1.3: Закон Гаусса та електростатичні поля та потенціали

Хоча закон сили Лоренца визначає, як можна спостерігати електричні та магнітні поля, чотири рівняння Максвелла пояснюють, як ці поля можуть бути створені безпосередньо з зарядів і струмів, або побічно і еквівалентно з інших мінливих полів часу. Одним з цих чотирьох рівнянь є Закон Гаусса для заряду, який стверджує, що сумарний заряд Q [Кулонів] в об'ємі V дорівнює інтегралу нормальної складової вектора електричного переміщення\(\vec D\) по площі поверхні A цього об'єму:

\[ \oiint _{\text{A}}(\vec{\text{D}} \bullet \hat{n}) \text{d} \text{a}=\int \int \int_{\text{V}} \rho \text{d} \text{v}=\text{Q}\]

У вакуумі:

\[\vec{\text{D}}=\varepsilon_{\text{o}} \vec{\text{E}}\]

де діелектрична проникність вакууму ε _o = 8.854×10 ^-12 Фарадс/м. рівняння (1.3.1) виявляє розміри\(\vec D\): кулонів/м ², часто тут скорочено [С/м ²].

Кілька простих прикладів ілюструють типові електричні поля для загальних розподілів зарядів та те, як закон Гаусса може бути використаний для обчислення цих полів. Спочатку розглянемо сферу радіуса R, рівномірно заповнену зарядом щільності ρ _o [C/m ³], як показано на малюнку 1.3.1 (a).

Малюнок 1.3.1: Електричні поля\(\vec E\) (r), що утворюються рівномірно зарядженими сферами і циліндрами.

Симетрія розв'язку повинна відповідати сферичній симетрії задачі, тому\(\vec E\) повинна бути незалежною від θ і\(\Phi\), хоча вона може залежати від радіуса r Ця симетрія вимагає, щоб\(\vec E\) бути радіальною і, зокрема:

\[\vec{\text{E}}(\text{r}, \theta, \phi)=\hat{\text{r}} \text{E}(\text{r})[\text{V} / \text{m}]\]

Ми можемо знайти\(\vec E\) (r), підставивши (1.3.3) на (1.3.1). Спочатку розглянемо r > R, для якого (1.3.1) стає:

\[4 \pi r^{2} \varepsilon_{0} E(r)=(4 / 3) \pi R^{3} \rho_{0}=Q\]

\[\vec{\text{E}}(\text{r})=\hat{\text{r}} \frac{\text{Q}}{4 \pi \varepsilon_{0} \text{r}^{2}}\quad \quad \quad (\text{r}>\text{R})\]

Усередині сфери таке ж заміщення на (1.3.1) дає:

\[4 \pi r^{2} \varepsilon_{0} E(r)=(4 / 3) \pi r^{3} \rho_{0}\]

\[\vec{\text{E}}(\text{r})=\hat{\text{r}} \rho_{\text{o}} \text{r} / 3 \varepsilon_{\text{o}}[\text{V} / \text{m}] \quad \quad \quad (\text{r}<\text{R})\]

Цікаво порівняти цю\(\vec E\) залежність від r з такою для циліндричних геометрій, які також проілюстровані на малюнку 1.3.1. Приймаємо рівномірну щільність заряду ρ _o в радіусі R, що відповідає λ кулонів/метр. Заміна (1.3.4) на (1.3.1) врожайність:

\[2 \pi r W \varepsilon_{0} E(r)=\pi R^{2} \rho_{o} W=\Lambda W \quad [C] \quad \quad \quad (r>R)\]

\[\vec{\text{E}}(\text{r})=\hat{\text{r}} \frac{\Lambda}{2 \pi \varepsilon_{\text{o}} \text{r}}=\hat{\text{r}} \frac{\text{R}^{2} \rho_{\text{o}}}{2 \varepsilon_{\text{o}} \text{r}}[\text{V} / \text{m}] \quad\quad\quad (\text{r}>\text{R})\]

Усередині циліндра (r < R) права сторона (1.3.9) все ще застосовується, але з R ² замінено на r ², тому\( \vec{\text{E}}(\text{r})=\hat{\text{r}} \text{r} \rho_{\text{o}} / 2 \varepsilon_{\text{o}}\) замість цього.

