9.4: резонатори порожнини

Прямокутні резонатори

Прямокутні резонатори порожнини - це порожнисті прямокутні провідні коробки шириною a, висотою b та довжиною d, де d ≥ a ≥ b за умовністю. Оскільки вони являють собою просто прямокутні хвилеводи, закінчені з обох кінців провідними стінками, а електричні поля все одно повинні підкорятися хвильовому рівнянню\(\left(\nabla^{2}+\omega^{2} \mu \varepsilon\right) \overline{\mathrm{\underline E}}=0 \), тому\(\overline{\mathrm{\underline E}} \) для режимів TE повинні мати вигляд хвилеводних полів TE (9.3.27), але з синусоїдальної z залежністю, яка відповідає межі умови при z = 0 і z = d; наприклад, рівні хвилі, що поширюються вперед і назад, утворюють стоячу хвилю:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}=\left(\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}} / \mathrm{k}_{\mathrm{o}}\right)\left(\hat{\mathrm{x}} \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \operatorname{sink}_{\mathrm{y}} \mathrm{y} \operatorname{cosk}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}-\hat{\mathrm{y}} \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \operatorname{sink}_{\mathrm{x}} \mathrm{x} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}\right)\left(\mathrm{\underline A} \sin \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}+\mathrm{\underline B} \operatorname{cosk}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}\right)\]

де B = 0 забезпечує\( \overline{\mathrm{E}}_{ / /}=0\) при z = 0, а k _z = p\(\pi\) /d забезпечує це для z = d, де р = 1, 2,...

На відміну від прямокутних хвилеводів, які поширюють будь-яку частоту вище зрізу для цікавить просторового розподілу поля (режиму), резонатори резонатори працюють тільки на конкретних резонансних частотах або їх комбінаціях, щоб відповідати всім граничним умовам. Резонансні частоти ω _mnp для прямокутного резонатора випливають із співвідношення дисперсії:

\[\omega_{\mathrm{mnp}}^{2} \mu \varepsilon=\mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}=(\mathrm{m} \pi / \mathrm{a})^{2}+(\mathrm{n} \pi / \mathrm{b})^{2}+(\mathrm{p} \pi / \mathrm{d})^{2}\]

\[\omega_{\mathrm{mnp}}=\left[(\mathrm{m} \pi \mathrm{c} / \mathrm{a})^{2}+(\mathrm{n} \pi \mathrm{c} / \mathrm{b})^{2}+(\mathrm{p} \pi \mathrm{c} / \mathrm{d})^{2}\right]^{0.5} \ \left[\mathrm{r} \mathrm{s}^{-1}\right] \qquad \qquad \qquad \text { (cavity resonances) }\]

Основним режимом для резонатора порожнини є режим найнижчої частоти. Оскільки граничні умови не можуть бути виконані, якщо принаймні два квантових числа m, n і p не є нульовими, найнижча резонансна частота пов'язана з двома найдовшими розмірами, d і a. тому найнижча резонансна частота дорівнює:

\[\omega_{101}=\left[(\pi \mathrm{c} / \mathrm{a})^{2}+(\pi \mathrm{c} / \mathrm{d})^{2}\right]^{0.5} \ [\text { radians } / \mathrm{sec}] \qquad \qquad \qquad \text { (lowest resonance) }\]

Тому резонатори порожнини іноді заповнюються діелектриками або магнітними матеріалами, щоб зменшити їх резонансні частоти шляхом зменшення c.

Поля для фундаментальної моди прямокутного резонатора, TE ₁₀₁, випливають з (9.4.1) та закону Фарадея:

\[\overline{\mathrm{\underline E}}=\hat{x} \underline{\mathrm{E}}_{0} \sin (\pi \mathrm{y} / \mathrm{a}) \sin (\pi z / \mathrm{d}) \qquad \qquad \qquad \text { (fundamental waveguide mode) }\]

\[\overline{\mathrm{\underline H}}=\mathrm{j} \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}}\left(\pi \omega \mathrm{c}^{2} / \mathrm{n}\right)[\hat{y} \sin (\pi \mathrm{y} / \mathrm{a}) \cos (\pi \mathrm{z} / \mathrm{d}) / \mathrm{d}-\hat{z} \cos (\pi \mathrm{y} / \mathrm{a}) \sin (\pi \mathrm{z} / \mathrm{d}) / \mathrm{a}]\]

