13.5: Простий гармонійний осцилятор

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77025

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Однією з важливих потенційних енергетичних функцій є Простий гармонічний осцилятор, або SHO. Це потенційна енергія пружини (до тих пір, поки ви не розтягуєте занадто сильно розтискати пружину). Це також виявляється гідним наближенням, принаймні для нижчих енергетичних рівнів, для ряду квантових систем. Однією з таких систем є коливальні енергетичні стани молекули водню\(H_{2}\). Форма цього потенціалу, в одному вимірі, є:

\[V(x)=\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}\tag{13.9}\]

Тут\(m\) знаходиться маса частинки, що рухається в потенціалі. \(\omega\)є «власною частотою коливань» для потенціалу; для класичної пружини вона відповідала б тому\(2 \pi / T\), де\(T\) знаходиться період коливань. (Звичайно, для класичної весни система теж могла мати будь-яку енергію!)

Розв'язок одновимірного рівняння Шредінгера для цього потенціалу дає наступні енергії для власних енергетичних станів:

\[E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega\tag{13.10}\]

де\(n\) ціле число 0, 1, 2,... Як написано, цей потенціал є нескінченно високим потенціалом,\((V(x)\) просто продовжує зростати, оскільки\(x\) стає все далі і далі від 0.) Таким чином, існує нескінченна кількість дозволених енергетичних рівнів. Звичайно, як наближення до реальної фізичної системи, зазвичай наближення буде ставати все гірше і гірше, оскільки\(x\) все далі і далі від 0, а це означає, що рішення все менше і менше хорошого наближення до реальної енергетичної системи для вищих і вищих енергетичних рівнів.