Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

23.5: Хімічний потенціал можна оцінити за функцією розділення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    26745

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Хімічний потенціал можна задати через функцію розділення. Внутрішню енергію можна визначити як:

    \[U=RT^2\left(\frac{\partial \ln Q}{\partial T}\right)_{n,V} \nonumber \]

    А ентропія може бути визначена як:

    \[S=RT\left(\frac{\partial \ln Q}{\partial T}\right)_{n,V} + R\ln Q \nonumber \]

    Ми знаємо, що енергія Гельмгольца це:

    \[A=U-TS \nonumber \]

    Використовуючи наші два рівняння вище, отримаємо:

    \[A=-RT\ln Q \nonumber \]

    Тепер давайте трохи змінимо передачі, щоб показати, як енергія Гельмгольца пов'язана з хімічним потенціалом. Сумарний диференціал для енергії Гельмгольца становить:

    \[dA = \left(\frac{\partial A}{\partial T}\right)_{n,V} + \left(\frac{\partial A}{\partial V}\right)_{n,T} + \left(\frac{\partial A}{\partial n}\right)_{V,T} \nonumber \]

    І фундаментальне рівняння таке:

    \[dA = -SdT-PdV+\left(\frac{\partial A}{\partial n}\right)_{V,T}dn \nonumber \]

    Використовуючи взаємозв'язок між енергією Гельмгольца і енергією Гіббса:

    \[G=A+PV \nonumber \]

    Отримуємо:

    \[\begin{split}dG &= dA+d(PV) \\ &= -SdT+VdP+\left(\frac{\partial A}{\partial n}\right)_{V,T}dn\end{split} \nonumber \]

    Ми знаємо, що зміна енергії Гіббса це:

    \[\begin{split}dG &= -SdT+VdP+\left(\frac{\partial G}{\partial n}\right)_{P,T}dn \\ &= -SdT+VdP+\mu dn \end{split} \nonumber \]

    Оглядаючи ці рівняння, ми бачимо, що:

    \[\mu = \left(\frac{\partial G}{\partial n}\right)_{P,T} = \left(\frac{\partial A}{\partial n}\right)_{V,T} \nonumber \]

    Це показує нам, що до тих пір, поки природні змінні для кожного термодинамічного потенціалу утримуються постійними, часткові похідні енергії Гіббса і енергії Гельмгольца по відношенню до кількості молей\(n\) дорівнюють хімічному потенціалу. Тепер ми можемо підключити наш вираз вище для енергії Гельмгольца з точки зору функції розділення:

    \[\mu = -RT\left(\frac{\partial \ln Q}{\partial n}\right)_{V,T} \nonumber \]

    Тепер у нас є хімічний потенціал, написаний з точки зору функції розділення,\(Q\).