac{d \theta}{d t} \hat{\mathbf{k}} \nonumber$$

Замініть рівняння (22.2.16) та (22.2.5) на рівняння (22.2.6), що дають

$$d m g \hat{\boldsymbol{\theta}}=\left|\overrightarrow{\mathbf{L}}_{\mathrm{cm}}^{\sin }\right| \Omega_{z} \hat{\boldsymbol{\theta}} \nonumber$$

Розв'язування рівняння (22.2.18) для z -складової прецесійної кутової швидкості гіроскопа

$$\Omega_{z}=\frac{d m g}{\left|\overrightarrow{\mathbf{L}}_{\mathrm{cm}}^{\mathrm{spin}}\right|}=\frac{d m g}{I_{\mathrm{cm}} \omega_{\mathrm{s}}} \nonumber$$

Малюнок 22.8 Час зміни напрямку обертання кутового моменту