5.2: Рух снаряда

Розглянемо рух тіла, яке звільняється в момент t = 0 з початковою швидкістю\(\overrightarrow{\mathbf{v}}_{0}\). Два шляхи показані на малюнку 5.1.

Малюнок 5.1 Фактична орбіта обліку опору повітря та параболічної орбіти снаряда

Пунктирна траєкторія являє собою параболічну траєкторію, а твердий шлях - фактичну траєкторію. Різниця між двома шляхами обумовлена впливом на об'єкт опором повітря\(\overrightarrow{\mathbf{F}}^{a i r}=-b v^{2} \hat{\mathbf{v}}\), де\(\hat{\mathbf{v}}\) знаходиться одиничний вектор в напрямку швидкості. (Для орбіт, показаних на малюнку\(5.1, b=0.01 \mathrm{N} \cdot \mathrm{s}^{2} \cdot \mathrm{m}^{-2}\)\(\left|\overrightarrow{\mathbf{v}}_{0}\right|=30.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}\), початковий кут запуску по відношенню до горизонталі\(\theta_{0}=21^{\circ}\) та фактична пройдена горизонтальна відстань становить\(71.7 \%\) орбіту снаряда.). Є й інші фактори, які можуть впливати на шлях руху; обертається тіло або спеціальна форма може змінити потік повітря навколо тіла, що може викликати вигнутий рух або підняти, як політ бейсбол або м'яч для гольфу. Ми почнемо наш аналіз з нехтування всіма взаємодіями, крім гравітаційної взаємодії.

Малюнок 5.2 Координатний ескіз для параболічного руху.

Виберіть координати з позитивною віссю y у вертикальному напрямку вгору та позитивною віссю x у горизонтальному напрямку у напрямку, в якому об'єкт рухається горизонтально. Виберіть початок біля землі безпосередньо під точкою, в якій об'єкт звільняється. На малюнку 5.2 показана наша система координат з положенням об'єкта\(\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)\) в момент t, початковою швидкістю\(\overrightarrow{\mathbf{v}}_{0}\) і\(\theta_{0}\) початковим кутом по відношенню до горизонталі, а також координатними функціями x (t) і y (t).

Початкові умови:

Малюнок 5.3 Векторне розкладання початкової швидкості

Розкладіть початковий вектор швидкості на його складові:

\[\overrightarrow{\mathbf{v}}_{0}=v_{x, 0} \hat{\mathbf{i}}+v_{y, 0} \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

Векторне розкладання для початкової швидкості показано на малюнку 5.3. Часто опис польоту снаряда включає в себе твердження, «тіло проектується з початковою\(v_{0}\) швидкістю під\(\theta_{0}\) кутом по відношенню до горизонталі». Складові початкової швидкості можуть бути виражені через початкову швидкість і кут відповідно до

\[v_{x, 0}=v_{0} \cos \theta_{0} \nonumber \]

\[v_{y, 0}=v_{0} \sin \theta_{0} \nonumber \]

Оскільки початкова швидкість - це величина початкової швидкості, ми маємо що

\[v_{0}=\left(v_{x, 0}^{2}+v_{y, 0}^{2}\right)^{1 / 2} \nonumber \]

Кут\(\theta_{0}\) пов'язаний зі складовими початкової швидкості по

\[\theta_{0}=\tan ^{-1}\left(v_{y, 0} / v_{x, 0}\right) \nonumber \]

Рівняння (5.1.8) дасть два значення для кута\(\theta_{0}\), тому необхідно подбати про вибір правильної фізичної величини. Вектор початкового положення загалом задається

\[\overrightarrow{\mathbf{r}}_{0}=x_{0} \hat{\mathbf{i}}+y_{0} \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

Зверніть увагу, що траєкторія на малюнку 5.3 має\(x_{0}=0\), але так буде не завжди.

Діаграма сили

Ми починаємо з нехтування всіма силами, крім гравітаційної взаємодії між об'єктом і землею. Ця сила діє вниз з величиною mg, де m - маса предмета і\(g=9.8 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\). На малюнку 5.4 показана схема сили на об'єкті.

