12: Квантовий парадокс та експерименти

Цілі

Квантова механіка робить імовірнісні прогнози про можливі результати експерименту з мікроскопічними об'єктами, частинками. Це статистичне твердження, що стосується багатьох частинок. Можна припустити, що існує більш глибокий нестатистичний, тобто детермінований закон для окремих частинок, який передбачає, що має відбуватися з цією конкретною частинкою.

Чи існує якась глибша теорія чи закон, що визначають експериментальний результат з упевненістю? За Ейнштейном повинна бути така теорія, яка передбачає, що квантова механіка не може бути повною теорією. З іншого боку, за словами Бора, який був ще одним основоположником квантової теорії, немає місця для більш глибокої теорії, ми не можемо передбачити нічого більше про одну частинку, крім ймовірностей.

Передумови

Глава 1. Поляризація плоских світлових хвиль в класичній оптиці.

ЕПР-парадокс, версія Бома

У цьому останньому розділі розглядаються деякі принципові питання квантової механіки, які пов'язані з самою сутністю предмета, тобто з природою ймовірностей, що з'являються в теорії. У класичній фізиці вимірювання записує значення фізичної кількості частинки, тіла або системи, яка вважається властивістю частинки, яка існувала до вимірювання, і незалежно від того, вимірюємо ми її чи ні. На відміну від цього, в квантовій фізиці — сукупність частинок може бути підготовлена до того, щоб мати точно таку ж властивість з певної точки зору, все ж вони можуть показувати зовсім інші результати вимірювань, з точки зору іншої властивості.

Найпростіший приклад пов'язаний зі світловою поляризацією, або заявлений квантовою мовою: поляризація фотонів. Згідно з квантовою механікою, якщо плоска поперечна хвиля поляризована, а її площина поляризації становить кут\(θ\) з іншим напрямком поляризації, то фотони в пучку поляризуються також в тому останньому напрямку з амплітудою ймовірності\(cos⁡θ\). Це означає, наприклад, що якщо поляризація робить кут\(θ\) з горизонтальним напрямком і, отже, кут\(π/2−θ\) з вертикальним напрямком, то відповідні амплітуди ймовірності є\(cos⁡θ\) і\(cos⁡(π/2−θ)=sin⁡θ\), відповідно. Відповідно до фундаментальної ролі квантової фізики ймовірності, в свою чергу, є квадратами амплітуд (абсолютне значення). Таким чином, ймовірність знаходження одного фотона вихідного пучка, який буде поляризований горизонтально, в\(cos^{2}⁡θ\) той час як ймовірність бути вертикально поляризованою\(sin^{2}⁡θ\). Цей закон легко перевіряється вже за допомогою класичного плоского хвильового поля інтенсивності,\(I_{0}\) яке поляризовано так, що він робить кут\(θ\) з горизонтальним напрямком. Промінь спрямований на кристал кальциту, який розділяє його на два пучки так, що один з них поляризований горизонтально, інший вертикально - це власні напрямки кальциту - і два пучки відрізняються, так що їх можна перевірити окремо. Тоді інтенсивність горизонтально поляризованого пучка після кальциту буде\(I_{0}cos^{2}⁡θ\), тоді як інтенсивність вертикально-поляризованого пучка буде\(I_{0}sin^{2}⁡θ\). Оскільки інтенсивність пропорційна кількості фотонів, це є доказом закону ймовірності. Сучасна техніка дозволяє також перевірити самі ймовірності, адже фотони також можуть бути виявлені один за іншим чутливими детекторами.

Буде важливо, щоб ми могли встановити кальцит так, щоб його власні напрямки не були горизонтальними та вертикальними, які ми будемо називати встановленням A пізніше, але також у спосіб, скажімо, B або C, так що два власні напрямки відрізняються від тих, що встановлюються A. Відзначимо, однак, що два власнихнапрямків завжди ортогональні один одному.

