5.2: Рух снаряда
Розглянемо рух тіла, яке звільняється в момент t = 0 з початковою швидкістю→v0. Два шляхи показані на малюнку 5.1.

Пунктирна траєкторія являє собою параболічну траєкторію, а твердий шлях - фактичну траєкторію. Різниця між двома шляхами обумовлена впливом на об'єкт опором повітря→Fair=−bv2ˆv, деˆv знаходиться одиничний вектор в напрямку швидкості. (Для орбіт, показаних на малюнку5.1,b=0.01N⋅s2⋅m−2|→v0|=30.0m⋅s, початковий кут запуску по відношенню до горизонталіθ0=21∘ та фактична пройдена горизонтальна відстань становить71.7% орбіту снаряда.). Є й інші фактори, які можуть впливати на шлях руху; обертається тіло або спеціальна форма може змінити потік повітря навколо тіла, що може викликати вигнутий рух або підняти, як політ бейсбол або м'яч для гольфу. Ми почнемо наш аналіз з нехтування всіма взаємодіями, крім гравітаційної взаємодії.

Виберіть координати з позитивною віссю y у вертикальному напрямку вгору та позитивною віссю x у горизонтальному напрямку у напрямку, в якому об'єкт рухається горизонтально. Виберіть початок біля землі безпосередньо під точкою, в якій об'єкт звільняється. На малюнку 5.2 показана наша система координат з положенням об'єкта→r(t) в момент t, початковою швидкістю→v0 іθ0 початковим кутом по відношенню до горизонталі, а також координатними функціями x (t) і y (t).
Початкові умови:

Розкладіть початковий вектор швидкості на його складові:
→v0=vx,0ˆi+vy,0ˆj
Векторне розкладання для початкової швидкості показано на малюнку 5.3. Часто опис польоту снаряда включає в себе твердження, «тіло проектується з початковоюv0 швидкістю підθ0 кутом по відношенню до горизонталі». Складові початкової швидкості можуть бути виражені через початкову швидкість і кут відповідно до
vx,0=v0cosθ0
vy,0=v0sinθ0
Оскільки початкова швидкість - це величина початкової швидкості, ми маємо що
v0=(v2x,0+v2y,0)1/2
Кутθ0 пов'язаний зі складовими початкової швидкості по
θ0=tan−1(vy,0/vx,0)
Рівняння (5.1.8) дасть два значення для кутаθ0, тому необхідно подбати про вибір правильної фізичної величини. Вектор початкового положення загалом задається
→r0=x0ˆi+y0ˆj
Зверніть увагу, що траєкторія на малюнку 5.3 маєx0=0, але так буде не завжди.
Діаграма сили
Ми починаємо з нехтування всіма силами, крім гравітаційної взаємодії між об'єктом і землею. Ця сила діє вниз з величиною mg, де m - маса предмета іg=9.8m⋅s−2. На малюнку 5.4 показана схема сили на об'єкті.

