Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.5: Оператори імпульсу

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    18676

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Одне із завдань, яке ми повинні вміти виконувати під час розробки квантового механічного представлення фізичної системи, - це заміна класичних змінних у математичних виразах відповідними квантово-механічними операторами. У попередньому розділі були визначені оператори для загальної енергії та кінетичної енергії. Потенційні енергетичні оператори будуть представлені в кожному конкретному випадку в наступних розділах. В інших параграфах ми зупинимося на операторі імпульсу.

    Оператори імпульсу тепер можна отримати від оператора кінетичної енергії. Оскільки класичним виразом для кінетичної енергії частинки, що рухається в одному вимірі, по осі х, є

    \[T_x = \frac {P^2_x}{2m} \label{}\]

    ми очікуємо, що

    \[\hat {T} _x = \frac {P^2_x}{2m} = - \frac {\hbar ^2}{2m} \frac {\partial ^2}{ \partial x^2} \label{}\]

    тому ми можемо визначити оператор для квадрата x-імпульсу як

    \[\hat {P ^2_x} = - \hbar ^2 \frac {\partial ^2}{\partial x^2} \label{}\]

    Оскільки\(\hat {P ^2_x}\), можна інтерпретувати як означає\(\hat {P} _x . \hat {P} _x\), існує дві можливості для\(\hat {P} _x\), а саме

    \[\hat {P} _x = i\hbar \frac {\partial}{\partial x}\]

    або

    \[ \hat {P} _x = -i\hbar \frac {\partial}{\partial x} \label{}\]

    де\(i = \sqrt {-1}\). Друга можливість - найкращий вибір, як пояснено нижче.

    Роблячи цей вибір, враховуйте\(e^{ikx}\) функцію. Ця функція є власною функцією обох можливих форм для оператора імпульсу. Цей факт може бути використаний для вибору, яку форму оператора імпульсу використовувати.

    Проблеми

    Вправа\(\PageIndex{11}\) Продемонструйте, що функція\(e^{ikx}\) є власною функцією будь-якого оператора імпульсу.

    План: Почніть з того\(\hat {P} _x \psi (x) = P_x \psi (x) \), де\(ψ (x) = e^{ikx}\).

    Керуйте\(ψ(x) = e^{ikx}\) з\(\pm i\hbar \frac {\partial}{\partial x}\), щоб показати, що\(P_x = \mp \hbar k\).

    Якому ви віддаєте перевагу,\(p_x = +ħk\) або\(p_x = -ħk\)?

    Якщо використовувати оператор імпульсу, який має знак -, ми отримаємо імпульс і хвильовий вектор, що вказує в тому ж напрямку\(p_x = +ħk\), що є кращим результатом, відповідним відношенню де Броля.

    Огляд векторів та скалярних продуктів може допомогти вам у виконанні наступних вправ.

    Вправа\(\PageIndex{12}\) Показати графічно, використовуючи одиничну векторну діаграму, що\(\vec {x} \cdot \vec {x} = 1 \text {and} \vec {x} \cdot \vec {y} = 0\).

    Вправа\(\PageIndex{13}\) Розглянемо частинку, що рухається в трьох вимірах. Сумарний імпульс, який є вектором, становить\(p = \vec {x} P_x + \vec {y} P_y + \vec {z} P_z\)

    де\(\vec {x}, \vec {y}, and \vec {z}\) - одиничні вектори, що вказують відповідно у напрямках x, y та z. Запишіть оператори імпульсу цієї частинки в напрямках x, y та z і покажіть, що оператор загального імпульсу\(-i \hbar \nabla = - i \hbar \left ( \vec {x} \frac {\partial}{\partial x} + \vec {y} \frac {\partial}{\partial y} + \vec {z} \frac {\partial}{\partial z} \right )\) є векторним оператором називається del (nabla). Показати, що скалярний\( \nabla \cdot \nabla\) добуток виробляє оператор Лапласа.

    Вправа\(\PageIndex{14}\) Після вправи показує\(\PageIndex{11}\), що відношення де Броля\(p = \frac {h}{λ}\) випливає з визначення оператора імпульсу та власної функції імпульсу для одновимірного простору.

    Вправа\(\PageIndex{15}\) Запишіть хвильову функцію для електрона, що рухається в z-напрямку з енергією 100 еВ. Форма хвильової функції є\(e^{ikz}\). Потрібно знайти значення для k. отримати імпульс електрона, оперуючи хвилевою функцією з оператором імпульсу.