Виникає наступне питання: від чого залежить кінцевий напрямок поляризації фотона. Згідно з квантовою механікою фотон стає вертикальним, або горизонтальним під час взаємодії з вимірювальним апаратом. Це не закодовано у вхідній частинці, тому відповісти на питання з упевненістю принципово неможливо, більшість ми можемо сказати - це ймовірності двох різних можливих результатів. Заявлене іншим способом вимірювання не встановлює раніше існуючого властивості фотона, скоріше саме вимірювання створює властивість з відповідною ймовірністю.

Ця відповідь, однак, задовольняє не всіх, тому що можна уявити іншу відповідь, а саме припустити, що для кожного фотона обидві властивості існували до вимірювання, тобто поляризувався, скажімо,\(45^{\circ}\) і в той же час мав властивість бути горизонтально. поляризовані, якщо ми отримали останній результат під час вимірювання. Інше питання, що квантова механіка не враховує обидві властивості одночасно, оскільки не може дати з одиничною ймовірністю — тобто з повною впевненістю — напрямок поляризації одного фотона для двох непаралельних або неортогональних напрямків. Це означало б тоді, що існує якась теорія, глибша за квантову механіку, згідно з якою ці властивості присутні одночасно і точно в вимірюваному об'єкті. З точки зору квантової теорії параметр, який би дав результат з упевненістю, немає, тому він є прихованим параметром, як його називають в цих теоріях.

Оскільки квантова механіка не враховує цих параметрів, вона не може бути повним описом фізичної реальності. Це була точка зору А.Ейнштейна, і це було викрито найдивнішим чином у відомій роботі А.Ейнштейна, Б.Подольського та Н.Розена в 1935 році: «Чи можна вважати квантово-механічним описом фізичної реальності завершеним?» В кінці роботи вони прийшли до висновку, що квантова механіка не є повною, але додають, що така теорія з'явиться в майбутньому.

На початку автори статті ЕПР намагаються дати точне визначення, що вони вважають повною теорією:

«Теорія є повною, якщо кожен елемент фізичної реальності має свого аналога у фізичній теорії».

Але що таке елемент фізичної реальності? Вони дають наступну відповідь:

«Якщо, ніяк не порушуючи систему, ми можемо з упевненістю передбачити (тобто з ймовірністю рівною одиниці) значення фізичної величини, то існує елемент фізичної реальності, відповідний lo цій фізичній величині».

Ейнштейн, Подольський і Розен (ЕПР) представляють опис та аналіз уявного експерименту (так званого Геданкенексперименту), виконаного на парі квантових частинок, що, на думку авторів, показує, що квантова механіка не є повною теорією в тому сенсі, в якому вони цього вимагають. У своєму прикладі вони розглядають вимірювання положень і моментів пари частинок, які виникають в процесі розпаду. Замість цього простіше розглянути інший варіант експерименту, коли він робиться з парою двостанних систем, оскільки в одному вимірювальному апараті є лише два можливі результати, замість нескінченно багатьох можливих результатів при вимірюванні положення або/і моментів. Такий варіант парадоксу ЕПР був запропонований Девідом Бомом в 1957 році з парами спінових 1/2 частинок, або що ми будемо аналізувати, з фотонами, що мають два власні стану ортогональної поляризації.

Подальше читання

Ви можете завантажити оригінал EPR паперу за цим посиланням:
http://prola.aps.org/pdf/PR/v47/i10/p777_1

