11.8: Лінія електропередачі з втратами

Напруга і струм на лінії електропередачі без втрат повинні задовольняти наступним рівнянням:

\ [\ begin {вирівнювання}
&\ frac {\ часткова ^ {2}\ математика {V}} {\ часткова\ математика {z} ^ {2}} =\ epsilon\ mu_ {0}\ frac {\ часткова ^ {2}\ математика {V}} {\ часткова\ математика {t} ^ {2}},\ мітка {11.45}\\
&\ гідророзриву {\ часткова ^ {2} I} {\ часткова z^ {2}} =\ epsilon\ mu_ {0}\ розриву {\ часткова ^ {2} I} {\ часткова t^ {2}}. \ nonumber
\ end {вирівняти}\]

Це прямий наслідок рівнянь Максвелла. Власне кажучи, вони правильні лише за умови\(\epsilon\), що діелектрична проникність справді є постійною і тому не залежить від частоти. Навіть найкращі діелектричні ізоляційні матеріали демонструють деякі втрати, які залежать від частоти: у багатьох випадках уявна частина діелектричної проникності пропорційна частоті. Для часової залежності exp (iωt) наведені вище два рівняння (\ ref {11.45}) стають

\ [\ почати {вирівняти}
&\ розрив {\ частковий ^ {2} V} {\ частковий z^ {2}} =-\ epsilon\ mu_ {0}\ омега^ {2} V,\ етикетка {11.46}\
&\ frac {\ часткова ^ {2} I} {\ часткова z^ {2}} =-\ epsilon\ mu_ {0}\ омега^ {2} I,\ nonumber
\ end {вирівняти}\]

де\(\epsilon\) можуть мати реальні та уявні частини, обидві з яких залежатимуть від частоти. Розв'язки рівнянь (\ ref {11.46}), які є гармонічними у просторі, тобто V та I пропорційні exp (−ikz), повинні бути описані хвильовим вектором k, який задовольняє умові

\[\mathrm{k}^{2}=\epsilon \mu_{0} \omega^{2} , \nonumber \]

При наявності діелектричних втрат взагалі\(\epsilon\) буде складною величиною, а значить так само повинен бути складним хвильовий вектор:

\[\mathrm{k}=\pm \omega \sqrt{\epsilon \mu_{0}}\]

щоб

\[\mathrm{k}=\pm\left(\mathrm{k}_{1}-\mathrm{ik}_{2}\right) . \label{11.47}\]

Можна записати загальні розв'язки хвильових рівнянь (\ ref {11.46}) для напруги і струму на лінії електропередачі при наявності діелектрика з втратами

\ [\ begin {вирівнювання}
&\ mathrm {V} (\ mathrm {a},\ mathrm {t}) =\ left [\ mathrm {a}\ exp\ left (-\ mathrm {k} _ {2}\ mathrm {a}\ праворуч)\ exp\ left (-i\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {z}\ праворуч) +\ mathrm {b}\ exp\ ліворуч (\ mathrm {k} _ {2}\ mathrm {z}\ праворуч)\ exp\ ліворуч (i\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {a}\ праворуч)\ cdot\ exp (i\ омега\ математика {t}),\\ &\ mathrm {I} (\ mathrm {z}\ мітка {11.48},\ математика {t}) =\ frac {1} {\ mathrm {Z} _ {0}}\ left [\ ім'я оператора {sexp}\ left (-\ mathrm {k} _ {2}\ mathrm {}\ праворуч)\ exp\ ліворуч (-i\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {z}\ праворуч) -\ mathrm {b}\ exp\ left (\ mathrm {k} _ {2}\ mathrm {z}\ праворуч)\ exp\ ліворуч (i\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {z}\ праворуч)\ exp\ ліворуч (i\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {z}\ праворуч)\ exp\ ліворуч (i праворуч)\ праворуч]\ exp (i\ омега\ mathrm {t}),\ nonumber
\ end {вирівняти}\]

де (k ₂ /k ₁) 1 для кабелю високої якості, а k ₁, k ₂ - дійсна і уявна частини хвильового вектора. Зверніть увагу, що k ₂ повинен бути позитивним для того, щоб амплітуда хвилі, що поширюється вперед, зменшувалася з відстанню.

Фактично, частина втрат енергії, як хвиля поширюється вниз по лінії електропередачі, обумовлена омічними втратами в глибині провідників: тобто металеві електроди мають кінцеву провідність і тому виникають втрати енергії через екрануючі струми, які протікають в них. За допомогою методів глави (10) можна легко показати, що швидкість втрат енергії в кожному провіднику на одиницю площі поверхні задається

\[<\mathrm{S}_{\mathrm{n}}>=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\omega \mu_{0}}{2 \sigma_{0}}}\left|\mathrm{H}_{0}\right|^{2} \quad \text { Watts } / m^{2} . \nonumber\]

