1.5: Закон Кулона

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78555

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Якщо вас цікавить історія фізики, то варто прочитати про важливі експерименти Шарля Кулона 1785 року. У цих експериментах він мав невелику нерухому металеву сферу, яку він міг заряджати електрикою, і другу металеву сферу, прикріплену до лопаті, підвішеної на тонкій торсіонній нитці. Дві сфери були заряджені і через сили відштовхування між ними лопатка закручена навколо на кінці торсіонної нитки. За допомогою цього засобу він зміг виміряти саме малі сили між зарядами, і визначити, як змінювалася сила з величиною заряду і відстанню між ними.

З цих експериментів випливало те, що зараз відомо як Закон Кулона. Два електричних заряду подібного знака відштовхуються один від одного з силою, пропорційною добутку їх зарядів і обернено пропорційною квадрату відстані між ними:

\[F \propto \frac{Q_1Q_2}{r^2}\label{1.5.1}\]

Тут\(Q_1\) and \(Q_2\) are the two charges and \(r\) is the distance between them.

Ми могли б в принципі використовувати будь-який символ, який нам подобається, для константи пропорційності, але в стандартній практиці СІ (Système International) константа пропорційності пишеться як\(\frac{1}{4\pi \epsilon}\) so that Coulomb’s Law takes the form

\[F=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{Q_1Q_2}{r^2}\label{1.5.2}\]

Тут\(\epsilon\) is called the permittivity of the medium in which the charges are situated, and it varies from medium to medium. The permittivity of a vacuum (or of “free space”) is given the symbol \(\epsilon_0\). Media other than a vacuum have permittivities a little greater than \(\epsilon_0\). The permittivity of air is very little different from that of free space, and, unless specified otherwise, I shall assume that all experiments described in this chapter are done either in free space or in air, so that I shall write Coulomb’s Law as

\[F=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{r^2}\label{1.5.3}\]

Ви можете задатися питанням — чому фактор 4\(\pi\)? In fact it is very convenient to define the permittivity in this manner, with 4\(\pi\) in the denominator, because, as we shall see, it will ensure that all formulas that describe situations of spherical symmetry will include a 4\(\pi\), formulas that describe situations of cylindrical symmetry will include 2\(\pi\), and no \(\pi\) will appear in formulas involving uniform fields. Some writers (particularly those who favour cgs units) prefer to incorporate the 4\(\pi\) into the definition of the permittivity, so that Coulomb’s law appears in the form \(F=Q_1Q_2/(\epsilon_0r^2)\), though it is standard SI practice to define the permittivity as in Equation \ref{1.5.3}. The permittivity defined by Equation \ref{1.5.3} is known as the “rationalized” definition of the permittivity, and it results in much simpler formulas throughout electromagnetic theory than the “unrationalized” definition.

Одиницею заряду СІ є кулон, С. На жаль на даному етапі я не можу дати вам точного визначення кулона, хоча, якщо протягом секунди тече струм в 1 ампер, кількість електричного заряду, що протікає, становить 1 кулон. Спочатку це може здатися дуже зрозумілим, поки ви не подумаєте, що ми ще не визначили, що мається на увазі під підсилювачем, і що, боюся, доведеться прийти в набагато пізніше розділі.

До цього часу я можу дати вам кілька невеликих вказівок. Наприклад, заряд на електроні близько - 1,6022 Х 10 ^{- 19} С, а заряд на протоне приблизно +1,6022 Х 10 ^{- 19} С. Тобто, колекція 6,24 Х 10 ¹⁸ протонів, якщо б ви могли якось зв'язати їх все разом і зупинитися їх від розлітаються один від одного, становить заряд 1 С. Моль протонів (тобто 6.022 X 10 ²³ протони), який мав би масу близько одного грама, мав би заряд 9,65 X 10 ⁴ C, який також називають фарадеєм (який зовсім не однаковий річ як фарад).

[Поточне визначення кулона та підсилювача, яке буде дано в главі 6, вимагає певних знань про електромагнетизм. Однак цілком ймовірно, що в 2018 році кулон буде переосмислений таким чином, що величина заряду на одному електроні дорівнює рівно 1,60217 Х 10 ^- ¹⁹ С]

Заряди, що беруть участь у наших експериментах з кульками, скляними стрижнями та електроскопами із золотим листом, дуже малі з точки зору кулонів, і, як правило, порядку нанокулонів.

Діелектрична проникність вільного простору має приблизну величину

\[\epsilon_0 = 8.8542\times 10^{-12}\text{ C}^2\, \text{N}^{-1}\, \text{m}^{-2}. \nonumber\]

Пізніше, коли ми знаємо, що мається на увазі під «фарадом», ми будемо використовувати одиниці F m ^{- 1} для опису діелектричної проникності - але це доведеться чекати до розділу 5.2.

Ви цілком можете запитати, як вимірюється діелектрична проникність вільного простору. Коротка відповідь може бути «шляхом проведення експериментів, подібних до експериментів Кулона». Однак — і це досить довга історія, яку я тут описувати не буду — виходить, що оскільки ми сьогодні визначаємо метр, визначаючи швидкість світла, c, рівно 2.997 925 58 X 10 ⁸ m s ^{- 1}, діелектрична проникність вільної простір має визначене значення, задане, в одиницях СІ,

\[4\pi\epsilon_0 = \frac{10^7}{c^2}\nonumber\]

Тому не потрібно вимірювати\(\epsilon_0\) any more than it is necessary to measure c. But that, as I say, is a long story.

З точки зору розмірного аналізу електричний заряд не може бути виражений термінами M, L і T, але він має власну розмірність, Q. (Це твердження оскаржується деякими, але це не місце для обговорення причин. Я можу додати главу, врешті-решт, обговорюючи цей момент набагато пізніше.) Ми говоримо, що розміри електричного заряду становлять Q.

Я настійно рекомендую читачеві попрацювати і зробити позначку про розміри кожної нової електричної або магнітної величини в міру її введення.

тонн або майже мільйон тонн.

часи такі сильні, як гравітаційні сили — але таке твердження поза контекстом є досить безглуздим. Наприклад, гравітаційна сила між Землею і Місяцем набагато більше, ніж електростатична сила (якщо така є) між ними, і космологи могли б зробити хороший випадок сказати, що найсильніші сили у Всесвіті є гравітаційними.

Ставлення діелектричної проникності ізолюючої речовини до діелектричної проникності вільного простору - це його відносна діелектрична проникність, також звана його діелектричною проникністю. Діелектричних постійних багатьох часто зустрічаються ізолюючих речовин порядку «кілька». Тобто десь між 2 і 10. Чиста вода має діелектричну проникність близько 80, що досить високо (але майте на увазі, що більшість води далека від чистої і не є ізолятором.) Деякі спеціальні речовини, відомі як сегнетоелектричні речовини, такі як титанат стронцію SrTiO ₃, мають діелектричні проникності в кілька сотень.