13.2: Постановка рівняння

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77049

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Як було коротко згадано в розділі 8.5, оператор енергії є оператором настільки важливим для квантової механіки, що він отримує власне ім'я, Гамільтоніан, і рівняння власного значення для нього також отримує власну назву - рівняння Шредінгера. Саме це рівняння дозволяє з'ясувати енергетичні стани системи, і можна стверджувати, що енергетичні стани є найважливішими станами квантової механіки. Саме енергетичні рівні в атомах забезпечують всю структуру, яка дає нам Періодичну таблицю Стихій, і це переходи між тими енергетичними рівнями, які ми спостерігаємо в ряді як земних, так і астрофізичних контекстів.

На самому базовому рівні рівняння Шредінгера є лише рівнянням власного значення енергетичного оператора:

\[\hat{H}|\psi\rangle=E|\psi\rangle\tag{13.2}\]

\(\hat{H}\)Гамільтоніан; це оператор, який відповідає енергії як спостережуваної. \(|\psi\rangle\)Розв'язками цього рівняння є власністани енергії. Значення\(E\), яке йде з заданим рішенням,\(|\psi\rangle\) - це енергія, пов'язана з цим станом. Технічно це рівняння називається незалежним від часу рівнянням Шредінгера. (Існує також повне рівняння Шредінгера, яке описує, як квантові стани еволюціонують у часі.)

Повне дослідження гамільтоніана вимагає диференціального числення, тому ми не будемо повністю представити його тут. Однак можна розбити гамільтоніан на дві частини. При цьому, ми збираємося перейти до хвильової функції представлення вектора стану\(|\psi\rangle\). Тоді як ми використовували вектори стовпців для представлення спінових станів, більш традиційно (і корисніше) представляти енергетичні стани як функції позиції\(\psi(x, y, z)\). Як і з регулярною функцією,\(\psi(x, y, z)\) це просто те, в якому ви можете підключити позицію (тобто значення\(x, y\), і\(z\)) і отримати number— хоча в цьому випадку це число може бути комплексне число. Розділення гамільтоніана на дві частини і запис стану у вигляді хвильової функції дає таку форму рівняння Шредінгера:

\[\hat{K} \psi(x, y, z)+V(x, y, z) \psi(x, y, z)=E \psi(x, y, z)\tag{13.3}\]

Гамільтоніан тут був розділений на оператор\(\hat{K}\) кінетичної енергії та потенційну енергію\(V(x, y, z)\). Зауважимо, що дія оператора потенційної енергії - це всього лише множення хвильової функції на потенційну енергію! Вищезгадане диференціальне числення закопано всередині\(\hat{K}\). Насправді, немає жодного рівняння Шредінгера. Швидше, існує різний для кожної форми потенціалу\(V(x, y, z)\). Це також означає, що рішення\(\psi(x, y, z)\) будуть різними для кожного потенціалу.

Хоча повне незалежне від часу рівняння Шрінгера насправді є функцією в повному 3-D просторі, в якому ми живемо, для більшої частини того, що ми робимо нижче, ми спростимо його і розглянемо лише одновимірні системи. Це робить справу з ним концептуально простим, але не затінює жодного з важливих фізичних результатів. Такі системи насправді можуть бути реалістичними. Наприклад, якщо розглядати масу, що рухається на пружині, прикріпленій до стіни, це, по суті, одновимірна система, оскільки маса рухається тільки вперед і назад уздовж напрямку, пружина орієнтована.