< S _n > - усереднений за часом компонент вектора Пойнтінга, що відповідає потоку енергії в поверхню провідника, σ ₀ - провідність постійного струму металевої стінки, H ₀ - напруженість магнітного поля на поверхні провідника, а ω = 2\(\pi\) f - кругова частота. Ця втрата енергії повинна бути додана до втрат енергії в діелектричному матеріалі. Втрати провідника можуть бути враховані збільшенням уявної частини хвильового вектора, k ₂, в Рівняннях (11.8.5). Можна написати

\ [\ begin {вирівнювання}
&\ mathrm {V} (\ mathrm {z},\ mathrm {t}) =\ left [\ ім'я оператора {aexp} (-\ альфа\ матрм {a})\ exp\ left (-i\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {a}\ праворуч) +\ mathrm {b}\ exp (\ альфа\ mathrm {z})\ exp\ ліворуч (+i\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {a}\ право)\ право]\ exp (i\ омега т)\ мітка {11.49}\\ &\ mathrm {I} (\ mathrm {z },\ mathrm {t}) =\ frac {1} {\ mathrm {Z} _ {0}}\ лівий [\ ім'я оператора {aexp} (-\ альфа\ mathrm {z})\ exp\ ліворуч (-i\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {a}\ праворуч) -\ mathrm {b}\ exp (\ альфа\ mathrm {z})\ exp\ ліворуч (+i\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {z}\ праворуч)\ праворуч]\ exp (i\ омега\ mathrm {t})\ nonumber
\ end {вирівнювання}\]

де\(\alpha\) - емпіричний параметр, частотну залежність якого можна виміряти для конкретного кабелю. Константи a, b in (\ ref {11.49}) повинні бути відрегульовані для задоволення граничної умови в положенні навантаження; тобто при навантаженні Z _L = V/I Для кабелю, що має характеристичний імпеданс Z ₀, який з'єднує генератор при z=0 з навантаженням при z=L ця умова вимагає

\[ \frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}=\left[\frac{\operatorname{aexp}(-\alpha \mathrm{L}) \exp \left(-i \mathrm{k}_{1} \mathrm{L}\right)+\mathrm{b} \exp (\alpha \mathrm{L}) \exp \left(i \mathrm{k}_{1} \mathrm{L}\right)}{\mathrm{a} \exp (-\alpha \mathrm{L}) \exp \left(-i \mathrm{k}_{1} \mathrm{L}\right)-\mathrm{b} \exp (\alpha \mathrm{L}) \exp \left(i \mathrm{k}_{1} \mathrm{L}\right)}\right], \nonumber \]

з якого

\[\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\left[\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}-1}{\mathrm{Z}_{0}}-1\right] \exp (-2 \alpha \mathrm{L}) \exp \left(-2 i \mathrm{k}_{1} \mathrm{L}\right) . \nonumber \]

_{Використовуючи попередні позначення z L = Z L/Z 0, а z G = Z G/Z 0, і}

\[\Gamma=\frac{z_{L}-1}{z_{L}+1}=|\Gamma| \exp (i \theta) , \nonumber \]

одна знахідка

\[\mathrm{z}_{\mathrm{G}}=\left[\frac{1+\Gamma \exp (-2 \alpha \mathrm{L}) \exp \left(-2 i \mathrm{k}_{1} \mathrm{L}\right)}{1-\Gamma \exp (-2 \alpha \mathrm{L}) \exp \left(-2 i \mathrm{k}_{1} \mathrm{L}\right)}\right] . \label{11.50}\]

Рівняння (\ ref {11.50}) показує, що імпеданс, який бачить генератор, наближається до характеристичного імпедансу кабелю, якщо навантаження підключено до генератора через кабель, який довгий в порівнянні з довжиною ослаблення (1/\(\alpha\)).

Характеристики для декількох представницьких коаксіальних кабелів наведені в таблиці (11.8.1), а довжини їх загасання на ряді частот наведені в табл. (11.8.2). Довжина кабелю, для якого амплітуда імпульсу напруги ослаблена до (1/е) = 0,368 від його початкової амплітуди, задається (1/\(\alpha\)). Наприклад, ця довжина загасання становить 9,8 метра для кабелю RG-8 на частоті 5 ГГц.

Параметр загасання\(\alpha\), для кабелів, перерахованих в табл. (11.8.2), спостерігається приблизно пропорційний\(\sqrt{\omega}\), і це говорить про те, що велика частина втрат в цих кабелі відбувається через вихрові струми в провідниках.

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Характеристики деяких часто використовуваних комерційних коаксіальних кабелів. Діелектричним матеріалом між провідниками служить поліетилен. Дані були взяті з каталогу 1985/86 RAE Industrial Electronics Ltd., Ванкувер, Британська Колумбія.

Таблиця\(\PageIndex{2}\): Частотна залежність параметра загасання\(\alpha\) для деяких обраних коаксіальних кабелів. V (z) = V ₀ exp (−\(\alpha\) z). Частоти в МГц. Дані взяті з каталогу 1985/86 RAE Industrial Electronics Ltd., Ванкувер, Британська Колумбія.