5.14: Змішані діелектрики

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78545

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У цьому розділі розглядається питання: Якщо між обкладинками конденсатора є два або більше діелектричних середовищ, з різною діелектричною проникністю, чи відрізняються електричні поля в двох середовищах, або вони однакові? Відповідь залежить від

Чи під «електричним полем» ви маєте на увазі\(E\) або\(D\);
Розташування середовищ між пластинами - тобто чи два діелектрики послідовно чи паралельно.

Давайте спочатку припустимо, що два носії знаходяться послідовно (рис.\(V.\) 16).

\(\text{FIGURE V.16}\)

Наш конденсатор має два діелектрики послідовно, перший з товщини\(d_1\) і діелектричної проникності\(\epsilon_1\) і другий товщини\(d_2\) і діелектричної проникності\(\epsilon_2\). Як завжди, товщини діелектриків повинні бути невеликими, щоб поля всередині них були рівномірними. Це ефективно два конденсатори послідовно, ємностей\(\epsilon_1A/d_1 \text{ and }\epsilon_2A/d_2\). Таким чином, загальна ємність

\[C=\frac{\epsilon_1\epsilon_2A}{\epsilon_2d_1+\epsilon_1d_2}.\label{5.14.1}\]

Уявімо, що різниця потенціалів по пластинам є\(V_0\). Зокрема, ми припустимо, що потенціал нижньої пластини дорівнює нулю, а потенціал верхньої пластини -\(V_0\). Заряд, що\(Q\) утримується конденсатором (позитивний на одній пластині, негативний на інший) якраз дається\(Q = CV_0\), а значить і\(\sigma\) поверхнева щільність заряду є\(CV_0/A\). Закон Гаусса полягає в тому, що загальний\(D\) -потік, що виникає від заряду, дорівнює заряду, так що в цій геометрії\(D = \sigma\), і це не змінюється природою діелектричних матеріалів між обкладинками. Таким чином, в цьому конденсаторі,\(D = CV_0/A = Q/A\) в обох середовищах. Таким\(D\) чином, безперервно через кордон.

Потім, застосувавши\(D = \epsilon E\) до кожного з носіїв, ми виявляємо, що\(E\) -поля в двох носіях є\(E_1\) =\(Q\)/\((\epsilon_1A\)) і\(E_2\) =\(Q\)/\((\epsilon_2A\)),\(E\) -поле (і, отже, градієнт потенціалу) більше в середовищі з меншою діелектричною проникністю.

Потенціал V на кордоні середовища задається\(V/d_2=E_2\). Об'єднавши це з нашим виразом for\(E_2\),\(Q = CV\) and Equation\ ref {5.14.1}, ми знаходимо для граничного потенціалу:

\[V=\frac{\epsilon_1d_2}{\epsilon_2d_1+\epsilon_1d_2}V_0.\label{5.14.2}\]

Давайте тепер припустимо, що два носія знаходяться паралельно (рис.\(V.\) 17).

\(\text{FIGURE V.17}\)

Цього разу у нас є два діелектрики, кожен товщини\(d\), але один має площу\(A_1\) та діелектричну проникність,\(\epsilon_1\) а інший має площу\(A_2\) та діелектричну проникність\(\epsilon_2\). Це всього два конденсатора паралельно, а загальна ємність дорівнює

\[C=\frac{\epsilon_1A_1}{d}+\frac{\epsilon_2A_2}{d}\label{5.14.3}\]

\(E\)-поле - це просто градієнт потенціалу, і це не залежить від будь-якого середовища між пластинами, так що\(E = V/d\). в кожному з двох діелектриків. Після цього у нас є просто це\(D_1=\epsilon_1E \text{ and }D_2=\epsilon_2E\). Щільність заряду на пластин задається законом Гаусса як\(\sigma = D\), так що, якщо\(\epsilon_1 < \epsilon_2\), щільність заряду на лівій частині кожної пластини менше, ніж на правій частині - хоча потенціал однаковий у всій кожній пластині. (Поверхня металу завжди є рівнопотенційною поверхнею.) Дві різні щільності заряду на кожній пластині є результатом різних поляризацій двох діелектриків - те, що буде легше зрозуміти трохи пізніше в цій главі, коли ми маємо справу з поляризацією медіа.

Ми встановили, що:

Складова\(\textbf{D}\) перпендикуляра до кордону суцільна;
Компонент\(\textbf{E}\) паралелі до кордону є безперервним.

На малюнку\(V.\) 18 ми дивимося на\(D\) -поле і на\(E\) -поле, коли воно перетинає межу, в якій\(\epsilon_1 < \epsilon_2\). Зверніть увагу, що\(D_y\) і\(E_x\) однакові по обидва боки кордону. Це призводить до:

\[\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}=\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}.\label{5.14.4}\]

\(\text{FIGURE V.18}\)