13.1: Акустичні хвилі

Вступ

Хвильові явища поширені повсюдно, тому хвильові поняття, представлені в цьому тексті, широко актуальні. Акустичні хвилі пропонують чудовий приклад через їх схожість з електромагнітними хвилями та через їх важливе застосування. Окрім очевидної ролі акустики в мікрофоні та гучномовцях, поверхнево-акустичні хвильові (SAW) пристрої використовуються як радіочастотні (РФ) фільтри, акустично-хвильові модулятори дифрактують оптичні промені для спектрального аналізу радіочастотних сигналів в режимі реального часу, а механічні кристалічні генератори в даний час контролюють час більшості комп'ютери і годинник. Через велику схожість між акустичними та електромагнітними явищами, ця глава також розглядає багато електромагнітів з іншої точки зору.

Розділ 13.1.2 починається зі спрощеного виведення двох основних диференціальних рівнянь, що характеризують лінійну акустику. Цю пару рівнянь можна об'єднати, щоб отримати рівняння акустичної хвилі. Тут розглядаються тільки поздовжні акустичні хвилі, а не поперечні або «зсувні» хвилі. Ці рівняння швидко дають групові та фазові швидкості звукових хвиль, акустичний імпеданс середовищ та акустичну теорему Пойнтінга. Розділ 13.2.1 потім розробляє акустичні граничні умови та поведінку акустичних хвиль на плоских інтерфейсах, включаючи закон акустичного Снелла, кут Брюстера, критичний кут та хвилі, що зникають. Розділ 13.2.2 показує, як акустичні плоскі хвилі можуть переміщатися всередині труб і керуватися та маніпулювати так само, як плоскі хвилі можна маніпулювати в межах ліній електропередачі TEM.

Акустичні хвилі можуть бути повністю відображені на твердих межах, і Розділ 13.2.3 пояснює, як вони можуть бути захоплені та керуватися в різних режимах поширення, що дуже нагадують режими електромагнітних хвилеводів, де вони демонструють частоти зрізу поширення та еванесенції нижче зрізу. Потім розділ 13.2.4 пояснює, як ці напрямні можуть бути закінчені на своїх кінцях відкритими або закритими отворами, утворюючи таким чином резонатори з Q, якими можна керувати, як в електромагнітних резонаторах, щоб отримати смугові або смугові фільтри. Частоти акустичних резонансів можуть бути збурені, спотворюючи форму порожнини, як регулюється майже тим же рівнянням, що використовується для електромагнітних резонаторів, за винятком того, що щільності електромагнітної енергії замінюються виразами густини акустичної енергії. У розділі 13.3 розглядається акустичне випромінювання та антени, включаючи антенні решітки, а розділ 13.4 завершує главу коротким вступом до представницьких електроакустичних пристроїв.

Акустичні хвилі і потужність

Більшість хвиль, крім електромагнітних хвиль, включають збурень. Наприклад, акустичні хвилі включають збурення в полах тиску та швидкості в газах, рідинях або твердих тілах. У газах ми можемо виражати загальний тиск p _T\(\rho_{\mathrm{T}} \),\(\mathrm{\overline u}_{\mathrm{T}} \) поля щільності та швидкості як суму статичної складової та динамічного збурень:

\[ \mathrm{p}_{\mathrm{T}}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t})=\mathrm{P}_{\mathrm{o}}+\mathrm{p}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t}) \ \left[\mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}\right] \label{13.1.1}\]

\[\rho_{\mathrm{T}}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t})=\rho_{\mathrm{o}}+\rho(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t}) \ \left[\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right] \label{13.1.2}\]

\[ \overline{\mathrm{u}}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t})=\overline{\mathrm{U}}_{\mathrm{o}}+\overline{\mathrm{u}}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t}) \ [\mathrm{m} / \mathrm{s}] \label{13.1.3}\]

Інша складність полягає в тому, що, на відміну від електромагнітних змінних, що посилаються на конкретне місце, гази рухаються і стискаються, що вимагає подальшої лінеаризації. ⁷³ Найважливішим є наближення, що середня швидкість\( \overline{\mathrm{U}}_{\mathrm{o}}=0\). Після цих спрощувальних кроків нам залишається два лінеаризовані акустичні рівняння, закон Ньютона (f = ma) і c збереження маси:

\[\nabla \mathrm{p} \cong-\rho_{\mathrm{o}} \partial \overline{\mathrm{u}} / \partial \mathrm{t} \ \left[\mathrm{N} / \mathrm{m}^{3}\right] \qquad \qquad \qquad \text{(Newton’s law)} \label{13.1.4}\]

\[\rho_{\mathrm{o}} \nabla \bullet \overline{\mathrm{u}}+\partial \rho / \partial \mathrm{t} \cong 0 \ \left[\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{s}\right] \qquad \qquad \qquad \text{(conservation of mass)} \label{13.1.5}\]

⁷³ Ідентичність Лібніца полегшує проведення часу похідних інтегралів над обсягами, що деформуються в часі.