Загальна енергія w [J] = w _e (t) + w _m (t) в кожному режимі m, n, p резонатора може бути розрахована за допомогою (2.7.28) і (2.7.29), і буде затухати в геометричній прогресії зі швидкістю, яка залежить від загальної розсіюваної потужності P _d [W] внаслідок втрат в стінках і в будь-якому ізоляторі, що заповнює внутрішня порожнина:

\[\mathrm{w}(\mathrm{t}) \cong \mathrm{w}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-\mathrm{P}_{\mathrm{d}} \mathrm{t} / \mathrm{w}}=\mathrm{w}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-\omega \mathrm{t} / \mathrm{Q}}\]

Втрати стіни і будь-яке розсіювання в ізоляторах можна оцінити шляхом інтеграції (9.2.60) і (2.7.30) відповідно над об'ємом резонатора порожнини. Накопичена енергія, розсіювання потужності і Q можуть бути абсолютно різними для різних режимів і характеризуються відповідно w _{mnp, P d, mnp} і Q _mnp відповідно, як визначено або (3.5.23) або (7.4.43):

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{mnp}}=\omega \mathrm{w}_{\mathrm{mnp}} / \mathrm{P}_{\mathrm{d}_{\mathrm{mnp}}}\]

Приклад\(\PageIndex{A}\)

Якими є найнижча резонансна частота і її Q для ідеально провідної металевої порожнини розмірами a, b, d, якщо вона заповнена середовищем, що характеризується ε, μ і σ. Припустімо, Q >> 1.

Рішення

Найнижча резонансна частота ω ₁₀₁ задається (9.4.4), де\(\mathrm{c}=(\mu \varepsilon)^{-0.5}\):\(\omega_{101}=\pi(\mu \varepsilon)^{-0.5}\left(\mathrm{a}^{-2}+\mathrm{d}^{-2}\right)^{0.5}\). \(\mathrm{Q}_{101}=\omega_{101} \mathrm{W}_{\mathrm{T} 101} / \mathrm{P}_{\mathrm{d} 101}\)де загальна накопичена енергія w _T101 вдвічі перевищує середню накопичену електричну енергію, оскільки загальні накопичувачі електричної та магнітної енергії рівні. У кожній точці резонатора зберігається середня за часом щільність електричної енергії,\(\left\langle\mathrm{W}_{\mathrm{e}}\right\rangle=\varepsilon|\overline{\mathrm{\underline E}}|^{2} / 4 \ \left[\mathrm{J} \mathrm{m}^{-3}\right] \) а середня за часом потужність розсіюється становить\( \sigma|\overline{\mathrm{\underline E}}|^{2} / 2\), [W m ^-3] тому коефіцієнт щільності електричної енергії/розсіювання скрізь становить ε/2σ, і, таким чином\(\mathrm{w}_{\mathrm{T} 101} / \mathrm{P}_{\mathrm{d} 101}=\varepsilon / \sigma\), так\(\mathrm{Q}_{101}=\pi \varepsilon(\mu \varepsilon)^{-0.5}\left(\mathrm{a}^{-2}+\mathrm{d}^{-2}\right)^{0.5} / \sigma\).

Збурення резонаторних частот

Часто нам хотілося б налаштувати резонанс на якусь довколишню частоту. Це, як правило, може бути досягнуто, трохи змінивши форму резонатора. Хоча взаємозв'язок між формою та резонансною частотою можна оцінити за допомогою рівнянь Максвелла, тут використовується простіший і більш фізичний підхід.

Енергія, що зберігається в резонаторі, може розглядатися як популяція N захоплених фотонів з частотою f підстрибуючи всередині. Так як енергія Е на фотон дорівнює hf (1.1.10), то сумарна енергія в резонаторі дорівнює:

\[\mathrm{w}_{\mathrm{T}}=\mathrm{Nhf} \ [\mathrm J]\]

Якщо змусити стінки резонатора повільно рухатися до його нової форми, то вони будуть рухатися або навпроти сил, що накладаються електромагнітними полями всередині, або в тому ж напрямку, і тим самим робити позитивну або негативну роботу, відповідно, над цими полями. Якщо робити позитивну роботу, то сумарна електромагнітна енергія w _T повинна збільшитися. Так як кількість фотонів залишається постійним, якщо зміна форми відбувається повільно в порівнянні з частотою, позитивна робота на полями призводить до збільшення електромагнітної енергії і частоти f Якщо стінки резонатора рухаються в напрямку прикладених електромагнітних сил, то зовнішньо прикладна робота на поля є негативним, а енергія і резонансна частота зменшуються.