Малюнок 5.4 Діаграма сили вільного тіла на об'єкт з дією сили тяжіння

Векторне розкладання сили дорівнює

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}^{g}=-m g \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

Рівняння рухів

Діаграма сили нагадує нам, що сила діє в y -напрямку. Другий закон Ньютона стверджує, що сума сили\(\overrightarrow{\mathbf{F}}^{\text {total }}\), що діє на об'єкт, дорівнює добутку маси m і вектору прискорення\(\overrightarrow{\mathbf{a}}\)

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}^{\text {total }}=m \overrightarrow{\mathbf{a}} \nonumber \]

Оскільки ми моделюємо рух лише з однією силою, ми маємо це\(\overrightarrow{\mathbf{F}}^{\text {total }}=\overrightarrow{\mathbf{F}}^{g}\). Це векторне рівняння; компоненти прирівнюються окремо:

\[-m g=m a_{y} \nonumber \]

\[0=m a_{x} \nonumber \]

Тому y -складова прискорення дорівнює

\[a_{y}=-g \nonumber \]

Ми бачимо, що прискорення є постійною і не залежить від маси об'єкта. Зауважте, що\(a_{y}<0\). Це тому, що ми вибрали наш позитивний y -напрямок, щоб вказати вгору. Знак y -складової прискорення визначається тим, як ми вибираємо нашу систему координат. Оскільки на об'єкт не діють горизонтальні сили, робимо висновок, що прискорення в горизонтальному напрямку теж дорівнює нулю.

\[a_{x}=0 \nonumber \]

Тому х -складова швидкості залишається незмінною протягом усього польоту об'єкта.

Прискорення у вертикальному напрямку постійне для всіх тіл поблизу поверхні Землі, незалежно від маси об'єкта, тим самим підтверджуючи Закон Галілея про вільні падаючі тіла. Зверніть увагу, що рівняння руху (Equation (5.1.14)) узагальнює експериментальне спостереження, що об'єкти падають з постійним прискоренням. Наше твердження про прискорення об'єктів поблизу поверхні Землі залежить від нашого модельного закону сили Рівняння (5.1.10), і якщо наступні спостереження показують, що прискорення не є постійним, то ми або повинні включати додаткові сили (наприклад, опір повітря), або модифікувати закон сили (для об'єктів, які перебувають вже не біля поверхні Землі, або вважають, що Земля є несиметричним неоднорідним тілом), або враховують обертальний рух Землі.

Тепер ми можемо інтегрувати рівняння рухів (Рівняння (5.1.14) та (5.1.15)) окремо для напрямків x - та y, щоб знайти вирази для x - та y -компонентів швидкості та положення:

\ [\ почати {вирівняти}
v_ {x} (t) -v_ {x, 0} &=\ int_ {t^ {\ прайм} =0} ^ {t^ {\ прайм} =t} a_ {x}\ ліворуч (t^ {\ прайм}\ праворуч) d t^ {\ прайм} =0\ Стрілка вправо v_ {x} (t) =v_ {x, 0}\\ [4pt]
x (t) -x_ {0} &=\ int_ {t^ {\ прайм} =0} ^ {t^ {\ прайм} =t} v_ {x}\ лівий (t^ {\ прайм}\ прайм} д t^ {\ прайм} =\ int_ {\ прайм} =\ int_ {\ прайм} =0} ^ {t^ {\ прайм} =t } v_ {x, 0} d t^ {\ прайм} =v_ {x, 0} t\ Стрілка вправо x (t) =x_ {0} +v_ {x, 0} t\\ [4pt]
v_ {y} (t) -v_ {y, 0} &=\ int_ {t^ {\ прайм} =0} ^ {t^ {\ прайм}} a_ {y}\ лівий (t^ {\ правий}\ правий) d t^ {\ прайм} =-\ int_ {t^ {\ прайм} =0} ^ {\ прайм} =т} г г т ^ {\ прайм} =-г т\\ правий рядок v_ {y} (t) =v_ {y, 0} -g t\ [4pt]
y (т) -й_ { 0} &=\ int_ {t = 0} ^ {t = t} v_ {y}\ ліворуч (t^ {\ прайм}\ праворуч) d t^ {\ прайм} =\ int_ {\ прайм} =0} ^ {t = t}\ ліворуч (v_ {y, 0} -g t\ праворуч) d t^ {\ прайм} =v_ {y}\ left (v_ {y, 0} -g t\ праворуч) d t^ {\ прайм} =v_ {y }- (1/2) g t^ {2}\ Стрілка вправо y (t) =y_ {0} +v_ {y, 0} t- (1/2) g t^ {2}
\ end {вирівнювання}\ nonumber\]

