5.6: Фотонні сили

Фотонні сили виникають всякий раз, коли електромагнітні хвилі поглинаються або відбиваються об'єктами, і їх можна знайти за допомогою хвильових або фотонних парадигм. Розділ 5.2.2 виведено магнітний тиск\(\overline{\mathrm{P}}_{\mathrm{m}}\) (5.2.13), що подається поверхневим магнітним полем H _s (t), яке паралельно плоскому досконалому провіднику в площині x-y:

\[\overline{\mathrm{P}}_{\mathrm{m}}=\hat{z} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H}_{\mathrm{s}}^{2} / 2 \ \left[\mathrm{Nm}^{-2}\right] \qquad \qquad \qquad \text { (magnetic pressure on perfect conductor) } \]

Таким чином, цей миттєвий магнітний тиск перпендикулярно поверхні провідника дорівнює сусідній щільності магнітної енергії ([N m ^-2] = [J m ^-3]).

У синусоїдальному сталому стані середній тиск за часом становить половину пікового миттєвого значення, заданого (5.6.1), де H _s (t) = H _s cos ωt. Це середній тиск на ідеально відбиває провідник також може бути виражено через середньочасовий вектор Пойнтінга\( \langle\overline{\mathrm{S}}(\mathrm{t})\rangle\) падаючої хвилі, що характеризується H ₊ cos ωt:

\[ \left\langle\overline{\mathrm{P}}_{\mathrm{m}}(\mathrm{t})\right\rangle=\hat{z} \mu_{\mathrm{o}}\left\langle\mathrm{H}_{\mathrm{s}}^{2}(\mathrm{t})\right\rangle / 2=2\langle\overline{\mathrm{S}}(\mathrm{t})\rangle / \mathrm{c} \quad\left[\mathrm{Nm}^{-2}\right]\]

де\( \mathrm{H}_{\mathrm{s}}=2 \mathrm{H}_{+}\) і\( \langle\mathrm{S}(\mathrm{t})\rangle=\eta_{0} \mathrm{H}_{+}^{2} / 2\); імпеданс вільного простору\(\eta_{\mathrm{o}}=\mu_{\mathrm{o}} / \mathrm{c}\).

Тепер легко\(\langle\mathrm{S}(\mathrm{t})\rangle \) зв'язатися з потоком імпульсу фотонів, який також дає тиск. Нагадаємо ¹⁷, що:

\[ \text {photon momentum } \mathrm{M}=\dfrac{\mathrm{hf}}{\mathrm{c}} \quad\left[\mathrm{Nm} \mathrm{s}^{-1}\right]\]

Таким чином, імпульс, перенесений на дзеркало при ідеальному відображенні одного фотона при нормальній частоті\(2hf/c\).

Нагадаємо з механіки, що сила f, необхідна для зміни імпульсу mv, становить:

\[f=\dfrac{d(m v)}{d t} \ [\mathrm N]\]

так що загальний тиск випромінювання на ідеальне дзеркало, що відбивається безпосередньо назад n фотонів [s ^-1 m ^-2] становить:

узгоджується з (5.6.2). Таким чином ми показали, що і силовий метод Лоренца, і метод фотонних сил дають однаковий тиск на ідеально відображають дзеркала; P _m = P ^r. Коефіцієнт два в (5.6.5) виникає через те, що фотонний імпульс не обнулюється, а перевертається дзеркалом. Якби ці фотони були поглинені, а не відображені, швидкість передачі імпульсу до поглинача зменшилася б вдвічі. В цілому, якщо падаюча і нормально відбита щільності потужності\(\left\langle\mathrm{S}_{1}\right\rangle\)\(\left\langle\mathrm{S}_{2}\right\rangle\) дорівнюють і, відповідно, то середній тиск випромінювання на дзеркало дорівнює:

\[\langle P\rangle=\dfrac{\left\langle S_{1}+S_{2}\right\rangle }{c}\]

Якщо фотони падають під кутом, передача імпульсу зменшується на косинус кута падіння і відбиття. І якщо дзеркало частково прозоре, передача імпульсу зменшується на ту частку фотонного імпульсу, який проходить через незмінений.

¹⁷ Грубий аргумент правдоподібності для (5.6.3) наступний. Енергія фотона - hf [J], половина - магнітна, а половина - електрична. _{Ми бачили в (5.2.1) та (5.2.13), що лише магнітні поля сприяють силі Лоренца на нормальному відбиваючому провіднику, для якого і E, і H = 0, тому ми можемо умовно асоціювати hf/2 з «кінетичною енергією фотона», де кінетична енергія пов'язана з імпульсом.} Якби фотони мали масу m, ця умовна кінетична енергія hf/2 дорівнювала б mc ^{2 /2}, а умовний асоційований імпульс mc фотона тоді дорівнював би hf/c, його фактичне значення.

Розглянемо простий приклад світловідбиваючого сонячного вітрила, продутого радіаційним тиском по всій Сонячній системі, що пливе з планети на планету. На землі інтенсивність сонячного випромінювання становить ~ 1400 Вт/м2, тому (5.6.6) дає, наприклад, сумарну силу f на вітрило проектованої площі А перехоплює один квадратний кілометр випромінювання:

\[\mathrm{f}=\mathrm{A}\langle\mathrm{P}\rangle=\mathrm{A} 2\langle\mathrm{S}(\mathrm{t})\rangle / \mathrm{c} \leq 10^{6} \times 2 \times 1400 /\left(3 \times 10^{8}\right) \cong 9 \ [\mathrm{N}]\]

Парус такого розміру товщиною в один мікрон і має щільність води мав би масу м 1000 кг. Оскільки швидкість вітрила v = at = (f/m) t, де a - прискорення, а t - час, з цього випливає, що через рік накопичена швидкість вітрила, що стикається з таким постійним тиском у вакуумі, могла б скласти (9/1000) 3×10 ⁷ 3 × 10 ⁵ мс ^-1 = c/1000. Звичайно, тиск сонячних фотонів знижується як квадрат сонячної відстані, і сонячна гравітація також діяла б на такі вітрила.

Приклад\(\PageIndex{A}\)

Яка сила F [N] чиниться на 3-ватний ліхтар (λ 0.5 мкм) в результаті виходу фотонів?

Рішення

E = hf і потужність P = Nhf = 3 Вт, де N - кількість фотонів в секунду. Сила F = nHF/c, де hf/c - імпульс одного фотона, а N = 3/hf тут. Так F = 3/с = 10 ^-8 ньютонів. Ньютон наближає гравітаційну силу на четвертьфунтовому пакеті інжирних ньютонів. Ця сила штовхає ліхтарик в напрямку, протилежному напрямку світлового променя.