7.1: Зміни у функції стану не залежать від шляху
- Page ID
- 21894
Ми можемо вказати рівноважний стан фізичної системи, надавши значення достатньої кількості вимірюваних властивостей системи. Ми називаємо будь-яке вимірюване властивість, яке може бути використано таким чином функцією стану або змінною стану. Якщо система зазнає низки змін, які повертають її до початкового стану, будь-яка функція стану повинна мати те саме значення в кінці, що і на початку. Взаємозв'язок між нашим визначенням фізичного стану та нашим визначенням функції стану є тавтологічним. Система може повернутися до початкового стану, лише якщо кожна змінна стану повернеться до початкового значення.
Очевидно, що зміна функції стану, коли система переходить з початкового стану\(I\), в якийсь інший стан\(II\), завжди повинна бути однаковою. Розглянемо функції держави\(X\),\(Y\),\(Z\), і\(W\). Припустимо\(Y\)\(Z\), що функції, і\(W\) досить вказати стан тієї чи іншої системи. Нехай їх значення в стані\(I\) be\(X_I\),\(Y_I\),\(Z_I\), і\(W_I\). Ми можемо висловити їх взаємозалежність, сказавши, що\(X_I\) є функцією інших державних функцій\(Y_I\)\(Z_I\), і\(W_I\):\(X_I=f\left(Y_I,\ Z_I,W_I\right)\). У\(II\) державі ці відносини стають\(X_{II}=f\left(Y_{II},\ Z_{II},W_{II}\right)\). різниця
\[X_{II}-X_I=f\left(Y_{II},\ Z_{II},W_{II}\right)-f\left(Y_I,\ Z_I,W_I\right)\]
залежить тільки від станів\(I\) і\(II\). Зокрема,\(X_{II}-X_I\) не залежить від значень\(Y\)\(Z\), і\(W\) в будь-яких проміжних станах, через які проходить система в міру переходу від стану\(I\) до стану\(II\). Ми говоримо, що зміна значення функції стану залежить тільки від початкового і кінцевого станів системи; зміна значення функції стану не залежить від шляху, по якому здійснюється зміна.
Ми також можемо розробити цей висновок більш явним аргументом про шлях. Припустимо, що система переходить від стану\(I\) до стану\(II\) за шляхом,\(A_{out}\) а потім повертається до стану\(I\) за шляхом\(A_{back}\), як показано на малюнку 1. \(X\)Дозволяти бути деякою державною функцією. Якщо зміна в тому,\(X\) як система проходить шлях\(A_{out}\) є\(X_{II}-X_I=\Delta X\left(A_{out}\right)\), і зміна в\(X\) міру проходження системи\(A_{back}\) є\(X_I-X_{II}=\Delta X\left(A_{back}\right)\), ми повинні мати\(\Delta X\left(A_{out}\right)+\Delta X\left(A_{back}\right)=0\), так що\[\Delta X\left(A_{out}\right)=-\Delta X\left(A_{back}\right)\]
Для деякого другого шляху, що\(B_{out}\) складається з наступних\(B_{back}\), те саме має бути істинним:
\[\Delta X\left(B_{out}\right)+\Delta X\left(B_{back}\right)=0\]і\[\Delta X\left(B_{out}\right)=-\Delta X\left(B_{back}\right)\]
Те ж саме справедливо і для будь-якого іншого шляху. Зокрема, в повинен бути вірним для шляху,\(A_{out}\) яким слідує\(B_{back}\), так що\(\Delta X\left(A_{out}\right)+\Delta X\left(B_{back}\right)=0\), а значить
\[\Delta X\left(A_{out}\right)=-\Delta X\left(B_{back}\right)\]
Але це означає, що
\[\Delta X\left(A_{out}\right)=\Delta X\left(B_{out}\right)\]
Оскільки шляхи\(A\) і\(B\) є довільними,\(X\) зміна переходу від стану\(I\) до стану\(II\) повинна мати однакове значення для будь-якого шляху.
Нотатки
\({}^{1}\)Оскільки температура води збільшується і процес повинен бути оборотним, ми повинні підтримувати температуру теплового резервуара трохи\(dT\) більше, ніж температура води протягом усього процесу. Ми можемо досягти цього, використовуючи кількість ідеального газу в якості теплового резервуара. Зворотно стискаючи ідеальний газ, ми можемо оборотно доставити необхідне тепло при збереженні необхідної температури. Розглянемо цю операцію далі в § 12-5.