Повний набір векторних рівнянь положення і швидкості для кожного незалежного напрямку руху задано

\[\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)=x(t) \hat{\mathbf{i}}+y(t) \hat{\mathbf{j}}=\left(x_{0}+v_{x, 0} t\right) \hat{\mathbf{i}}+\left(y_{0}+v_{y, 0} t+(1 / 2) a_{y} t^{2}\right) \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

\[\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)=v_{x}(t) \hat{\mathbf{i}}+v_{y}(t) \hat{\mathbf{j}}=v_{x, 0} \hat{\mathbf{i}}+\left(v_{y, 0}+a_{y} t\right) \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

\[\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=a_{x}(t) \hat{\mathbf{i}}+a_{y}(t) \hat{\mathbf{j}}=a_{y} \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{1}\): Time of Flight and Maximum Height of a Projectile

Людина кидає камінь під початковим кутом\(\theta_{0}=45^{\circ}\) від горизонталі з початковою швидкістю\(v_{0}=20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\). Точка випуску каменю знаходиться на висоті d = 2 м над землею. Ви можете знехтувати опором повітря. а) Скільки часу потрібно каменю, щоб досягти найвищої точки його траєкторії? б) Яким було максимальне вертикальне зміщення каменю? Ігноруйте опір повітря.

Рішення: Виберіть походження на землі безпосередньо під точкою, де камінь випущений. Ми вибираємо позитивну вісь y у вертикальному напрямку вгору та позитивну вісь x у горизонтальному напрямку в напрямку, в якому об'єкт рухається горизонтально. Встановіть t = 0 в момент звільнення каменю. При t = 0 початкові умови тоді\(x_{0}=0\) і\(y_{0}=d\). Початкові x - і y -складові швидкості задаються рівняннями (5.1.5) і (5.1.6).

У час t камінь має координати (x (t), y (t)). Ці координатні функції показані на малюнку 5.5.

Малюнок 5.5: Функції координат для каменю

Малюнок 5.6 Графік y-складової позиції як функції часу

Нахил цього графіка в будь-який момент t дає миттєву y-складову швидкості\(v_{y}(t)\) в той час t. Рисунок 5.5 - це графік y (t) проти x (t), а рис. 5.6 - це графік y (t) проти t. Є кілька важливих речей, щоб помітити про малюнки 5.5 і 5.6. Перший момент полягає в тому, що осі абсцис різні в обох фігурах. Друге, на що слід звернути увагу, це те, що при t = 0 нахил графіка на малюнку 5.5 дорівнює

\[\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}=\left.\left(\frac{d y / d t}{d x / d t}\right)\right|_{t=0}=\frac{v_{y, 0}}{v_{x, 0}}=\tan \theta_{0} \nonumber \]

в той час як при t = 0 нахил графіка на малюнку 5.6 дорівнює

\[\left.\frac{d y}{d t}\right|_{t=0}=v_{y, 0} \nonumber \]

Нахил цього графіка на малюнку 5.6 в будь-який момент t дає миттєву y-складову швидкості\(v_{y}(t)\) в той час t. Нехай\(t=t_{1}\) відповідає моменту, коли камінь знаходиться в максимальному вертикальному положенні, найвищій точці польоту. Останнє, що слід помітити про Малюнок 5.6, це\(t=t_{1}\) те, що нахил дорівнює нулю або\(v_{y}\left(t=t_{1}\right)=0\). Тому

\[v_{y}\left(t_{1}\right)=v_{0} \sin \theta_{0}-g t_{1}=0 \nonumber \]

Розв'язування рівняння (5.1.21) для\(t_{1}\) врожайності,

\[t_{1}=\frac{v_{0} \sin \theta_{0}}{g}=\frac{\left(20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right) \sin \left(45^{\circ}\right)}{9.8 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}}=1.44 \mathrm{s} \nonumber \]

Графік на малюнку 5.7 показує графік\(v_{y}(t)\) як функцію часу. Зверніть увагу, що при t = 0 перехоплення є позитивним, що вказує на те, що\(\mathcal{V}_{y, 0}\) є позитивним, що означає, що камінь був кинутий вгору. y -складова швидкості змінюється знаком,\(t=t_{1}\) вказуючи на те, що камінь змінює свій напрямок і починає рухатися вниз.