Істотними особливостями експерименту, виконаного багато разів з моменту пропозиції Бома, є наступні. Спеціальне джерело генерує пари фотонів, такі, що члени пари поширюються в різних просторових напрямках, скажімо, один зліва, інший праворуч. Поляризаційні властивості членів вимірюються самостійно. Один розміщує два пристрої вимірювання поляризації перпендикулярно поширенню пучків. Це, наприклад, кристали кальциту в шляхах двох фотонів, які проходять через них, і вимірюють поляризаційні властивості фотонів. Пристрої можуть бути встановлені, роблячи різні кути з горизонтальним напрямком. Можливі настройки пристроїв будуть позначатися різними великими літерами\(A,B,C\) і двома відповідними власними станами пристроїв по\(A+\) і\(A−\);\(B\) + і\(B−\);\(C+\) і\(C−\) відповідно. За допомогою відповідного джерела фотонів можна домогтися суворої антикореляції при вимірюванні між членами пари, що означає наступне. Припустимо, що пристрої встановлені однаково, по обидва боки від джерела. Потім обидва фотони проходять через однотипні пристрої, скажімо горизонтально-вертикальні, які позначаються А. Потім зауважує, що якщо один з фотонів поляризований горизонтально\(A−\) зліва, його пара завжди виявляється вертикально поляризованою\(A+\), праворуч або навпаки. Те ж саме відбувається, якщо обидва поляризатори встановлені в будь-якому напрямку, скажімо, B, який відрізняється від А, але ідентичний для обох фотонів. Якщо\(B+\) позначає\(60^{\circ}\) з горизонталі і\(B−\) означає\(−30^{\circ}\) з горизонталі, то якщо один з фотонів приходить поляризований в\(B+\)\(B−\), його пара буде, або навпаки. Таким чином, поляризаційні стани даного члена завжди ортогональні один одному. Такі пари частинок називаються EPR парами. Ця антикореляція пари випливає з способу їх створення, про який буде детально розказано нижче.

Стан ЕПР пари фотонів - це:

\(\psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{(A+)_{1}(A-)_{2}-(A-)_{1}(A+)_{2}\right\}\)(12.1)

де індекс позначає частку: 1 йде вліво, а 2 праворуч. Перший термін в стані вище говорить про те, що фотон 1 поляризований вертикально, а фотон 2 поляризований горизонтально. Другий термін означає все це навпаки. Що важливо, квантова механіка дозволяє накладати дві можливості. Ми вже стикалися з подібним станом, коли розглядали спіновий синглетний стан двох електронів у\(H_{2}\) молекулі в главі 7.

Проблема 12.1

Показати, що стан (12.1) вище не може бути записаний як добуток двох одночастинкових станів.

Малюнок 12.1: Два можливих власних стани поляризатора А позначаються\(A+\) і\(A−\). Те ж саме позначення використовується у випадку поляризатора BB, двома власними станами є\(B+\) і\(B−\). Існує сувора антикореляція між результатами з двох сторін, якщо пристрої встановлені однаково

Але тоді досить виміряти тільки по одному фотону пари. Ми можемо подумати, що знаємо результат для іншого члена, навіть не роблячи вимірювання, оскільки він завжди буде протилежним тому, що для свого партнера. Тому, не порушуючи його, ми можемо передбачити його значення, таким чином, це елемент реальності відповідно до ЕПР. Тут потрібно додати, що неможливо, щоб ми виміряли значення\(A+\) зліва, тому що ми\(A−\) вимірювали праворуч. Поширення цієї інформації потребує часу, але дві події можуть мати просторовий поділ (у сенсі теорії відносності), що означає, що лише сигнал швидше світла може впливати на результат вимірювання з іншого боку, залежно від результату однієї зі сторін. Це принцип місцевості, який так підкреслює теорія відносності Ейнштейна. Зробіть висновок: поляризаційна властивість невиміряного фотона є елементом реальності, і повна теорія повинна привласнити йому чітко визначене значення в сенсі, визначеному ЕПР.

Але є навіть більше, ніж це: у випадку з ЕПР-парою ми можемо точно сказати стан частинки навіть з точки зору двох несумісних пристроїв, що неможливо в квантовій механіці, в принципі. Поставимо два різних пристосування з двох сторін.

