Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.8: Термодинамічний аргумент

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    77555

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Я зазначив, що закони Вієна та Стефана можуть бути отримані шляхом диференціації та інтеграції відповідно рівняння Планка. Читачі повинні спробувати це для себе хоча б переконати себе, що ні особливо легко, ні справді не є виведенням рівняння Планка для початку. Ті, кому це вдасться, можуть виправдано привітати себе. Ті, хто не вдається, можуть втішити себе думкою, що закон Стефана був похідний від простого термодинамічного аргументу задовго до виведення рівняння Планка, і не потрібно знати рівняння Планка, не кажучи вже про те, як його диференціювати або інтегрувати, щоб прийти до закону Стефана. Однак ви повинні знати трохи термодинаміки.

    Серед безлічі термодинамічних відносин можна знайти такий, який говорить:

    \[\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left( \dfrac{\partial P}{\partial T} \right)_V - P \label{eq1}\]

    Виведення зазвичай починається з написання ентропії як функції об'єму та температури, а виведення зазвичай зустрічається як попереднє до виведення ефекту Джоуля для неідеального газу. Коли Equation\ ref {eq1} застосовується до рівняння стану неідеального газу (наприклад, газу ван дер Ваальса), його можна використовувати для обчислення падіння температури під час Джоулевого розширення. Ми хочемо застосувати його, однак, до випромінювання в корпусі.

    Припустимо, що випромінювання ізотропне і знаходиться в сталому стані. За таких умов фотони імовірно будуть відскакувати, а не прилипати до стін, інакше вони швидко виснажуються - або, якщо вони поглинаються, інші випромінюються з тією ж швидкістю. Так чи інакше, радіаційний тиск задається рівнянням 1.18.3, тобто\(P = u/3\). Щільність енергії залежить тільки від температури, а не від обсягу; тому термін з лівого\((\partial U / \partial V)_T\) боку рівняння 2.9.1 - це просто щільність енергії\(u\). А так як тиск є\(u/3\), термін\((\partial P / \partial T)_V\) є\(\frac{1}{3}(du/dT)_V\).

    Рівняння\ ref {eq1} тому стає

    \[u = \frac{T}{3} \left( \frac{du}{dT} \right) - \frac{u}{3}\]

    або

    \[4u = T \frac{du}{dT},\]

    який поступається закону Стефана при інтеграції.