Малюнок 5.7 y -складова швидкості як функція часу

Тепер підставляємо вираз для\(t=t_{t o p}\) (Equation (5.1.22)) у y -компонент положення в Рівнянні (5.1.16), щоб знайти максимальну висоту каменю над землею

\ [\ почати {масив} {l}
y\ лівий (t=t_ {t o p}\ праворуч) =д+v_ {0}\ sin\ theta_ {0}\ frac {v_ {0}\ sin\ theta_ {0}} {g} -\ frac {1} {2} г\ лівий (\ frac {v_ {0}\ sin\ theta_ {0}} {g}\ праворуч) ^ {2}\\
=d+\ frac {v_ {0} ^ {2}\ sin ^ {2}\ theta_ {0}} {2 g} =2\ mathrm {m} +\ frac {\ ліворуч (20\ mathrm}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-1}\ праворуч ^ {2} \ sin ^ {2}\ ліворуч (45^ {\ circ}\ праворуч)} {2\ ліворуч (9.8\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч)} =12.2\ mathrm {m}
\ end {масив}\ nonumber\]

Рівняння орбіти

Поки що наш опис руху підкреслював незалежність просторових вимірів, розглядаючи всі кінематичні величини як функції часу. Тепер ми виключимо час з нашого рівняння і знайдемо рівняння орбіти тіла, що зазнає руху снаряда. Почнемо з х -складової позиції в Рівнянні (5.1.16),

\[x(t)=x_{0}+v_{x, 0} t \nonumber \]

і вирішити Рівняння (5.1.24) для часу t як функції x (t),

\[t=\frac{x(t)-x_{0}}{v_{x, 0}} \nonumber \]

y -складова позиції у рівнянні (5.1.16) задається

\[y(t)=y_{0}+v_{y, 0} t-\frac{1}{2} g t^{2} \nonumber \]

Потім ми замінюємо рівняння (5.1.25) на рівняння (5.1.26), що дає

\[y(t)=y_{0}+v_{y, 0}\left(\frac{x(t)-x_{0}}{v_{x, 0}}\right)-\frac{1}{2} g\left(\frac{x(t)-x_{0}}{v_{x, 0}}\right)^{2} \nonumber \]

Трохи алгебраїчне спрощення дає рівняння для параболи:

\[y(t)=-\frac{1}{2} \frac{g}{v_{x, 0}^{2}} x(t)^{2}+\left(\frac{g x_{0}}{v_{x, 0}^{2}}+\frac{v_{y, 0}}{v_{x, 0}}\right) x(t)-\frac{v_{y, 0}}{v_{x, 0}} x_{0}-\frac{1}{2} \frac{g}{v_{x, 0}^{2}} x_{0}^{2}+y_{0} \nonumber \]

Графік y (t) як функції x (t) показаний на малюнку 5.8.

Малюнок 5.8 Параболічна орбіта

Вектор швидкості задається

\[\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)=\frac{d x(t)}{d t} \hat{\mathbf{i}}+\frac{d y(t)}{d t} \hat{\mathbf{j}} \equiv v_{x}(t) \hat{\mathbf{i}}+v_{y}(t) \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

Напрямок вектора швидкості в точці (x (t), y (t)) можна визначити за складовими. Нехай θ - кут, який вектор швидкості формує по відношенню до позитивної осі х. Тоді

\[\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{y}(t)}{v_{x}(t)}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{d y / d t}{d x / d t}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{d y}{d x}\right) \nonumber \]

Диференціююче рівняння (5.1.28) щодо x врожайності

\[\frac{d y}{d x}=-\frac{g}{v_{x, 0}^{2}} x+\left(\frac{g x_{0}}{v_{x, 0}^{2}}+\frac{v_{y, 0}}{v_{x, 0}}\right) \nonumber \]

Напрямок вектора швидкості в точці (x (t), y (t)), отже,

\[\theta=\tan ^{-1}\left(-\frac{g}{v_{x, 0}^{2}} x+\left(\frac{g x_{0}}{v_{x, 0}^{2}}+\frac{v_{y, 0}}{v_{x, 0}}\right)\right) \nonumber \]

Хоча ми можемо визначити кут швидкості, ми не можемо визначити, наскільки швидко тіло рухається по параболічній орбіті з нашого графіка y (x); величину швидкості неможливо визначити з інформації про дотичну лінію.