Закон Ньютона стверджує, що градієнт тиску буде викликати прискорення маси, тоді як збереження маси стверджує, що розбіжність швидкості\(\nabla \bullet \overline{\mathrm{u}} \) пропорційна негативній похідній за часом щільності маси.

Ці два основні рівняння включають три ключові змінні: p\(\overline{\mathrm{u}} \), і\( \rho\); нам потрібно акустичне конститутивне відношення, щоб зменшити цей набір до двох змінних. Більшість акустичних хвиль включають частоти досить високі, щоб нагрівання, вироблене стисненням хвиль, не встигало вийти провідністю або випромінюванням, і таким чином ця теплова енергія повертається до хвилі під час подальшого розширення без значних втрат. Такі адіабатичні процеси не передбачають передачі тепла між популяціями частинок. Отримане адіабатичне акустичне конститутивне співвідношення стверджує, що дробове зміна щільності дорівнює дробовій зміні тиску, розділеної на постійну\( \gamma\), звану адіабатичним показником:

\[\partial \rho / \partial p=\rho_{\mathrm{o}} / \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}} \label{13.1.6}\]

Причина\( \gamma\) не єдності полягає в тому, що газ нагрівається при стисненні, що ще більше збільшує тиск, тому газ тим самим здається трохи «жорсткішим» або більш стійким до стиснення, ніж інакше. Цей ефект зменшується для газових частинок, які мають внутрішні обертальні або коливальні ступені свободи, тому температура менше підвищується при стисненні. Ідеальні моноатомні молекули без таких ступенів свободи виявляють\(\gamma\) = 5/3, і 1\(\gamma\) < < 2, загалом.

Підставляючи це складове відношення до рівняння маси (\ ref {13.1.5}), змінна ρ замінює змінну ρ на p, отримуючи акустичні диференціальні рівняння:

\[\nabla \mathrm{p} \cong-\rho_{\mathrm{o}} \partial \overline{\mathrm{u}} / \partial \mathrm{t} \ \left[\mathrm{N} / \mathrm{m}^{3}\right]\qquad\qquad\qquad \text{(Newton’s law) } \label{13.1.7}\]

\[\nabla \bullet \overline{\mathrm{u}}=-\left(1 / \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}\right) \partial \mathrm{p} / \partial \mathrm{t} \label{13.1.8}\]

Ці два диференціальні рівняння приблизно аналогічні рівнянням Максвелла (2.1.5) і (2.1.6) і можуть бути об'єднані. Щоб виключити\( \mathrm{u}\) із закону Ньютона, ми оперуємо ним (•), а потім підставляємо (\ ref {13.1.8})\( \nabla \bullet \overline{\mathrm{u}}\) для формування акустичного хвильового рівняння, аналогічного хвильовому рівнянню Гельмгольца (2.2.7):

\[\nabla^{2} \mathrm{p}-\left(\rho_{\mathrm{o}} / \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}\right) \partial^{2} \mathrm{p} / \partial \mathrm{t}^{2}=0 \qquad \qquad \qquad \text{(acoustic wave equation)} \label{13.1.9}\]

Хвильові рівняння стверджують, що друга просторова похідна дорівнює другій похідній часу на постійну. Якщо константа не залежить від частоти, то будь-яка довільна функція аргументу, яка є сумою або різницею членів, лінійно пропорційних часу і простору, задовольнить цьому рівнянню; наприклад:

\[\mathrm{p}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t})=\mathrm{p}(\omega \mathrm{t}-\overline{\mathrm{k}} \bullet \overline{\mathrm{r}}) \ \left[\mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}\right] \label{13.1.10}\]

