3.1: Стан квантової системи

Давайте спочатку розглянемо, як ми вказуємо стан для класичної системи. Ще раз використовуємо всюдисущий більярдний куля. Як знає будь-який гравець, є три важливі аспекти його руху:

1. посада,
2. швидкість і
3. спина (кутовий момент навколо свого центру).

Знаючи ці величини, ми можемо в принципі (без тертя) передбачити його рух на всі часи. Раніше ми стверджували, що квантова механіка передбачає елемент невизначеності. Ми не можемо передбачити стан, як у класичній механіці, нам потрібно передбачити ймовірність. Ми хочемо мати можливість прогнозувати результат вимірювання, скажімо, позиції. Оскільки позиція є безперервною змінною, ми не можемо просто мати справу з дискретною ймовірністю, нам потрібна щільність ймовірності, Щоб зрозуміти цей факт, подивіться на ймовірність, що ми вимірюємо,\(x\) щоб бути між\(X\) і\(X+Δ X\). Якщо\(Δ X\) досить мала, то ця ймовірність прямо пропорційна довжині інтервалу.

\[P ( X < x < X + Δ X ) = P(X)ΔX \label{3.1}\]

Тут\(P( X)\) називається щільність ймовірності. Стандартне твердження про те, що загальна ймовірність одна, перекладається на інтегральний твердження,

\[\int_{− ∞}^{∞} dx\, P( x ) = 1 \label{3.2}\]

(Тут я лінивий і використовую нижній\(x\) регістр, де я використовував\(X\) раніше; це стандартна практика в QM.) Оскільки ймовірності завжди позитивні, ми вимагаємо\(P( x)≥ 0\).

Тепер давайте спробуємо розглянути деякі аспекти класичних хвиль і подивитися, чи можуть вони допомогти нам здогадатися, як отримати щільність ймовірності з хвильового рівняння. Стандартним прикладом класичної хвилі є рух струни. Зазвичай струна може рухатися вгору і вниз, а стандартне рішення хвильового рівняння

\[\dfrac{∂^2}{∂ x^2} A ( x , t ) = \dfrac{1}{c^2} \dfrac{∂^2}{∂ x^ 2} A ( x , t ) \label{3.3}\]

можуть бути як позитивними, так і негативними. Власне квадрат хвильової функції є можливим вибором ймовірності (це пропорційно інтенсивності випромінювання). Тепер спробуємо аргументувати, яке хвильове рівняння описує квантовий аналог класичної механіки, т. Е.

Відправною точкою є поширюється хвиля. У стандартних хвильових задачах це задається плоскою хвилею, тобто

\[ψ = A ℜ \exp ( i ( k x − ω t + ϕ ) ) .\label{3.4}\]

Це описує хвилю, що поширюється в напрямку x з довжиною хвилі\(λ= 2π/k\) та частотою\(\nu=ω/( 2π)\). Ми інтерпретуємо цю плоску хвилю як розповсюджуючий пучок частинок. Якщо визначити ймовірність як квадрат хвильової функції, то не дуже розумно приймати реальну частину експоненціальної: ймовірність буде коливальною функцією\(x\) для заданого\(t\). Якщо взяти комплексну функцію\(A \exp ( i( k x−ω t+ϕ))\), то ймовірність, визначена як абсолютне значення в квадраті, є постійною (\(| A|^2\)) незалежною від\(x\) і\(t\), що дуже розумно для пучка частинок. Таким чином, ми робимо висновок, що\(ψ( x, t)\) хвильова функція складна, а щільність ймовірності дорівнює\(|ψ( x, t)|^2\).

Використання відношення де Бройля

\[p = ℏ ∕ λ , \label{3.5}\]

знаходимо

\[p = ℏ k . \label{3.6}\]

Інший з відносин де Брольє може бути використаний для дачі

\[E = h ν = ℏ ω . \label{3.7}\]

Однією з важливих цілей квантової механіки є узагальнення класичної механіки. Ми спробуємо узагальнити зв'язок між моментами та енергією,

\[E = 1 2 m v^2 = \dfrac{p^2}{2 m} \label{3.8}\]

до квантового царства. Зауважте, що

\[p ψ ( x , t ) = ℏ k ψ ( x , t ) = \dfrac{ℏ}{ i} \dfrac{∂}{∂ x} ψ ( x , t ) \]

\[E ψ ( x , t ) = ℏ ω ψ ( x , t ) = \dfrac{ ℏ i ∂}{∂ t} ψ ( x , t ) \label{3.9}\]

Використовуючи це, ми можемо вгадати хвильове рівняння виду.

\[\dfrac{1}{2 m} \left( \dfrac{ ℏ}{i} \dfrac{∂}{∂ x^ 2} \right) ψ ( x , t ) = \frac{ \hbar i ∂}{ ∂ t} ψ ( x , t ) . \label{3.10}\]

Власне використовуючи визначення енергії, коли проблема включає потенціал,

\[E = \dfrac{1}{ 2} m v^2 + V ( x ) = \dfrac{p^2}{2 m} + V ( x ) \label{3.11}\]

(при вираженні в моментах ця величина зазвичай називається «гамільтоніаном») ми знаходимо залежне від часу рівняння Шредінгера

\[− \dfrac{ℏ^2}{2 m} \dfrac{ ∂^2}{∂ x^2} ψ ( x , t ) + V ( x ) ψ ( x , t ) = \dfrac{ℏ i ∂}{ ∂ t} ψ ( x , t ) . \label{3.12}\]

Ми витратимо лише обмежений час на це рівняння. Спочатку нас цікавить незалежне від часу рівняння Шредінгера, де ймовірність\(|ψ( x, t)|^2\) не залежить від часу. Для того, щоб досягти цього спрощення, ми виявляємо, що\(ψ( x, t)\) повинно мати форму

\[ψ ( x , t ) = ϕ ( x ) e ^{− i E t ∕ ℏ} . \label{3.13}\]

Якщо підставити це в залежне від часу рівняння, отримаємо (використовуючи правило добутку для диференціації)

\[− e^{ − i E t ∕ ℏ} \dfrac{ ℏ^ 2}{ 2 m} \dfrac{ d^ 2}{ d x^ 2} ϕ ( x ) + e ^{− i E t ∕ ℏ} V ( x ) ϕ ( x ) = E e^{ − i E t ∕ ℏ} ϕ ( x ) . \label{3.14}\]

Забираючи загальний коефіцієнт,\(e^{− i E t/\hbar}\) ми маємо рівняння\(ϕ\), для якого більше не містить часу, незалежне від часу рівняння Шредінгера.

\[ \dfrac{ℏ^2}{ 2 m} \dfrac{ d^2}{d x^ 2} ϕ ( x ) + V ( x ) ϕ ( x ) = E ϕ ( x ) . \label{3.15}\]

Відповідним розв'язком залежного від часу рівняння є стояча хвиля (Equation\ ref {3.13}).