13.6: Атом водню

Потенціал, який відчуває електрон у атомі водню, є результатом електростатичної взаємодії між електроном (який негативно заряджений) та протоном (який позитивно заряджений). (Водневе ядро складається з одного протона.) Традиційно (і зручно) вибирати нульовий рівень потенціалу, коли електрон знаходиться вкрай далеко від протона. Це означає, що потенційна енергія стає все більш негативною, коли електрон стає все ближче і ближче до протона. Формою цього потенціалу є:

\[V(r)=-\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r}\tag{13.11}\]

У цьому рівнянні\(\epsilon_{0}\) є фундаментальною константою, пов'язаною з ефективною силою електромагнітної сили; її значення становить 8,854 × 10 ⁻¹² С ² м ⁻¹ Дж. Буква\(e\) вказує на елементарний заряд; це заряд на протон, а абсолютне значення заряд на електроні. Його значення дорівнює 1.602 × 10 ^{− 19} C, де C - «Кулони», одиниця заряду СІ. Нарешті,\(r\) вказує відстань між електроном і протоном. Якщо розглядати протон на початку, то\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\), із\((x, y, z)\) зазначенням положення електрона. Рівняння Шредінгера для електрона в атомі водню:

\[\hat{K} \psi(\vec{r})-\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r} \psi(\vec{r})=E \psi(\vec{r})\tag{13.12}\]

Тут ми написали\(\psi(\vec{r})\) як скорочення\(\psi(x, y, z)\); векторна форма\(r, \vec{r}\), вказує на те, що хвильова функція залежить від зміщення електрона від початку. Насправді, більш поширеною і практичною\(r\) є вираження хвильової функції через сферичні координати (r\ theta,\ phi),\(\theta\) де відстань від початку, кут від\(z\) осі, і\(\phi\) кут від\(x\) осі в проекції на \(x-y\)літак. (Навіть незважаючи на те, що потенціал сферично симетричний, в тому, що він залежить лише від відстані від початку, виявляється, що рішення хвильової функції не завжди сферично симетрично. Причиною цього є момент імпульсу, і про це піде мова в наступному розділі.)

Як і у випадку з іншими потенціалами, розглянутими вище, дозволені рівні енергії квантуються. В атомі водню цей енергетичний рівень визначається принциповим квантовим числом\(n\). Рівні енергії в атомі водню:

\[E_{n}=\frac{-13.6 \mathrm{eV}}{n^{2}}\tag{13.13}\]

Основний стан водню має енергію −13,6 еВ. Тобто, якщо ви хочете відірвати електрон від атома водню (процес, відомий як іонізація), вам потрібно якось забезпечити принаймні 13,6 еВ енергії, щоб дати електрону достатньо енергії, щоб зробити його на надзвичайно великі відстані від протона.

На малюнку нижче уповільнюється потенціал атома водню та перші кілька енергетичних рівнів. Більш високі і більш високі енергетичні рівні менш щільно пов'язані (потрібно менше енергії для іонізації атома, звільнення електрона). Вони також стають все ближче і ближче один до одного.

Насправді існує три квантових числа, пов'язаних з розв'язком атома водню. На додаток до принципового квантового числа\(n\), існує також загальне квантове число орбітального моменту моменту та квантове число\(l\)\(z\) орбітального кутового імпульсу\(m\). Ви могли б зауважити власні енергетичні стани в атомі водню, що відповідає стану, в якому електрон може бути насправді, за\(|n, l, m\rangle\). Основний стан атома водню, в цьому позначенні, буде\(|1,0,0\rangle\). Для фактичних електронів є четверте квантове число, яке ви повинні вказати:\(s\),\(z\) -спін електрона. Для кожного стану атома водню\(n, l, m\) насправді існує два різних стану електронів, один, де електрон має\(z\) -спін\(+\hbar / 2\), один, де електрон має\(z\) -спін\(-\hbar / 2\). Ми будемо називати це квантове число\(s\), і він буде мати або значення\(+1/2\) або\(-1/2\).

У водні до дуже хорошого наближення енергія власногостану залежить\(|n, l, m\rangle\) тільки від основного квантового числа\(n\), незалежно від\(l\) і\(m\). Тобто власні значення, пов'язані зі станами\(|2,1,0\rangle\) і\(|2,0,0\rangle\) абсолютно однакові (і дорівнюють\(\left.E=(-13.6 \mathrm{eV}) / n^{2}=-3.4 \mathrm{eV}\right)\). В атомах з більш ніж одним електроном все ускладнюється, і енергія даного стану може залежати від інших квантових чисел.