де p (•) - довільна функція його аргументу (•), і\(\overline{\mathrm{k}}=\mathrm{k}_{\mathrm{x}} \hat{x}+\mathrm{k}_{\mathrm{y}} \hat{y}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}} \hat{z} \); це аналогічно хвильовому розв'язку (9.2.4) за допомогою позначення (9.2.5). Підстановка розв'язку (\ ref {13.1.10}) у хвильове рівняння дає:

\[\left(\partial^{2} / \partial \mathrm{x}^{2}+\partial^{2} / \partial \mathrm{y}^{2}+\partial^{2} / \partial \mathrm{z}^{2}\right) \mathrm{p}(\omega \mathrm{t}-\overline{\mathrm{k}} \bullet \mathrm{\overline r})-\left(\rho_{\mathrm{o}} / \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}\right) \partial^{2} \mathrm{p}(\omega \mathrm{t}-\overline{\mathrm{k}} \bullet \mathrm{\overline r}) / \partial \mathrm{t}^{2}=0 \label{13.1.11}\]

\[-\left(\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}\right) \mathrm{p}^{\prime \prime}(\omega \mathrm{t}-\overline{\mathrm{k}} \bullet \overline{\mathrm{r}})-\left(\rho_{\mathrm{o}} / \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}\right) \omega^{2} \mathrm{p}^{\prime \prime}(\omega \mathrm{t}-\overline{\mathrm{k}} \bullet \overline{\mathrm{r}})=0 \label{13.1.12}\]

\[\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}=\mathrm{k}^{2}=\omega^{2} \rho_{\mathrm{o}} / \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}=\omega^{2} / \mathrm{v}_{\mathrm{p}}^{2} \label{13.1.13}\]

Це аналогічно відношенню електромагнітної дисперсії (9.2.8).

Як і у випадку з електромагнітними хвилями [див. (9.5.19) і (9.5.20)], акустична фазова швидкість v _p і акустична групова швидкість v _g просто пов'язані з k:

\[\mathrm{v}_{\mathrm{p}}=\omega / \mathrm{k}=\left(\gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}} / \rho_{\mathrm{o}}\right)^{0.5}=\mathrm{c}_{\mathrm{s}} \qquad \qquad \qquad \text{(acoustic phase velocity) } \label{13.1.14}\]

\[\mathrm{v}_{\mathrm{g}}=(\partial \mathrm{k} / \partial \omega)^{-1}=\left(\gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}} / \rho_{\mathrm{o}}\right)^{0.5}=\mathrm{c}_{\mathrm{s}} \qquad\qquad\qquad \text { (acoustic group velocity) } \label{13.1.15}\]

Адіабатичні акустичні хвилі, що поширюються в 0 ^o С повітря поблизу рівня моря, досвід\(\gamma\)\( \rho_{\mathrm{o}}\) = 1,4, = 1,29 [кг/м ³], і P _o = 1,01 × 10 ⁵ [Н/м ²], поступаючись c _s 330 [м/с].

У твердих тілах або рідинях конститутивне співвідношення становить:

\[\partial \rho / \partial \mathrm{p}=\rho / \mathrm{K} \qquad \qquad \qquad \text{(constitutive relation for solids and liquids) } \label{13.1.16}\]

K [N m ^-2] - об'ємний модуль середовища. Коефіцієнт 1/K потім замінює 1/\(\gamma\) P _o in (13.1.8-10), даючи акустичну швидкість в твердих тілах і рідинях:

\[\mathrm{c}_{\mathrm{s}}=\left(\mathrm{K} / \rho_{\mathrm{o}}\right)^{0.5} \ \left[\mathrm{m} \ \mathrm{s}^{-1}\right] \qquad\qquad\qquad \text { (acoustic velocity in solids and liquids) } \label{13.1.17}\]

Типові акустичні швидкості становлять 900 - 2000 м с ^-1 у рідинях (~1500 м с ^-1 у воді) та 1500— 13 000 м с ^-1 у твердих тілах (~5900 м с ^-1 у сталі).

Аналогічно (7.1.25) та (7.1.26) акустичні диференціальні рівняння (\ ref {13.1.8}) та (\ ref {13.1.7}) можуть бути спрощені для синусоїдальних плоских хвиль, що поширюються вздовж осі z:

\[\mathrm{\nabla \underline{p} \bullet \hat{z}=\frac{d \underline{p}(z)}{d z}=-j \omega \rho_{o} \underline{u}_{z}(z)} \label{13.1.18}\]

\[\nabla \bullet \underline{\mathrm{\overline u}}=\frac{\mathrm{d} \underline{\mathrm{u}}_{\mathrm{Z}}(\mathrm{z})}{\mathrm{d} \mathrm{z}}=\frac{-\mathrm{j} \omega}{\gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}} \mathrm{\underline p}(\mathrm{z}) \label{13.1.19}\]