Малюнок 12.2:

Якщо вимірювати з лівого боку властивість А (фізична величина), то нам також відомо стан його пари праворуч з точки зору А, за рахунок досконалої антикореляції. Вона буде перпендикулярна напрямку, виміряному зліва. Але в той же час по праву ми можемо виміряти з іншого типу апаратів, що вимірює майно Б. Таким чином ми можемо констатувати обидві властивості даної частинки, одне з них випливає з виміряного значення на її маті зліва, інше вимірюється фактично. Те ж саме стосується і його партнера. Це означало б, що обидві властивості добре визначені у випадку однієї частинки, тоді як відповідно до QM це неможливо, якщо A та B мають різні власні напрямки, як показано на малюнку 12.2. У квантовій механіці задана лише амплітуда ймовірності та відповідна ймовірність, якщо A та B роблять кут, відмінний від\(0^{\circ}\) або\(90^{\circ}\). Це міркування призвело ЕПР до висновку, що QM, який не дає обліку двох несумісних елементів фізичної реальності, не може бути повним. На відміну від твердження ЕПР, Н.Бор стверджував, що дві частинки є частиною єдиної нероздільної квантової системи, згідно з теперішнім формулюванням вони знаходяться в заплутаному стані, тому вимірювання на одній з її частин відразу впливає на іншу її частину, навіть якщо вони знаходяться дуже далеко один від одного нехай два виміри два космічні події в сенсі особливої відносності. Але це твердження суперечило одному з найбільш фундаментальних принципів фізики, місцевості. Тому Ейнштейн не зміг прийняти аргументи Бора, і дебати і парадокс залишалися нерозв'язаними близько 30 років.

Дзвоники-нерівності з фотонами

Для того щоб вирішити питання, Джон Белл запропонував явну експериментальну домовленість в 1964 році. Потрібно вимірювати не дві, а три різні величини (ортогональні поляризації) A, B та C для пар фотонів, щоб три можливі налаштування поляризаторів вибиралися випадковим чином і незалежно один від одного. Виявляється, що на основі експериментально виміряної кількості пар можна вирішити, чи правильна квантова механіка, або гіпотеза Ейнштейна, остання говорить про те, що частинки повинні мати чітко визначені поляризації в різних напрямках одночасно. Оригінальна ідея Белла буде представлена тут так, як про неї говорив Євген Вігнер.

Малюнок 12.3:

Припустимо, що члени пари мали чітко визначену поляризацію перед вимірюванням:\(+\) або\(−\) в кожному з трьох напрямків A, B і C. Як показують вимірювання, в одній парі поляризація двох частинок завжди ортогональна одна до одної, проявляється явно, якщо ми використовуємо однакові налаштування з обох сторін. Можливі 8 типів пар наведені в таблиці 12.1, і позначимо виміряне число заданого типу пар по\(N_{k}\).

Таблиця 12.1:

Розглянемо тепер пари, для яких частка йде вліво\(A+\), в той час як та, що йде вправо, вийшла як\(C+\). Ці події, звичайно, будуть присутні лише в тому випадку, якщо пристрій зліва було встановлено на A, тоді як той, що праворуч був встановлений на C. Кількість таких пар має бути позначено тут по\(N(A+,C+)\), і відповідно до наведеної вище таблиці\(N(A+,C+)=N_{2}+N_{4}\). Аналогічно кількість пар, для яких ми отримали A+A+ зліва і B+B+ праворуч результат\(N(A+,B+)=N_{3}+N_{4}\). Нарешті кількість тих, де ми мали\(B+\) ліворуч і\(C+\) праворуч, було\(N(B+,C+)=N_{2}+N_{6}\).

Згідно простому нерівності

\(N_{2}+N_{4} \leq\left(N_{3}+N_{4}\right)+\left(N_{2}+N_{6}\right)\)(12.2)

valid тому що за визначенням всі числа\(N_{i}\) є невід'ємними цілими числами, отримуємо:

\(N(A+, C+) \leq N(A+, B+)+N(B+, C+)\)(12,3)

Важливо, щоб кількість пар\(N(A+,C+),N(A+,B+),N(B+,C+)\) можна було виміряти, а експериментальний результат можна порівняти з нерівністю, отриманим вище. Однак перш ніж продовжувати, ми переформулюємо нерівність (12,3) на ймовірності, щоб порівняти її з квантовою механікою, яка дає свої результати з точки зору ймовірностей.

