7: Симетрії, інваріантність та гамільтоніан

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 6.S: Динаміка Лагранжа (резюме)
- 7.1: Вступ до симетрії, інваріантності та гамільтоніана

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

7.1: Вступ до симетрії, інваріантності та гамільтоніана
Глава 7 вивчить чудовий зв'язок між симетрією та інваріантністю системи, що перебуває під трансформацією, та відповідними законами збереження, які передбачають існування констант руху.
7.2: Узагальнений імпульс
Ввести узагальнений імпульс.
7.3: Інваріантні перетворення та теорема Нетера
Для кожної симетрії Лагранжа існує своя законсервована кількість.
7.4: Обертальна інваріантність та збереження кутового моменту
Теорема Нетера ілюструє цей загальний результат, який можна констатувати як, якщо Лагранж обертально інваріантний щодо якоїсь осі, то складова кутового моменту вздовж цієї осі зберігається. Також це справедливо для більш загального випадку, коли Лагранж інваріантний до обертання навколо будь-якої осі, що призводить до збереження сумарного моменту моменту.
7.5: Циклічні координати
Циклічна координата - це та, яка явно не відображається в Лагранжа.
7.6: Кінетична енергія в узагальнених координа
Застосування теореми Нетера до збереження енергії вимагає вираження кінетичної енергії в узагальнених координатах.
7.7: Узагальнена енергія та гамільтонова функція
Визначення.
7.8: Узагальнена теорема енергії
Гамільтонова і узагальнена енергія є константами руху, якщо Лагранжа є константою руху, а зовнішні непотенційні сили дорівнюють нулю.
7.9: Узагальнена енергія та загальна енергія
Закони збереження.
7.10: Гамільтонова інваріантність
Раніше розглядалися дві важливі і незалежні особливості гамільтоніана: а) коли Н зберігається, і б) коли Н дорівнює загальній механічній енергії. Ці важливі результати підсумовуються нижче з обговоренням припущень, зроблених при отриманні гамільтоніана, а також наслідків.
7.11: Гамільтоніан для циклічних координат
Постійна руху.
7.12: Симетрії та інваріантність
Симетрії та інваріантність в класичній механіці.
7.13: Гамільтоніан у класичній механіці
7.E: Симетрії, інваріантність та гамільтоніан (вправи)
7.S: Симетрії, інваріантність та гамільтоніан (резюме)

Мініатюра: Амалія Еммі Нетер була німецьким математиком, відомим своїм знаковим внеском у абстрактну алгебру та теоретичну фізику. Вона незмінно використовувала ім'я «Еммі Нетер» в своєму житті і публікаціях. Її описали Павло Александров, Альберт Ейнштейн, Жан Дьєдонне, Герман Вайль і Норберт Вінер як найважливішу жінку в історії математики. Будучи одним з провідних математиків свого часу, вона розробила теорії кілець, полів та алгебр. У фізиці теорема Нетера пояснює зв'язок між законами симетрії та збереження.