Векторне розкладання сили дорівнює
→Fg=−mgˆj
Рівняння рухів
Діаграма сили нагадує нам, що сила діє в y -напрямку. Другий закон Ньютона стверджує, що сума сили→Ftotal , що діє на об'єкт, дорівнює добутку маси m і вектору прискорення→a
→Ftotal =m→a
Оскільки ми моделюємо рух лише з однією силою, ми маємо це→Ftotal =→Fg. Це векторне рівняння; компоненти прирівнюються окремо:
−mg=may
0=max
Тому y -складова прискорення дорівнює
ay=−g
Ми бачимо, що прискорення є постійною і не залежить від маси об'єкта. Зауважте, щоay<0. Це тому, що ми вибрали наш позитивний y -напрямок, щоб вказати вгору. Знак y -складової прискорення визначається тим, як ми вибираємо нашу систему координат. Оскільки на об'єкт не діють горизонтальні сили, робимо висновок, що прискорення в горизонтальному напрямку теж дорівнює нулю.
ax=0
Тому х -складова швидкості залишається незмінною протягом усього польоту об'єкта.
Прискорення у вертикальному напрямку постійне для всіх тіл поблизу поверхні Землі, незалежно від маси об'єкта, тим самим підтверджуючи Закон Галілея про вільні падаючі тіла. Зверніть увагу, що рівняння руху (Equation (5.1.14)) узагальнює експериментальне спостереження, що об'єкти падають з постійним прискоренням. Наше твердження про прискорення об'єктів поблизу поверхні Землі залежить від нашого модельного закону сили Рівняння (5.1.10), і якщо наступні спостереження показують, що прискорення не є постійним, то ми або повинні включати додаткові сили (наприклад, опір повітря), або модифікувати закон сили (для об'єктів, які перебувають вже не біля поверхні Землі, або вважають, що Земля є несиметричним неоднорідним тілом), або враховують обертальний рух Землі.
Тепер ми можемо інтегрувати рівняння рухів (Рівняння (5.1.14) та (5.1.15)) окремо для напрямків x - та y, щоб знайти вирази для x - та y -компонентів швидкості та положення:
\ [\ почати {вирівняти}
v_ {x} (t) -v_ {x, 0} &=\ int_ {t^ {\ прайм} =0} ^ {t^ {\ прайм} =t} a_ {x}\ ліворуч (t^ {\ прайм}\ праворуч) d t^ {\ прайм} =0\ Стрілка вправо v_ {x} (t) =v_ {x, 0}\\ [4pt]
x (t) -x_ {0} &=\ int_ {t^ {\ прайм} =0} ^ {t^ {\ прайм} =t} v_ {x}\ лівий (t^ {\ прайм}\ прайм} д t^ {\ прайм} =\ int_ {\ прайм} =\ int_ {\ прайм} =0} ^ {t^ {\ прайм} =t } v_ {x, 0} d t^ {\ прайм} =v_ {x, 0} t\ Стрілка вправо x (t) =x_ {0} +v_ {x, 0} t\\ [4pt]
v_ {y} (t) -v_ {y, 0} &=\ int_ {t^ {\ прайм} =0} ^ {t^ {\ прайм}} a_ {y}\ лівий (t^ {\ правий}\ правий) d t^ {\ прайм} =-\ int_ {t^ {\ прайм} =0} ^ {\ прайм} =т} г г т ^ {\ прайм} =-г т\\ правий рядок v_ {y} (t) =v_ {y, 0} -g t\ [4pt]
y (т) -й_ { 0} &=\ int_ {t = 0} ^ {t = t} v_ {y}\ ліворуч (t^ {\ прайм}\ праворуч) d t^ {\ прайм} =\ int_ {\ прайм} =0} ^ {t = t}\ ліворуч (v_ {y, 0} -g t\ праворуч) d t^ {\ прайм} =v_ {y}\ left (v_ {y, 0} -g t\ праворуч) d t^ {\ прайм} =v_ {y }- (1/2) g t^ {2}\ Стрілка вправо y (t) =y_ {0} +v_ {y, 0} t- (1/2) g t^ {2}
\ end {вирівнювання}\ nonumber\]
Повний набір векторних рівнянь положення і швидкості для кожного незалежного напрямку руху задано
→r(t)=x(t)ˆi+y(t)ˆj=(x0+vx,0t)ˆi+(y0+vy,0t+(1/2)ayt2)ˆj
→v(t)=vx(t)ˆi+vy(t)ˆj=vx,0ˆi+(vy,0+ayt)ˆj
→a(t)=ax(t)ˆi+ay(t)ˆj=ayˆj
Приклад5.2.1: Time of Flight and Maximum Height of a Projectile
Людина кидає камінь під початковим кутомθ0=45∘ від горизонталі з початковою швидкістюv0=20m⋅s−1. Точка випуску каменю знаходиться на висоті d = 2 м над землею. Ви можете знехтувати опором повітря. а) Скільки часу потрібно каменю, щоб досягти найвищої точки його траєкторії? б) Яким було максимальне вертикальне зміщення каменю? Ігноруйте опір повітря.
Рішення: Виберіть походження на землі безпосередньо під точкою, де камінь випущений. Ми вибираємо позитивну вісь y у вертикальному напрямку вгору та позитивну вісь x у горизонтальному напрямку в напрямку, в якому об'єкт рухається горизонтально. Встановіть t = 0 в момент звільнення каменю. При t = 0 початкові умови тодіx0=0 іy0=d. Початкові x - і y -складові швидкості задаються рівняннями (5.1.5) і (5.1.6).
У час t камінь має координати (x (t), y (t)). Ці координатні функції показані на малюнку 5.5.


