13.1: Де ми досі

Ми зосередилися насамперед на спині електронів, оскільки це проста квантова система (є лише два базові стани!) , і все ж вона все ще показує значну частину своєрідної природи реальності на квантовому рівні. Зокрема, ми побачили такі речі в теорії квантової механіки:

• «Система» (наприклад, вектор моменту імпульсу електрона) може бути невизначеною державою, яку також іноді називають «сумішшю» станів, де спостережуваний не має встановленого значення. Швидше, стан системи таке, що якщо спостерігаються вимірювалися, існує ймовірність спостереження різних значень. Математична теорія представляє це, дозволяючи станам бути сумами коефіцієнтів разів ортогональних базисних станів. Наприклад, при кутовому імпульсі частинки спін-1/2 типу електрона базовими станами є\(|+z\rangle\) і\(|-z\rangle\).
• Спостережувані можуть приймати квантовані значення. Наприклад, кожен раз, коли ви вимірюєте\(z\) складову кута імпульсу електрона, ви отримуєте або\(+\hbar / 2\) або\(-\hbar / 2\). Це різко контрастує з тим, що ви бачите в класичній фізиці.
• Що поширюється в квантовій механіці - це амплітуди. Наприклад, якщо електрон знаходиться в стані\(|\psi\rangle\), амплітуда, щоб виміряти його, щоб мати\(z\) кутовий імпульс\(+\hbar / 2\)\(\langle+z \mid \psi\rangle\). Імовірність, яку ми дійсно можемо знайти в експериментах, - це абсолютний квадрат амплітуди; у цьому прикладі це було б\(|\langle+z \mid \psi\rangle|^{2}\).
• Різні спостережувані можуть бути ортогональними (друге використання цього терміна). Якщо вони є, то система не може перебувати в певному стані для цих двох спостережуваних одночасно. Проекції кутового моменту по різних осях ортогональні; положення і імпульс в одному напрямку ортогональні.
• Спостережувані в квантовій механіці в парі з операторами. Квантовий механічний оператор працює на квантовому стані (представленому кетовим вектором), і результатом цієї операції є інші (ненормовані) квантові стани (тобто інший вектор кету). Наприклад, якщо ми називаємо\(z\) компонент кутового імпульсу spin-\(z\) або просто\(s_{z}\), оператор, який йде з ним\(\hat{S}_{z}\), є spin-\(z\) оператор. Оператори досить абстрактні і утворюють математичну частину теорії, яка корисна, але її важко інтерпретувати та асоціювати безпосередньо з чимось, що ви могли б спостерігати.
• Стан, який є певним станом для заданої спостережуваної, є власним станом цього оператора. (Ми також скажемо, що вектор ket, який представляє цей стан, є власним вектором оператора; якщо ми представляємо оператори як матриці, то вектор стовпця, який представляє стан, є власним вектором оператора.) Оператор, що працює на одному зі своїх власних станів, повертає константу раз на один і той же стан. Ця константа називається власним значенням, пов'язаним з власним станом. Якщо цей оператор відповідає спостережуваному, це власне значення має бути дійсним числом і відповідає фізичному виміру, яке ви зробите з цього спостережуваного. Наприклад:

  \[\hat{S}_{z}|+z\rangle=\frac{\hbar}{2}|+z\rangle\tag{13.1}\]

  Це рівняння є рівнянням власних значень, в даному випадку конкретно для оператора\(z\) -spin і\(|+z\rangle\) стану. Стан\(|+z\rangle\) є станом визначеного\(z\) -spin, тому він є власним станом оператора\(z\) -spin\(\hat{S}_{z}\). Рівняння власних значень для цього стану і цього оператора включає константу\(\hbar / 2\), яка є фактичним значенням\(z\) складової спінового моменту моменту, яку\(|+z\rangle\) має електрон у стані.

• Ви можете знайти очікуване значення для системи в стані\(|\psi\rangle\) для заданої спостережуваної, затиснувши оператор спостережуваного між\(\langle\psi|\) і\(|\psi\rangle\). Наприклад, значення очікування для\(z\) -spin для даного електрона дорівнює\(\left\langle\psi\left|\hat{S}_{z}\right| \psi\right\rangle\). Очікуване значення - це середнє значення, яке ви отримаєте, якщо ви виміряли спостережуване для цього стану. Тобто, якби ви взяли велику кількість систем у такому стані і виміряли спостережувану для всіх цих систем, ви отримаєте різні результати, з ймовірностями для кожного результату, передбаченою математикою квантової механіки. Середнє значення всіх цих результатів було б очікуваними значеннями.

Хоча рівняння власних значень є досить абстрактним, це дуже важлива частина математичної теорії квантової механіки. Єдиний прямий зв'язок, який він має до того, що ми могли б спостерігати в лабораторії, полягає в тому, що він витягує (у вигляді власне значення) виміряну величину для спостережуваного, яку ви отримаєте для заданого свого стану (тобто певного стану) оператора цього спостережуваного. Однак сам оператор не представляє жодної конкретної фізичної операції, яку ви могли б виконати в лабораторії.

З більш широкої точки зору, рівняння власних значень - це рівняння, яке ви можете використовувати, щоб з'ясувати, які стани можливі певні стани для даного оператора, і, отже, які значення ви можете виміряти для спостережуваного, пов'язаного з цим оператором.