2: Загальні трикутники

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.E: Кути тригонометрії прямокутного трикутника (вправи)
- 2.1: Закон Сінеса

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У розділі 1.3 ми побачили, як вирішити прямокутний трикутник: з урахуванням двох сторін, або однієї сторони та одного гострого кута, ми могли знайти інші сторони та кути. У кожному випадку нам фактично дали три частини інформації, оскільки ми вже знали, що один кут становить 90°. Для загального трикутника, який може мати або не мати прямий кут, нам знову знадобляться три частини інформації. Чотири випадки:

Випадок 1: Одна сторона і два кути
Випадок 2: Дві сторони і один протилежний кут
Випадок 3: Дві сторони і кут між ними
Випадок 4: Три сторони

Зауважте, що якби нам дали всі три кути, ми не могли однозначно визначити сторони; за подібністю нескінченна кількість трикутників мають однакові кути. У цьому розділі ми дізнаємося, як вирішити загальний трикутник у всіх чотирьох перерахованих вище випадках. Хоча описані методи будуть працювати для прямих трикутників, вони в основному використовуються для вирішення косих трикутників, тобто трикутників, які не мають прямого кута. Існує два типи косих трикутників: гострий трикутник має всі гострі кути, а тупий - один тупий кут. Як ми побачимо, випадки 1 і 2 можна вирішити за допомогою закону синусів, справа 3 може бути вирішена, використовуючи або закон косинусів, або закон дотичних, а справа 4 може бути вирішена за допомогою закону косинусів.

2.1: Закон Сінеса
Закон Синеса стверджує, що сторони трикутника пропорційні синусам їх протилежних кутів.
2.2: Закон косинусів
Ми зараз обговоримо, як вирішити трикутник, де відомі дві сторони і кут між ними. Ми будемо використовувати Закон Косинусів для вирішення цієї проблеми.
2.3: Закон дотичних
Закон дотичних є альтернативою Закону Косинусів для сценаріїв випадку 3 (дві сторони і включений кут). До закону дотичних відносяться рівняння Молвейда.
2.4: Площа трикутника
У елементарній геометрії ви дізналися, що площа трикутника становить половину основи на висоту. Тепер ми будемо використовувати це, в поєднанні з деякою тригонометрією, щоб отримати більше формул для площі, коли дані різні частини трикутника.
2.5: Обписані та вписані кола
Нагадаємо із Закону Синеса, що будь-який трикутник має загальне відношення сторін до синусів протилежних кутів. Це загальне співвідношення має геометричне значення: це діаметр (тобто подвоєний радіус) унікальної окружності, в яку можна вписати трикутник, званий описаною окружністю трикутника.
2.E: Загальні трикутники (вправи)
Це домашні вправи для супроводу Коррала «Елементарна тригонометрія» TextMap. Це текст з елементарної тригонометрії, призначений для учнів, які закінчили курси з алгебри та геометрії середньої школи. Хоча призначений для студентів коледжів, він також може бути використаний у середніх школах. Традиційні теми висвітлюються, але застосовується більш геометричний підхід, ніж зазвичай. Також обговорюються деякі чисельні методи (наприклад, секантний метод розв'язання тригонометричних рівнянь).

Мініатюри: Якщо $C$ гострий, то $A$ і $B$ також гострий. Оскільки $A \le C$ , уявіть, що $A$ знаходиться в стандартному положенні в $xy$ -координатної площині і що ми повертаємо кінцеву сторону $A$ проти годинникової стрілки до кінцевої сторони більшого кута $C$ . Якщо ми підбираємо точки $(x_{1},y_{1})$ і $(x_{2},y_{2})$ на кінцевих сторонам $A$ і $C$ , відповідно, так, щоб їх відстань до початку було однаковим числом $r$ , то ми бачимо з картинки, що $y_{1} \le y_{2}$ .