Щоб знайти різницю напруг, яку часто називають різницею електричного потенціалу\(\Phi\) або різницею потенціалів, між двома точками в просторі [V], ми можемо просто інтегрувати статичне електричне поле\(\bar{E} \cdot \hat{r} \) [В/м] уздовж лінії поля, що\(\vec E\) з'єднує їх. Таким чином, в сферичному випадку різниця напруг\(\Phi\left(\text{r}_{1}\right)-\Phi\left(\text{r}_{2}\right) \) між точками в r ₁ і при r ₂ > r ₁ дорівнює:

\[\Phi\left(\text{r}_{1}\right)-\Phi\left(\text{r}_{2}\right)=\int_{\text{r}_{1}}^{\text{r}_{2}} \vec{\text{E}} \bullet \text{d} \vec{\text{r}}=\frac{\text{Q}}{4 \pi \varepsilon_{\text{o}}} \int_{\text{r}_{1}}^{\text{r}_{2}} \frac{1}{\text{r}^{2}} \hat{\text{r}} \cdot \text{d} \vec{\text{r}}=-\left.\frac{\text{Q}}{4 \pi \varepsilon_{\text{o}} \text{r}}\right|_{\text{r}_{1}} ^{\text{r}_{2}}=\frac{\text{Q}}{4 \pi \varepsilon_{\text{o}}}\left(\frac{1}{\text{r}_{1}}-\frac{1}{\text{r}_{2}}\right)[\text{V}]\]

Якщо ми хочемо призначити абсолютне значення електричному потенціалу або напрузі V у заданому місці, ми зазвичай визначаємо потенціал\(\Phi\) нульовим при r ₂ = ∞, тому сферичний заряд Q виробляє електричний потенціал\(\Phi\) (r) для r > R, який є:

\[\Phi(\text{r})=\text{Q} / 4 \pi \varepsilon_{\text{o}} \text{r}[\text{V}]\]

Те ж саме обчислення для циліндричного заряду малюнка 1.3.1 і поля (1.3.9) дає:

\[\Phi\left(\text{r}_{1}\right)-\Phi\left(\text{r}_{2}\right)=\int_{\text{r}_{1}}^{\text{r}_{2}} \vec{\text{E}} \bullet \text{d} \vec{\text{r}}=\frac{\Lambda}{2 \pi \varepsilon_{\text{o}}} \int_{\text{r}_{1}}^{\text{r}_{2}} \frac{1}{\text{r}} \hat{\text{r}} \cdot \text{d} \vec{\text{r}}=\left.\frac{\Lambda \ln \text{r}}{2 \pi \varepsilon_{\text{o}}}\right|_{\text{r}_{1}} ^{\text{r}_{2}}=\frac{\Lambda}{2 \pi \varepsilon_{\text{o}}} \ln \left(\text{r}_{2} / \text{r}_{1}\right)\]

Третя проста геометрія - це заряджені нескінченні паралельні провідні пластини, розділені відстанню d, де внутрішні поверхні верхньої та нижньої пластин мають поверхневу щільність заряду +ρ _s та -ρ _s [C/m ²] відповідно, як показано на малюнку 1.3.2 для скінченних тарілки. Рівномірність нескінченних пластин по відношенню до x, y і\(\Phi\) вимагає, щоб рішення\(\vec E\) також було незалежним від x, y, і\(\Phi\). Симетрія щодо\(\Phi\) вимагає цієї\(\vec E\) точки у напрямку ± z. Закон Гаусса (1.3.1) вимагає, щоб\(\vec E\) бути незалежним від z, оскільки інтеграли\(\vec D\) над верхньою та нижньою поверхнями будь-якого прямокутного об'єму, розташованого між пластинами, повинні скасовуватися, оскільки немає заряду в такому об'ємі і не\(\vec D\) проходить через його сторони.