Нахил цього графіка в будь-який момент t дає миттєву y-складову швидкостіvy(t) в той час t. Рисунок 5.5 - це графік y (t) проти x (t), а рис. 5.6 - це графік y (t) проти t. Є кілька важливих речей, щоб помітити про малюнки 5.5 і 5.6. Перший момент полягає в тому, що осі абсцис різні в обох фігурах. Друге, на що слід звернути увагу, це те, що при t = 0 нахил графіка на малюнку 5.5 дорівнює
dydx|t=0=(dy/dtdx/dt)|t=0=vy,0vx,0=tanθ0
в той час як при t = 0 нахил графіка на малюнку 5.6 дорівнює
dydt|t=0=vy,0
Нахил цього графіка на малюнку 5.6 в будь-який момент t дає миттєву y-складову швидкостіvy(t) в той час t. Нехайt=t1 відповідає моменту, коли камінь знаходиться в максимальному вертикальному положенні, найвищій точці польоту. Останнє, що слід помітити про Малюнок 5.6, цеt=t1 те, що нахил дорівнює нулю абоvy(t=t1)=0. Тому
vy(t1)=v0sinθ0−gt1=0
Розв'язування рівняння (5.1.21) дляt1 врожайності,
t1=v0sinθ0g=(20m⋅s−1)sin(45∘)9.8m⋅s−2=1.44s
Графік на малюнку 5.7 показує графікvy(t) як функцію часу. Зверніть увагу, що при t = 0 перехоплення є позитивним, що вказує на те, щоVy,0 є позитивним, що означає, що камінь був кинутий вгору. y -складова швидкості змінюється знаком,t=t1 вказуючи на те, що камінь змінює свій напрямок і починає рухатися вниз.

Тепер підставляємо вираз дляt=ttop (Equation (5.1.22)) у y -компонент положення в Рівнянні (5.1.16), щоб знайти максимальну висоту каменю над землею
\ [\ почати {масив} {l}
y\ лівий (t=t_ {t o p}\ праворуч) =д+v_ {0}\ sin\ theta_ {0}\ frac {v_ {0}\ sin\ theta_ {0}} {g} -\ frac {1} {2} г\ лівий (\ frac {v_ {0}\ sin\ theta_ {0}} {g}\ праворуч) ^ {2}\\
=d+\ frac {v_ {0} ^ {2}\ sin ^ {2}\ theta_ {0}} {2 g} =2\ mathrm {m} +\ frac {\ ліворуч (20\ mathrm}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-1}\ праворуч ^ {2} \ sin ^ {2}\ ліворуч (45^ {\ circ}\ праворуч)} {2\ ліворуч (9.8\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч)} =12.2\ mathrm {m}
\ end {масив}\ nonumber\]
Рівняння орбіти
Поки що наш опис руху підкреслював незалежність просторових вимірів, розглядаючи всі кінематичні величини як функції часу. Тепер ми виключимо час з нашого рівняння і знайдемо рівняння орбіти тіла, що зазнає руху снаряда. Почнемо з х -складової позиції в Рівнянні (5.1.16),
x(t)=x0+vx,0t
і вирішити Рівняння (5.1.24) для часу t як функції x (t),
t=x(t)−x0vx,0
y -складова позиції у рівнянні (5.1.16) задається
y(t)=y0+vy,0t−12gt2
Потім ми замінюємо рівняння (5.1.25) на рівняння (5.1.26), що дає
y(t)=y0+vy,0(x(t)−x0vx,0)−12g(x(t)−x0vx,0)2
Трохи алгебраїчне спрощення дає рівняння для параболи:
y(t)=−12gv2x,0x(t)2+(gx0v2x,0+vy,0vx,0)x(t)−vy,0vx,0x0−12gv2x,0x20+y0
Графік y (t) як функції x (t) показаний на малюнку 5.8.

