3.3: Аналіз хвильового рівняння

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77183

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Одним з важливих аспектів рівняння (ів) Шредінгера є його лінійність. Для незалежного від часу рівняння Шредінгера, яке зазвичай називають проблемою на власні значення, єдиним наслідком, який нам знадобиться тут, є те, що якщо\(ϕ_i( x)\) є власною функцією (розв'язком\(E_i\)) рівняння Шредінгера, так і є\(Aϕ_i( x)\). Це корисно при визначенні ймовірності, оскільки ми хотіли б

\[\int_{− ∞}^{∞} |A|^2 | ϕ_i ( x ) |^2 \,dx = 1 \label{3.17}\]

Враховуючи, що\(ϕ_i( x)\) ми можемо таким чином використовувати цю свободу для «нормалізації» хвильової функції! (Якщо інтеграл над\(|ϕ( x)|^2\) кінцевим, тобто якщо\(ϕ( x)\) «нормалізується»; не всі функції є).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Як приклад припустимо, що у нас є гамільтоніан, який має функцію\(ψ_i( x)= e^{− x^2/2}\) як власну функцію. Ця функція не нормалізується, оскільки

\[\int_{− ∞}^{∞} | ϕ_i ( x ) |^2\, dx = \sqrt{π}. \label{3.18}\]

Нормована форма цієї функції

\[\dfrac{1}{π^{1 ∕ 4}} e^{− x^2 ∕ 2}. \label{3.19}\]

Треба дізнатися трохи більше про структуру розв'язку рівняння Шредінгера — крайові умови тощо. Тут я постулюю граничні умови, без будь-яких деривацій.

\(ϕ( x)\)є безперервною функцією, і є єдиним значенням.
\[\int_{− ∞}^{∞}|ϕ( x)|^2\, dx\]повинна бути кінцевою, так що\[P( x)=|ϕ( x)|^2 \int_{− ∞}^{∞} |ψ( x)|^2\, d x \label{3.20}\] це щільність ймовірності.
\(\frac{∂ϕ( x)}{∂ x}\)є безперервним, за винятком випадків, коли\(V( x)\) має нескінченний розрив.