Вони можуть бути об'єднані, щоб отримати хвильове рівняння для хвиль по осі z, аналогічне (7.1.27):

\[\frac{\mathrm{d}^{2} \underline{\mathrm{p}}(\mathrm{z})}{\mathrm{d} \mathrm{z}^{2}}=-\omega^{2} \frac{\rho_{\mathrm{o}}}{\gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}} \mathrm{\underline p}(\mathrm{z}) \label{13.1.20}\]

Аналогічно (7.1.28) та (7.1.29), розв'язком є сума експоненціальних показників виду:

\[\underline{p}(z)=\underline{p}_{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kz}}+\underline{\mathrm{p}}_{-} \mathrm{e}^{+\mathrm{jkz}} \ \left[\mathrm{N} \ \mathrm{m}^{-2}\right] \label{13.1.21}\]

\[\mathrm{\underline{u}_{z}(z)=-\frac{1}{j \omega \rho_{o}} \frac{d \underline{p}(z)}{d z}=\frac{k}{\omega \rho_{o}}\left[\underline{p}_{+} e^{-j k z}-\underline{p}_{-} e^{+j k z}\right] \ [m / s] } \label{13.1.22}\]

Відзначимо, що, на відміну від електромагнітних хвиль, де ключовими полями є вектори, поперечні напрямку поширення, вектор швидкості для акустичних хвиль знаходиться в напрямку поширення і тиск є скалярним.

Аналогічно (7.1.31), характерний акустичний імпеданс газу становить:

\[\eta_{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{\underline p}(\mathrm{z})}{\mathrm{u}_{\mathrm{L}}(\mathrm{z})}=\frac{\omega \rho_{\mathrm{o}}}{\mathrm{k}}=\rho_{\mathrm{o}} \mathrm{c}_{\mathrm{s}}=\sqrt{\gamma \rho_{\mathrm{o}} \mathrm{P}_{\mathrm{o}}} \ \left[\mathrm{N} \ \mathrm{s} / \mathrm{m}^{3}\right] \label{13.1.23}\]

Акустичний опір повітря при кімнатній температурі становить ~ 425 [N s m ^-3]. Акустичний імпеданс для твердих тіл і рідин становить\( \eta_{\mathrm{s}}=\rho_{\mathrm{o}} \mathrm{c}_{\mathrm{s}}=\left(\rho_{\mathrm{o}} \mathrm{K}\right)^{0.5}\) [N s m ^-3]. Зверніть увагу, що агрегати не Ом.

Миттєва акустична інтенсивність [W m ^-2] цієї плоской хвилі становить p (t) u _z (t), комплексна потужність -\( \mathrm{\underline p} \underline{\mathrm{\overline u}}^* / 2\), а середня за часом акустична\( \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\{\mathrm{p} \underline{\mathrm{\overline u}}^* / 2\} \ \left[\mathrm{W} \ \mathrm{m}^{-2}\right]\) потужність аналогічна (2.7.41).

Ми можемо отримати закон збереження акустичної енергії, подібний до теореми Пойнтінга (2.7.22), обчисливши дивергенцію\( \underline{\mathrm{p}} \ \underline{\mathrm{\overline u}}^{*}\) [W m ^-2] і підставивши в (\ ref {13.1.18}) і (\ ref {13.1.19}): ⁷⁴

\ [\ почати {вирівняти}
\ набла\ куля (\ mathrm {p}\ підкреслення {\ mathrm {u}} *&=\ верхня лінія {\ mathrm {u}} *\ куля\ nabla\ mathrm {p} +\ mathrm {p}\ nabla\ bulla\ overline {\ mathrm {u}}\ mathrm {u}} *\ куля\ ліворуч (-\ mathrm {j}\ омега\ rho_ {\ mathrm {o}}\ верхня лінія {\ mathrm {u}}\ праворуч) +\ mathrm {j}\ омега\ математика {pp} ^ {*}/\ гамма\ математика {P} _ {\ mathrm {o}}\ мітка {13.1.24}\\
&= -4\ mathrm {j}\ омега\ ліворуч [\ rho_ {\ mathrm {o}} |\ підкреслення {\ mathrm {u}} |^ {2}/4\ праворуч] -\ ліворуч [|\ mathrm {p} |^ {2}/4\ гамма\ математика {P} _ {\ mathrm {o}}\ праворуч]\ праворуч) =-4\ mathrm {j}\ омега\ ліворуч (\ лівий\ лангл\ матрм {W} _ {\ mathrm {k}}}\ праворуч\ діапазон-\ ліворуч\ лангле\ mathrm {W} _ {\ mathrm {p}}\ праворуч\ діапазон\ праворуч)\ мітка {13.1.25}
\ end {вирівнювання}\]

⁷⁴ Хоча ці два рівняння застосовуються до хвиль, що поширюються у напрямку z, їх права сторона також застосовується до будь-якого напрямку, якщо індекс z опущений.