Якщо ми виберемо своє походження при початковому положенні тіла при t = 0, то\(x_{0}=0\) і\(y_{0}=0\). Наше рівняння орбіти, рівняння (5.1.28) тепер можна спростити до

\[y(t)=-\frac{1}{2} \frac{g}{v_{x, 0}^{2}} x(t)^{2}+\frac{v_{y, 0}}{v_{x, 0}} x(t) \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{2}\): Hitting the Bucket

Людина тримає відро, стоячи на сходах. Людина звільняє відро від відпочинку на висоті\(h_{1}\), над землею. Друга людина, стоячи на горизонтальній відстані s від відра, цілиться і кидає м'яч в той момент, коли відро звільняється для того, щоб вдарити відро. Людина випускає м'яч на висоті\(h_{2}\) над землею, з початковою швидкістю\(v_{0}\), і під\(\theta_{0}\) кутом по відношенню до горизонталі. Припустимо, що він\(v_{0}\) досить великий, щоб камінь принаймні проїхав горизонтальну відстань s, перш ніж він потрапить на землю. Ви можете ігнорувати опір повітря.

Малюнок 5.9: Приклад 5.2

1. Знайдіть вираз для кута\(\theta_{0}\), який людина спрямовує м'яч для того, щоб вдарити по відру. Чи залежить відповідь від початкової швидкості?
2. Знайти вираз для часу зіткнення як функцію початкової швидкості кулі\(\v_{0}\), так і величин\(\h_{1}\)\(\h_{2}\), і s.
3. Знайдіть вираз для висоти над землею, де сталося зіткнення як функція початкової швидкості кулі\(\v_{0}\), так і величин\(\h_{1}\)\(\h_{2}\), і s.

Рішення

У цій проблемі беруть участь два об'єкти. Кожен об'єкт переживає вільне падіння, тому для кожного об'єкта існує лише один етап руху. Відро піддається одновимірному руху. М'яч піддається двовимірному руху. Параметри\(\h_{1}\),\(\h_{2}\)\(\v_{0}\), і s не визначені, тому наші відповіді будуть функціями цих величин. На малюнку 5.9 показаний ескіз руху всіх тіл в цій задачі.

Виберіть походження на землі безпосередньо під точкою, де м'яч відпускається, вгору для позитивного напрямку y і до відра для позитивного напрямку x. Виберіть координати розташування відра наступним чином. Горизонтальна координата є постійною і задається\(x_{1}=s\). Вертикальна координата представляє висоту над землею і позначається символом\(y_{1}(t)\). Куля має координати\(\left(x_{2}(t), y_{2}(t)\right)\). Ці координати ми показуємо на малюнку 5.10.

Малюнок 5.10: Система координат

Відро піддається постійному прискоренню\(a_{1, y}=-g\) у вертикальному напрямку і куля піддається рівномірному руху в горизонтальному напрямку і постійному прискоренню у вертикальному напрямку, при\(a_{2, x}=0\) і\(a_{2, y}=-g\).

Початковими умовами для відра є\(\left(v_{1,0}\right)_{y}=0, x_{1,0}=s, y_{1,0}=h_{1}\). Рівняння положення і швидкості відра спрощують

\[y_{1}(t)=h_{1}-\frac{1}{2} g t^{2} \nonumber \]

\[v_{y, 1}(t)=-g t \nonumber \]

Початкове положення дається по\(x_{2,0}=0, y_{2,0}=h_{2}\). Складові початкової швидкості задаються\(\left(v_{2,0}\right)_{y}=v_{0} \sin \left(\theta_{0}\right)\) і\(\left(v_{2,0}\right)_{x}=v_{0} \cos \left(\theta_{0}\right)\), де\(v_{0}\) - величина початкової швидкості і\(\theta_{0}\) початковий кут по відношенню до горизонталі. Рівняння положення і швидкості кулі спрощують

\[x_{2}(t)=v_{0} \cos \left(\theta_{0}\right) t \nonumber \]

\[v_{2 x}(t)=v_{0} \cos \left(\theta_{0}\right) \nonumber \]

\[y_{2}(t)=h_{2}+v_{0} \sin \left(\theta_{0}\right) t-\frac{1}{2} g t^{2} \nonumber \]

\[v_{2, y}(t)=v_{0} \sin \left(\theta_{0}\right)-g t \nonumber \]

Зверніть увагу, що величини\(h_{1}, h_{2}, v_{0}\), і s повинні розглядатися як відомі величини, хоча числових значень не було дано. Існує шість незалежних рівнянь з 8 поки не визначеними величинами\(y_{1}(t), t, y_{2}(t), x_{2}(t), v_{1, y}(t), v_{2, y}(t), v_{2, x}(t)\), і\(\theta_{0}\).