Вектор швидкості задається
→v(t)=dx(t)dtˆi+dy(t)dtˆj≡vx(t)ˆi+vy(t)ˆj
Напрямок вектора швидкості в точці (x (t), y (t)) можна визначити за складовими. Нехай θ - кут, який вектор швидкості формує по відношенню до позитивної осі х. Тоді
θ=tan−1(vy(t)vx(t))=tan−1(dy/dtdx/dt)=tan−1(dydx)
Диференціююче рівняння (5.1.28) щодо x врожайності
dydx=−gv2x,0x+(gx0v2x,0+vy,0vx,0)
Напрямок вектора швидкості в точці (x (t), y (t)), отже,
θ=tan−1(−gv2x,0x+(gx0v2x,0+vy,0vx,0))
Хоча ми можемо визначити кут швидкості, ми не можемо визначити, наскільки швидко тіло рухається по параболічній орбіті з нашого графіка y (x); величину швидкості неможливо визначити з інформації про дотичну лінію.
Якщо ми виберемо своє походження при початковому положенні тіла при t = 0, тоx0=0 іy0=0. Наше рівняння орбіти, рівняння (5.1.28) тепер можна спростити до
y(t)=−12gv2x,0x(t)2+vy,0vx,0x(t)
Приклад5.2.2: Hitting the Bucket
Людина тримає відро, стоячи на сходах. Людина звільняє відро від відпочинку на висотіh1, над землею. Друга людина, стоячи на горизонтальній відстані s від відра, цілиться і кидає м'яч в той момент, коли відро звільняється для того, щоб вдарити відро. Людина випускає м'яч на висотіh2 над землею, з початковою швидкістюv0, і підθ0 кутом по відношенню до горизонталі. Припустимо, що вінv0 досить великий, щоб камінь принаймні проїхав горизонтальну відстань s, перш ніж він потрапить на землю. Ви можете ігнорувати опір повітря.

- Знайдіть вираз для кутаθ0, який людина спрямовує м'яч для того, щоб вдарити по відру. Чи залежить відповідь від початкової швидкості?
- Знайти вираз для часу зіткнення як функцію початкової швидкості кулі\v0, так і величин\h1\h2, і s.
- Знайдіть вираз для висоти над землею, де сталося зіткнення як функція початкової швидкості кулі\v0, так і величин\h1\h2, і s.
Рішення
У цій проблемі беруть участь два об'єкти. Кожен об'єкт переживає вільне падіння, тому для кожного об'єкта існує лише один етап руху. Відро піддається одновимірному руху. М'яч піддається двовимірному руху. Параметри\h1,\h2\v0, і s не визначені, тому наші відповіді будуть функціями цих величин. На малюнку 5.9 показаний ескіз руху всіх тіл в цій задачі.
Виберіть походження на землі безпосередньо під точкою, де м'яч відпускається, вгору для позитивного напрямку y і до відра для позитивного напрямку x. Виберіть координати розташування відра наступним чином. Горизонтальна координата є постійною і задаєтьсяx1=s. Вертикальна координата представляє висоту над землею і позначається символомy1(t). Куля має координати(x2(t),y2(t)). Ці координати ми показуємо на малюнку 5.10.