Наведена вище парадигма призводить до простого вираження зміни резонансної частоти будь-якого резонатора внаслідок невеликих фізичних змін. Розглянемо випадок заповненої повітрям металевої порожнини будь-якої форми, яка збурюється при натисканні на стіни або трохи назовні в одному або декількох місцях. Електромагнітна сила на провіднику має компоненти, пов'язані як з привабливим електричним, так і відштовхуючим магнітним тиском на провідниках, заданим (4.1.15) і (4.1.23) відповідно. Для синусоїдальних хвиль ці тиски:

\[\mathrm{P}_{\mathrm{e}}=-\varepsilon_{\mathrm{o}}\left|\mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}}\right|^{2} /4 \ \left[\mathrm{Nm}^{-2}\right]\qquad \qquad\qquad \text{(electric pressure)}\]

\[\mathrm{P}_{\mathrm{m}}=\mu_{\mathrm{o}}\left|\mathrm{\underline H}_{\mathrm{o}}\right|^{2}/4 \ \left[\mathrm{Nm}^{-2}\right] \qquad \qquad\qquad \text{(magnetic pressure) }\]

Але ці тиски, крім негативного знака P _e (відповідного тяжіння), є щільності електричної та магнітної енергії [J m ^-3].

Робота Δw, виконана при переміщенні кордону порожнини трохи, - це тиск P _e/m, що застосовується, разів на область, на яку вона застосовується, раз відстань, переміщену перпендикулярно до кордону. Наприклад, Δw дорівнює внутрішньому електромагнітному тиску (± щільності енергії) разів збільшенню обсягу, доданого рухомою межею. Але це збільшення загальної накопиченої електромагнітної енергії просто:

\[\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{T}}=\mathrm{Nh} \Delta \mathrm{f}=-\left(\mathrm{P}_{\mathrm{e}}+\mathrm{P}_{\mathrm{m}}\right) \Delta \mathrm{v}_{\text {olume }}=\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{e}}-\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{m}}\]

Ознаки збільшення накопичення електричної та магнітної енергії Δw _e і Δw _m і тисків P _e і P _m різні, оскільки тиску P _e і P _m знаходяться в протилежних напрямках, де Δw _e = W _e Δv _ол, і\(\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{m}}=-\mathrm{P}_{\mathrm{m}} \Delta \mathrm{v}_{\mathrm{ol}}=-\mathrm{W}_{\mathrm{m}} \Delta \mathrm{v}_{\mathrm{ol}}\). Δw _e визначається як електрична енергія, що зберігається в збільшеному обсязі порожнини, Δv _ol, припускаючи, що напруженість електричного поля залишається постійною, оскільки стіна трохи рухається; Δw _m визначається аналогічно. Основним обмеженням тут є те, що стіни не можна переміщати так далеко, щоб змінилася щільність сили на стінках, а також не може різко змінюватися їх форма з тієї ж причини. Наприклад, різка точка концентрує електричні поля і порушує це обмеження.

Ділення (9.4.12) на\(w_T = Nhf\) дає рівняння збурень частоти:

\[\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{T}} / \mathrm{w}_{\mathrm{T}}=\Delta \mathrm{f} / \mathrm{f}=\left(\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{e}}-\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{m}}\right) / \mathrm{w}_{\mathrm{T}}=\Delta \mathrm{v}_{\mathrm{ol}}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{e}}-\mathrm{W}_{\mathrm{m}}\right) / \mathrm{w}_{\mathrm{T}} \qquad \qquad\qquad \text{(frequency perturbation)}\]

Простий приклад ілюструє його використання. Розглянемо прямокутний резонатор, що працює в режимі ТЕ ₁₀₁ з полями, заданими (5.4.37) і (5.4.38). Якщо ми натискаємо в центрі верхньої або нижньої частини порожнини, де\(\overline{\mathrm{\underline H}} \cong 0\) і\( \overline{\mathrm{E}} \neq 0\) ми зменшуємо обсяг, виділений для накопичення електричної енергії, так Δw _e негативний і резонансна частота буде падати відповідно до (9.4.13). Однак якщо ми натискаємо в сторони, резонансна частота збільшиться, оскільки ми зменшуємо обсяг, де зберігається магнітна енергія, а Δw _m негативна; щільність електричної енергії на боковині дорівнює нулю. У фізичному плані штовхання у верхньому центрі, де електричні поля тягнуть всередину стіни, означає, що ці поля роблять роботу над рухомою стінкою і, отже, втрачають енергію та частоту. Натискання там, де магнітні поля виштовхують назовні, працює на поля, збільшуючи їх енергію та частоту. Ця методика може бути використана для експериментального визначення невідомого резонансного режиму порожнини, а також його налаштування.