7.2: Загальний диференціал

Якщо\(f\left(x,y\right)\) є безперервною функцією змінних\(x\) і\(y\), ми можемо думати\(f\left(x,y\right)\) як про поверхню в тривимірному просторі. \(f\left(x,y\right)\)- висота поверхні над\(xy\) -площиною\(\left(x,y\right)\) в точці в площині. Якщо розглядати точки\(\left(x_1,y_1\right)\) і\(\left(x_2,y_2\right)\) в\(xy\) -площині, то вертикальний поділ між відповідними точками на поверхні,\(f\left(x_1,y_1\right)\) і\(f\left(x_2,y_2\right)\), дорівнює

\[\Delta f=f\left(x_2,y_2\right)-f\left(x_1,y_1\right)\]

Ми можемо додати\(f\left(x_1,y_2\right)-f\left(x_1,y_2\right)\) до,\(\Delta f\) не змінюючи його значення. Тоді

\[\Delta f=\left[f\left(x_2,y_2\right)-f\left(x_1,y_2\right)\right]+\left[f\left(x_1,y_2\right)-f\left(x_1,y_1\right)\right]\]

Якщо розглядати невеликі зміни, такі, що\(x_2=x_1+\Delta x\) і\(y_2=y_1+\Delta y\), у нас є

\[\Delta f=\frac{\left[f\left(x_1+\Delta x,y_1+\Delta y_1\right)-f\left(x_1,y_1+\Delta y_1\right)\right]\Delta x}{\Delta x} +\frac{\left[f\left(x_1,y_1+\Delta y_1\right)-f\left(x_1,y_1\right)\right]\Delta y}{\Delta y}\]

\(df={\mathop{\mathrm{lim}}_{ \begin{array}{c} \Delta x\to 0 \\ \Delta y\to 0 \end{array} } \Delta f\ }\)Відпускаючи, у нас

\[\begin{align*} df &={\mathop{\mathrm{lim}}_{ \begin{array}{c} \Delta x\to 0 \\ \Delta y\to 0 \end{array} } \left\{\frac{\left[f\left(x_1+\Delta x,y_1+\Delta y_1\right)-f\left(x_1,y_1+\Delta y_1\right)\right]\Delta x}{\Delta x}\right\}\ } +\mathop{\mathrm{lim}}_{\Delta y\to 0}\left\{\frac{\left[f\left(x_1,y_1+\Delta y_1\right)-f\left(x_1,y_1\right)\right]\Delta y}{\Delta y}\right\} \\[4pt]&={\mathop{\mathrm{lim}}_{\Delta y\to 0} \left\{{\left(\frac{\partial f\left(x_1,y_1+\Delta y\right)}{\partial x}\right)}_ydx\right\}\ }+{\left(\frac{\partial f\left(x_1,y_1\right)}{\partial y}\right)}_xdy = {\left(\frac{\partial f\left(x_1,y_1\right)}{\partial x}\right)}_ydx+{\left(\frac{\partial f\left(x_1,y_1\right)}{\partial y}\right)}_xdy \end{align*}\]

\(df\)Викликаємо сумарний диференціал функції\(f\left(x,y\right)\):

\[df=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_ydx + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_xdy\]

де\(df\) - сума, на яку\(f\left(x,y\right)\)\(x\) змінюється при зміні на довільно малий приріст\(dx\), і\(y\) змінюється на довільно малий приріст,\(dy\). Використовуємо позначення

\[{\ \ \ \ f_x\left(x,y\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y\]

і

\[{\ \ \ \ f_y\left(x,y\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x\]

представляти часткові похідні більш компактно. У цьому позначенні,\(df=f_x\left(x,y\right)dx+\ f_y\left(x,y\right)dy\). Ми вказуємо часткову похідну по відношенню до\(x\) з\(y\) утримуваною константою при конкретному значенні\(y=y_0\) шляхом написання\(\ f_x\left(x,y_0\right)\).

Ми також можемо записати загальний диференціал\(\ f\left(x,y\right)\) як

\[df=M\left(x,y\right)dx+\ N\left(x,y\right)dy \label{total1}\]

в цьому випадку\(M\left(x,y\right)\) і\(N\left(x,y\right)\) є лише новими іменами для\({\left({\partial f}/{\partial x}\right)}_y\) і\({\left({\partial f}/{\partial y}\right)}_x\), відповідно. Щоб висловити той факт, що існує функція, така\(f\left(x,y\right)\), що\({M\left(x,y\right)=\left({\partial f}/{\partial x}\right)}_y\) і, ми говоримо\({N\left(x,y\right)=\left({\partial f}/{\partial y}\right)}_x\), що\(df\) є точним диференціалом.

Неточні диференціали

Важливо визнати, що диференціальний вираз в Equation\ ref {total1} може бути неточним. У наших зусиллах моделювати фізичні системи ми стикаємося з диференціальними виразами, які мають таку форму, але для яких немає функції\(\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\), такі, що\({M\left(x,y\right) = \left({\partial f}/{\partial x}\right)}_y\) і\({N\left(x,y\right) = \left({\partial f}/{\partial y}\right)}_x\). Викликаємо диференціальний вираз\(df\left(x,y\right)\), для якого немає відповідної функції\(f\left(x,y\right)\), неточний диференціал. Тепло і робота - важливі приклади. Ми розробимо диференціальні вирази,\(dq\) які описують кількість тепла та роботи\(dw\), обмінюються між системою та її оточенням. Ми виявимо, що ці диференціальні вирази не обов'язково точні. (Ми розробляємо приклади в розділі 7.17 до розділу 7.20.) Звідси випливає, що тепло і робота не є державними функціями.