Відро піддається постійному прискореннюa1,y=−g у вертикальному напрямку і куля піддається рівномірному руху в горизонтальному напрямку і постійному прискоренню у вертикальному напрямку, приa2,x=0 іa2,y=−g.
Початковими умовами для відра є(v1,0)y=0,x1,0=s,y1,0=h1. Рівняння положення і швидкості відра спрощують
y1(t)=h1−12gt2
vy,1(t)=−gt
Початкове положення дається поx2,0=0,y2,0=h2. Складові початкової швидкості задаються(v2,0)y=v0sin(θ0) і(v2,0)x=v0cos(θ0), деv0 - величина початкової швидкості іθ0 початковий кут по відношенню до горизонталі. Рівняння положення і швидкості кулі спрощують
x2(t)=v0cos(θ0)t
v2x(t)=v0cos(θ0)
y2(t)=h2+v0sin(θ0)t−12gt2
v2,y(t)=v0sin(θ0)−gt
Зверніть увагу, що величиниh1,h2,v0, і s повинні розглядатися як відомі величини, хоча числових значень не було дано. Існує шість незалежних рівнянь з 8 поки не визначеними величинамиy1(t),t,y2(t),x2(t),v1,y(t),v2,y(t),v2,x(t), іθ0.
Отже, нам потрібні ще дві умови, щоб знайти вирази для початкового кутаθ0, часу зіткнення та просторового розташування точки зіткненняta, визначеноїy1(ta) абоy2(ta). У моментt=ta зіткнення зіткнення відбувається, коли дві кулі розташовані в одному положенні. Тому
y1(ta)=y2(ta)
x2(ta)=x1=s
Тепер ми будемо застосовувати ці умови, які повинні бути виконані для того, щоб м'яч потрапив у відро.
h1−12gt2a=h2+v0sin(θ0)ta−12gt2a
s=v0cos(θ0)ta
Рівняння (5.1.42) спрощує
v0sin(θ0)ta=h1−h2
Рівняння ділення (5.1.44) за рівнянням (5.1.43) дає
v0sin(θ0)tav0cos(θ0)ta=tan(θ0)=h1−h2s2
Таким чином,θ0 початковий кут не залежить від і задаєтьсяv0
θ0=tan−1((h1−h2)/s)
З малюнка 5.11 ми бачимо, що цеtan(θ0)=(h1−h2)/s означає, що друга людина спрямовує м'яч у початкове положення відра.

Для того, щоб знайти час, коли куля стикається з відром, ми починаємо з квадрата обох рівнянь (5.1.44) і (5.1.43), а потім використовуємо тригонометричну ідентичністьsin2(θ0)+cos2(θ0)=1. Наші квадратні рівняння стають
v20sin2(θ0)t2a=(h1−h2)2
v20cos2(θ0)t2a=s2
Додавання цих рівнянь разом, використання ідентичностіsin2(θ0)+cos2(θ0)=1 та взяття квадратних коренів дає
v0ta=(s2+(h1−h2)2)1/2
Ми можемо вирішити рівняння (5.1.49) за час зіткнення
ta=1v0(s2+(h1−h2)2)1/2
Тепер ми можемо використовувати y -координатну функцію або м'яч або відро на,t=ta щоб знайти висоту, що куля стикається з відром. Оскільки у відра не було початкової y - складової швидкості, простіше використовувати умову для відра,
y1(ta)=h1−g(s2+(h1−h2)2)2v20
Коментарі:
(1) Рівняння (5.1.49) та (5.1.50) можуть бути отримані дуже прямим способом. Припустимо, ми аналізуємо рух у системі відліку, яка прискорюється вниз с→A=−gˆj. У цій опорній рамці і відро, і камінь не прискорюються; відро знаходиться в стані спокою, а камінь рухається зі швидкістюv0, під кутомθ0. Тому для того, щоб потрапити в нерухоме відро, камінь повинен бути кинутий під кутом, заданим рівнянням (5.1.46), а час, який потрібно, щоб потрапити в камінь, просто дається пройденої відстані, розділеної на швидкість, Рівняння (5.1.50).