Середня за часом щільність акустичної кінетичної енергії хвилі становить\(\mathrm{W}_{\mathrm{k}} \ \left[\mathrm{J} \ \mathrm{m}^{-3}\right]=\rho_{\mathrm{o}}|\overline{\mathrm{\underline u}}|^{2} \big/ 4\), а середня щільність енергії акустичного потенціалу становить\(\mathrm{W}_{\mathrm{p}}=|\mathrm{\underline p}|^{2} / 4 \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}\). Для рідин або твердих речовин\(\gamma\) P _o → K, так\(\mathrm{W}_{\mathrm{p}}= | \mathrm{\underline p}|^{2} \big/ 4 \mathrm{K} \). Якщо немає розбіжності акустичної випромінюваної потужності\(\mathrm{\underline p} \underline{\mathrm{\overline u}}^{*} \), то з (13.1.25) випливає, що:

\[\left\langle\mathrm{W}_{\mathrm{k}}\right\rangle=\left\langle\mathrm{W}_{\mathrm{p}}\right\rangle \qquad \qquad \qquad \text { (energy balance in a lossless resonator) } \label{13.1.26}\]

Акустична інтенсивність I [W m ^-2] акустичної плоскої хвилі, аналогічної (2.7.41), становить:

\[\mathrm{I}=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{\underline{pu}}^{*} \big/ 2\right\}=|\underline{\mathrm{p}}|^{2} \big/ 2 \eta_{\mathrm{s}}=\eta_{\mathrm{s}}|\underline{\mathrm u}|^{2} \big/ 2 \ \left[\mathrm{W} \mathrm{m}^{-2}\right] \qquad\qquad\qquad \text { (acoustic intensity) } \label{13.1.27}\]

де акустичний імпеданс\( \eta_{\mathrm{s}}=\rho_{\mathrm{o}} \mathrm{c}_{\mathrm{s}}\). Миттєва акустична інтенсивність становить p (t) u _z (t), як зазначалося вище.

Приклад\(\PageIndex{A}\)

Гучне радіо випромінює 100 акустичних ват на частоті 1 кГц від динаміка 10 см квадрат біля рівня моря, де\( \rho_{0}=1.29\) [кг м ^-3] і cs 330 m s ^-1. Що таке: 1) довжина хвилі, 2) піковий тиск, швидкість частинок і зміщення, і 3) середня щільність енергії цієї рівномірної акустичної площини хвилі в діафрагмі динаміка?

Рішення

λ = _с с/ф = 330/1000 = 33 см. (13.1.22) дає врожайність\(|\underline{\mathrm{u}}|=\left(2 \mathrm{I} / \eta_{\mathrm{s}}\right)^{0.5}\), а (13.1,18) говорить\( \eta_{\mathrm{s}}=\rho_{\mathrm{o}} \mathrm{c}_{\mathrm{s}}\), так\(|\underline{\mathrm{u}}|=[200 /(1.29 \times 330)]^{0.5}=0.69 \ \left[\mathrm{m} \ \mathrm{s}^{-1}\right] \). \(\mathrm{\underline p}=\eta_{\mathrm{s}} \underline{\mathrm{u}}=425.7 \times 0.69= 292\)[Н м ^-2]. Зауважимо, що цей акустичний тиск набагато менше, ніж тиск навколишнього середовища P _o 10 ⁵ N m ^-2, як це потрібно для лінеаризації акустичних рівнянь. Зсув\(\underline{\mathrm d}\) є інтегралом швидкості\(\underline{\mathrm u}\), тому\(\mathrm{\underline{d}=\underline{u} / j \omega}\) і зміщення від піку до піку є\(2|\underline{\mathrm u}| / \omega = 2×0.69/2\pi1000 = 0.22 \ \mathrm{mm}\). Середня акустична щільність накопиченої енергії дорівнює\(2\left\langle\mathrm{W}_{\mathrm{k}}\right\rangle=2 \rho_{\mathrm{o}}|\underline{\mathrm{\overline u}}|^{2} \big/ 4=1.29(0.69)^{2} \big/ 2=0.31 \ \left[\mathrm{J} \ \mathrm{m}^{-3}\right]\).