Отже, нам потрібні ще дві умови, щоб знайти вирази для початкового кута\(\theta_{0}\), часу зіткнення та просторового розташування точки зіткнення\(t_{a}\), визначеної\(y_{1}\left(t_{a}\right)\) або\(y_{2}\left(t_{a}\right)\). У момент\(t=t_{a}\) зіткнення зіткнення відбувається, коли дві кулі розташовані в одному положенні. Тому

\[y_{1}\left(t_{a}\right)=y_{2}\left(t_{a}\right) \nonumber \]

\[x_{2}\left(t_{a}\right)=x_{1}=s \nonumber \]

Тепер ми будемо застосовувати ці умови, які повинні бути виконані для того, щоб м'яч потрапив у відро.

\[h_{1}-\frac{1}{2} g t_{a}^{2}=h_{2}+v_{0} \sin \left(\theta_{0}\right) t_{a}-\frac{1}{2} g t_{a}^{2} \nonumber \]

\[s=v_{0} \cos \left(\theta_{0}\right) t_{a} \nonumber \]

Рівняння (5.1.42) спрощує

\[v_{0} \sin \left(\theta_{0}\right) t_{a}=h_{1}-h_{2} \nonumber \]

Рівняння ділення (5.1.44) за рівнянням (5.1.43) дає

\[\frac{v_{0} \sin \left(\theta_{0}\right) t_{a}}{v_{0} \cos \left(\theta_{0}\right) t_{a}}=\tan \left(\theta_{0}\right)=\frac{h_{1}-h_{2}}{s_{2}} \nonumber \]

Таким чином,\(\theta_{0}\) початковий кут не залежить від і задається\(v_{0}\)

\[\theta_{0}=\tan ^{-1}\left(\left(h_{1}-h_{2}\right) / s\right) \nonumber \]

З малюнка 5.11 ми бачимо, що це\(\tan \left(\theta_{0}\right)=\left(h_{1}-h_{2}\right) / s\) означає, що друга людина спрямовує м'яч у початкове положення відра.

Малюнок 5.11: Геометрія зіткнення

Для того, щоб знайти час, коли куля стикається з відром, ми починаємо з квадрата обох рівнянь (5.1.44) і (5.1.43), а потім використовуємо тригонометричну ідентичність\(\sin ^{2}\left(\theta_{0}\right)+\cos ^{2}\left(\theta_{0}\right)=1\). Наші квадратні рівняння стають

\[v_{0}^{2} \sin ^{2}\left(\theta_{0}\right) t_{a}^{2}=\left(h_{1}-h_{2}\right)^{2} \nonumber \]

\[v_{0}^{2} \cos ^{2}\left(\theta_{0}\right) t_{a}^{2}=s^{2} \nonumber \]

Додавання цих рівнянь разом, використання ідентичності\(\sin ^{2}\left(\theta_{0}\right)+\cos ^{2}\left(\theta_{0}\right)=1\) та взяття квадратних коренів дає

\[v_{0} t_{a}=\left(s^{2}+\left(h_{1}-h_{2}\right)^{2}\right)^{1 / 2} \nonumber \]

Ми можемо вирішити рівняння (5.1.49) за час зіткнення

\[t_{a}=\frac{1}{v_{0}}\left(s^{2}+\left(h_{1}-h_{2}\right)^{2}\right)^{1 / 2} \nonumber \]

Тепер ми можемо використовувати y -координатну функцію або м'яч або відро на,\(t=t_{a}\) щоб знайти висоту, що куля стикається з відром. Оскільки у відра не було початкової y - складової швидкості, простіше використовувати умову для відра,

\[y_{1}\left(t_{a}\right)=h_{1}-\frac{g\left(s^{2}+\left(h_{1}-h_{2}\right)^{2}\right)}{2 v_{0}^{2}} \nonumber \]

Коментарі:

(1) Рівняння (5.1.49) та (5.1.50) можуть бути отримані дуже прямим способом. Припустимо, ми аналізуємо рух у системі відліку, яка прискорюється вниз с\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=-g \hat{\mathbf{j}}\). У цій опорній рамці і відро, і камінь не прискорюються; відро знаходиться в стані спокою, а камінь рухається зі швидкістю\(v_{0}\), під кутом\(\theta_{0}\). Тому для того, щоб потрапити в нерухоме відро, камінь повинен бути кинутий під кутом, заданим рівнянням (5.1.46), а час, який потрібно, щоб потрапити в камінь, просто дається пройденої відстані, розділеної на швидкість, Рівняння (5.1.50).