Нехай\(P(A+,C+)\) ймовірність того, що вибравши випадковим чином напрямки ми встановили зліва приладу на А, і він виміряв результат\(A+\), в той час як вимірювання на правій частинці відбулося знову випадковим вибором в напрямку С, і в результаті\(C+\). Тоді

\(P(A+, C+)=\frac{N(A+, C+)}{\sum_{i=1}^{8} N_{i}}\)(12,4)

і аналогічно\(P(A+, B+)=\frac{N(A+, B+)}{\sum_{i=1}^{8} N_{i}}, P(B+, C+)=\frac{N(B+, C+)}{\sum_{i=1}^{B} N_{i}}\), якщо ми зробили досить багато вимірів. Відповідно нерівність (12.3) можна записати як

\(P(A+, C+) \leq P(A+, B+)+P(B+, C+)\)(12.5)

Це нерівність Белла, яка, як ми повинні пам'ятати, була виведена з використанням припущення, що пари мали чітко визначені властивості до виконання вимірювання. Квантових механічних аргументів в його отриманні не було.

Отже, давайте подивимося, що QM говорить про ймовірності, що відбуваються в (12.5), як показано на малюнку нижче. У реальному вимірі один має однакові кристали з обох сторін, і вони обертаються випадковим чином і незалежно один від одного в трьох напрямках A, B і C. Якщо з лівого боку ми вимірюємо,\(A+\) наприклад, то його пара повинна бути в стані\(A−\). Але ми вимірюємо скажімо С на ньому, а результат виміряний на партнері може бути будь-яким\(C+\) або\(C−\). Амплітуда ймовірності отримання результату, що ця інша частка поляризована в напрямку\(ê_{θ}\)\(cos⁡θ\), де\(θ\) кут с\(A−\). Відповідна ймовірність, таким чином, є\(cos^{2}⁡θ\). Або ми хочемо висловити це кутом, зробленим з\(A+\), який є\(α=π/2−θ\), тоді ймовірність є\(sin^{2}⁡α\). Вибравши випадковим чином можливі три напрямки з обох сторін з однаковими ймовірностями\(1/3\), ймовірність всіх можливих налаштувань пари апаратів дорівнює\(1/9\). Імовірність отримання скажімо A+A+ зліва перед тим, як ми виміряли праворуч\(1/2\), то при заданому налаштуванні обох кристалів ймовірність\(P(A+, C+)=\frac{1}{18} \sin ^{2}(A+, C+)\), наприклад, де\((A+,C+)\) позначає тут кут між напрямками\(A+\) і\(C+\).

Малюнок 12.4: Порушення нерівності Белла

Виберемо конкретно напрямки, показані на малюнку, тобто нехай власні напрямки A, B і C обертаються послідовно на\(30^{\circ}\). Іншими словами вибираємо\((A+,B+)=(B+,C+)=30^{\circ}\) і\((A+,C+)=60^{\circ}\). Тоді квантові механічні ймовірності дають наступний результат:

\(P(A+, C+)=\frac{1}{18} \sin ^{2} 60^{\circ}, \quad P(A+, B+)=\frac{1}{18} \sin ^{2} 30^{\circ}, \quad P(B+, C+)=\frac{1}{18} \sin ^{2} 30^{\circ}\)(12,6)

Якщо ми підставимо ці ймовірності на (12.5), ми помітимо, що ці результати не підкоряються їм, оскільки це вимагатиме виконання\(\sin ^{2} 60^{\circ} \leq 2 \sin ^{2} 30^{\circ}\), тобто нерівності

\(\frac{3}{4} \leq \frac{1}{2}\)(12,7)

що, очевидно, помилково.

