5.14: Змішані діелектрики

У цьому розділі розглядається питання: Якщо між обкладинками конденсатора є два або більше діелектричних середовищ, з різною діелектричною проникністю, чи відрізняються електричні поля в двох середовищах, або вони однакові? Відповідь залежить від

1. Чи під «електричним полем» ви маєте на увазі$E$ або$D$;
2. Розташування середовищ між пластинами - тобто чи два діелектрики послідовно чи паралельно.

Давайте спочатку припустимо, що два носії знаходяться послідовно (рис.$V.$ 16).

$\text{FIGURE V.16}$

Наш конденсатор має два діелектрики послідовно, перший з товщини$d_1$ і діелектричної проникності$\epsilon_1$ і другий товщини$d_2$ і діелектричної проникності$\epsilon_2$. Як завжди, товщини діелектриків повинні бути невеликими, щоб поля всередині них були рівномірними. Це ефективно два конденсатори послідовно, ємностей$\epsilon_1A/d_1 \text{ and }\epsilon_2A/d_2$. Таким чином, загальна ємність

$$C=\frac{\epsilon_1\epsilon_2A}{\epsilon_2d_1+\epsilon_1d_2}.\label{5.14.1}$$

Уявімо, що різниця потенціалів по пластинам є$V_0$. Зокрема, ми припустимо, що потенціал нижньої пластини дорівнює нулю, а потенціал верхньої пластини -$V_0$. Заряд, що$Q$ утримується конденсатором (позитивний на одній пластині, негативний на інший) якраз дається$Q = CV_0$, а значить і$\sigma$ поверхнева щільність заряду є$CV_0/A$. Закон Гаусса полягає в тому, що загальний$D$ -потік, що виникає від заряду, дорівнює заряду, так що в цій геометрії$D = \sigma$, і це не змінюється природою діелектричних матеріалів між обкладинками. Таким чином, в цьому конденсаторі,$D = CV_0/A = Q/A$ в обох середовищах. Таким$D$ чином, безперервно через кордон.

Потім, застосувавши$D = \epsilon E$ до кожного з носіїв, ми виявляємо, що$E$ -поля в двох носіях є$E_1$ =$Q$/$(\epsilon_1A$) і$E_2$ =$Q$/$(\epsilon_2A$),$E$ -поле (і, отже, градієнт потенціалу) більше в середовищі з меншою діелектричною проникністю.

Потенціал V на кордоні середовища задається$V/d_2=E_2$. Об'єднавши це з нашим виразом for$E_2$,$Q = CV$ and Equation\ ref {5.14.1}, ми знаходимо для граничного потенціалу:

$$V=\frac{\epsilon_1d_2}{\epsilon_2d_1+\epsilon_1d_2}V_0.\label{5.14.2}$$

Давайте тепер припустимо, що два носія знаходяться паралельно (рис.$V.$ 17).

$\text{FIGURE V.17}$

Цього разу у нас є два діелектрики, кожен товщини$d$, але один має площу$A_1$ та діелектричну проникність,$\epsilon_1$ а інший має площу$A_2$ та діелектричну проникність$\epsilon_2$. Це всього два конденсатора паралельно, а загальна ємність дорівнює

$$C=\frac{\epsilon_1A_1}{d}+\frac{\epsilon_2A_2}{d}\label{5.14.3}$$

$E$-поле - це просто градієнт потенціалу, і це не залежить від будь-якого середовища між пластинами, так що$E = V/d$. в кожному з двох діелектриків. Після цього у нас є просто це$D_1=\epsilon_1E \text{ and }D_2=\epsilon_2E$. Щільність заряду на пластин задається законом Гаусса як$\sigma = D$, так що, якщо$\epsilon_1 < \epsilon_2$, щільність заряду на лівій частині кожної пластини менше, ніж на правій частині - хоча потенціал однаковий у всій кожній пластині. (Поверхня металу завжди є рівнопотенційною поверхнею.) Дві різні щільності заряду на кожній пластині є результатом різних поляризацій двох діелектриків - те, що буде легше зрозуміти трохи пізніше в цій главі, коли ми маємо справу з поляризацією медіа.

Ми встановили, що:

1. Складова$\textbf{D}$ перпендикуляра до кордону суцільна;
2. Компонент$\textbf{E}$ паралелі до кордону є безперервним.

На малюнку$V.$ 18 ми дивимося на$D$ -поле і на$E$ -поле, коли воно перетинає межу, в якій$\epsilon_1 < \epsilon_2$. Зверніть увагу, що$D_y$ і$E_x$ однакові по обидва боки кордону. Це призводить до:

$$\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}=\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}.\label{5.14.4}$$

$\text{FIGURE V.18}$