Малюнок 1.3.2: Електричне поле між паралельними пластинами.

його рішення для\(\vec E\) узгоджується з гумосмуговою моделлю для польових ліній, що говорить про те, що надлишкові позитивні і негативні заряди будуть взаємно притягуватися, і тому будуть тягнутися до внутрішніх поверхонь двох пластин, особливо якщо зазор d між пластинами невеликий в порівнянні з їх ширина. Закон Гаусса (1.3.1) також говорить нам, що вектор переміщення,\(\vec D\) інтегрований над поверхнею, що охоплює всю конструкцію, повинен бути нульовим, оскільки інтегрований заряд всередині цієї поверхні дорівнює нулю; тобто інтегрований позитивний заряд, ρ _s A, врівноважує інтегрований негативний заряд, - ρ _S і\(\vec D\) зовнішній до пристрою може бути нуль скрізь. Електричну різницю потенціалів V між двома пластинами можна знайти шляхом інтеграції\(\vec E\) між двома пластинами. Тобто V = E _o d вольт для будь-якого шляху інтеграції, де E _o = ρ _s /ε _o за законом Гаусса.

Хоча різницю напруг між рівнопотенціалами можна обчислити шляхом інтеграції уздовж самих ліній електричного поля, як це зроблено вище, легко показати, що результат не залежить від шляху інтеграції. Припустимо, що існує два різні шляхи інтеграції P ₁ і P ₂ між будь-якими двома точками інтересу, і що дві результуючі різниці напруги - V ₁ і V ₂. Тепер розглянемо замкнутий контур С інтеграції, який знаходиться по шляху Р ₁ в позитивному напрямку і по Р ₂ в зворотному напрямку так, щоб зробити замкнутий контур. Оскільки цей контурний інтеграл повинен давати нуль, як показано нижче в (1.3.13), використовуючи закон Фарадея для статичного випадку, де /t = 0, випливає, що V ₁ = V ₂ і що всі шляхи інтеграції дають однакову різницю напруги.

\[\text{V}_{1}-\text{V}_{2}=\int_{\text{P}_{1}} \vec{\text{E}} \cdot \text{d} \vec{\text{s}}-\int_{\text{P}_{2}} \vec{\text{E}} \cdot \text{d} \vec{\text{s}}=\oint_{\text{c}} \vec{\text{E}} \cdot \text{d} \vec{\text{s}}=-\frac{\partial}{\partial \text{t}} \int \int_{\text{A}} \vec{\text{B}} \cdot \text{d} \vec{\text{a}}=0\]

Підсумовуючи, електричні поля розпадаються як 1/r ² від сферичних концентрацій заряду, як 1/r від циліндричних, і є однорідними в плоских геометріях. Відповідні електричні потенціали розпадаються як 1/r, -ln r і x відповідно в результаті інтеграції на відстані. Потенціал\(\Phi\) циліндричного корпусу стає нескінченним як r→∞, оскільки циліндр нескінченно довгий; однак вираз різниці потенціалів між концентричними циліндрами скінченного радіуса є дійсним. У межах рівномірних сферичних і циліндричних розподілів заряду електричне поле зростає від нуля лінійно з радіусом r. У кожному випадку розподіл електричного поля пояснюється моделлю гумової стрічки, в якій гумові стрічки (лінії поля) відштовхуються один від одного в бічному напрямку, натягуючись на протилежні електричні заряди.

Надзвичайно корисно відзначити, що рівняння Максвелла є лінійними, так що суперпозиція застосовується. Тобто загальне електричне поле\(\vec E\) дорівнює сумі всіх присутніх зарядів, де внесок\(\vec E\) від кожного заряду Q дається (1.3.5). Електричні потенціали\(\Phi\) також накладаються, де внесок від кожного заряду Q задається (1.3.11).