Це означає, що при виборі відповідних напрямків для кристалів відповідні квантові механічні ймовірності порушують нерівність Белла. Тоді це виявляється експериментальною можливістю вирішити, чи дійсні квантова механіка чи нерівності Белла в реальному фізичному світі. Згідно з експериментами, що вимірюють безпосередньо числа\(N(A+,C+)\) тощо, виявилося, що нерівності Белла не є дійсними для належним чином обраних напрямків A, B та C, як зазначено вище, але результати узгоджуються з прогнозами QM.

Все це повинно означати, що при виведенні Белла нерівності повинні бути щось, що суперечить тому, що є в реальному фізичному світі. Існує дві можливості помилок. Одним з них могло бути те, що заповнюючи таблицю 12.1, ми припустили, що частинка і її партнер володіли двома (насправді трьома) різними поляризаційними властивостями вже до вимірювання, вони існували в них незалежно від вимірювання, яке було проведено на них пізніше. Інша можлива помилка може полягати в тому, що між двома членами пари існує нелокальна зв'язок, тобто виміряний стан однієї з частинок залежить від вимірювання на її віддаленому партнері. (Однак можна показати, що інформація не може передаватися таким чином зі швидкістю швидше світла, тому що передача інформації вимагала б додаткового класичного каналу зв'язку, а швидкість передачі визначається швидкістю класичного сигналу. Це означає, що місцевість в цьому сенсі не порушується). Обидві можливості, як причини розбіжності, суперечать традиційним уявленням про світ природи. У першому випадку це суперечить припущенню, що всі можливі властивості частинки, включаючи несумісні властивості, мають чітко визначене значення до і незалежно від вимірювання. Це припущення прийнято називати реалізмом. Друга можливість суперечить локальності, в тому сенсі, що результат вимірювання миттєво впливає на віддалене, просторово відокремлене інше вимірювання.

Експерименти та нерівності Белла

Перші експерименти щодо обґрунтованості або порушення нерівностей Белла були виконані Джей Ф. Клаузером і колегами в 1972 році. Пізніший експеримент А.Аспект (1982) був першим, де налаштування двох кристалів були зроблені так, що поділ цих двох подій був схожим на простір, тобто світловий сигнал, який уявляв собі почати з одного з кристалів в момент його вимірювання, не міг досягти іншого до нього. виміряв стан іншої частинки.

Тут ми показуємо установку експерименту А. Цейлінгера (1995), де пара фотонів виникла з нелінійного кристала.

Малюнок 12.5: Генерація заплутаної пари фотонів. (На малюнку кольори фіктивні, зелений колір відповідає інфрачервоним фотонам довжиною хвилі 702 нм.)

Коли фотони УФ-лазера довжиною хвилі 351 нм проходять крізь нелінійний кристал, невелика їх частина розщеплюється на два фотони з меншою енергією і, таким чином, з меншою частотою. Цей процес називається параметричним перетворенням вниз в нелінійній оптиці. Виникаючі два пучка залишають кристал по поверхні двох конусів, задовольняючи збереження енергії і імпульсу. Серед пар деякі поділять порівну вихідну енергію і імпульс, їх довжина хвилі буде ідентично 702 нм (це називається виродженим випадком). При відповідному налаштуванні кристала можна домогтися того, що поляризація членів завжди ортогональна один одному, як передбачається для пари ЕПР в обговоренні вище. В останньому випадку кут у верхівок двох конусів ідентичний, а вздовж їх перетину — на двох зелених плямах на імітованій фігурі з правого боку цифри 12.5 — пари фотонів матимуть саме необхідну властивість.

Анімація

Завантаження та запуск exe-файлу ми можемо вибрати з трьох симуляцій. Перший демонструє порушення нерівності Белла. Другий показує квантову телепортацію, тоді як третій - реалізація протоколу розподілу квантових ключів BB84 (QKD) (тут не обговорюється).

http://titan.physx.u-szeged.hu/~mmquantum/download.php?download_file=Qmdemo.exe

Експерименти одноголосно довели обґрунтованість квантово-механічного результату та порушення нерівностей Белла.