6.3: Грати Браве

Last updated
Save as PDF

Page ID: 19837

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Кристалічні решітки можна класифікувати за їх поступальної і обертальної симетрії. У тривимірних кристалах ці операції симетрії дають 14 різних типів решіток, які називаються гратами Браве. На цих гратчастих діаграмах (показаних нижче) точки представляють собою точки решітки, які є місцями, де вся структура повторюється перекладом. Наприклад, в кубічній (ОЦК) структурі металу натрію, яка розглядається нижче, ми ставимо один атом в кутових точках решітки, а інший - в центрі одиничної осередку. У структурі NaCl, про яку йдеться в главі 8, ми розміщуємо одну одиницю формули NaCl на кожній точці решітки в гранічно-центрованій кубічній (fcc) решітці. Тобто один атом (Na або Cl) був би розміщений на точці решітки, а інший - на півдорозі між ними. Аналогічно, в кубічній алмазній структурі ми розміщуємо одну одиницю C ₂ навколо кожної точки решітки в решітці fcc.

Чотирнадцять решіток Браве потрапляють на сім кристалічних систем, які визначаються їх обертальною симетрією. У самій низькій системі симетрії (триклиник) відсутня ротаційна симетрія. Це призводить до одиничної комірки, в якій жодна з країв не обмежена рівною довжиною, а жоден з кутів не дорівнює 90º. У моноклінічній системі є одна дворазова вісь обертання (за умовністю, вісь b), яка обмежує два кути, щоб бути 90º. В орторомбічної системі є три взаємно перпендикулярні дворазові осі вздовж трьох одиничних напрямків клітин. Орторомбічні одиничні клітини мають три нерівні одиничні краї клітин, які взаємно перпендикулярні. Тетрагональні одиничні клітини мають чотириразову вісь обертання, яка обмежує всі кути бути 90º і робить осі a та b еквівалентними. Ромбоедрична система має трикратну вісь, яка обмежує рівні всі краї та кути одиничних комірок, а шестигранна система має шестикратну вісь, яка обмежує рівні розміри решітки a і b, а кут між ними - 120º. Кубічна система має трикратну вісь уздовж діагоналі тіла куба, а також дворазові осі вздовж трьох перпендикулярних одиничних напрямків осередків. У кубічній системі всі ребра одиничних комірок рівні, а кути між ними - 90º.

Поступальну симетрію решіток Браве (центрування решіток) класифікують наступним чином:

Примітив (P): точки решітки лише на кутах комірки (іноді їх називають простими)
По центру тіла (I): точки решітки на кутах комірки з однією додатковою точкою в центрі комірки
Face-Centered (F): точки решітки на кутах комірки з однією додатковою точкою в центрі кожної з граней комірки
По центру основи (A, B або C): точки решітки на кутах комірки з однією додатковою точкою в центрі кожної грані однієї пари паралельних граней комірки (іноді їх називають по центру кінця)

Не всі комбінації кристалічних систем і центрів решітки унікальні. Всього існує 7 × 6 = 42 комбінації, але можна показати, що кілька з них насправді еквівалентні один одному. Наприклад, моноклінна I решітка може бути описана моноклінної гратою С різним вибором кристалічних осей. Аналогічно, всі решітки, орієнтовані на A або B, можуть бути описані або C- або P-центруванням. Це зменшує кількість комбінацій до 14 звичайних грат Браве, показаних в таблиці нижче.

Коли чотирнадцять решіток Браве об'єднані з 32 кристалографічними точковими групами, ми отримуємо 230 космічних груп. Ці просторові групи описують усі комбінації операцій симетрії, які можуть існувати в одиничних комірках у трьох вимірах. Для двовимірних решіток існує лише 17 можливих плоских груп, які також відомі як групи шпалер.

Кришталева сім'я	Решіткова система	Шонфліє	14 Грати Браве
Кришталева сім'я	Решіткова система	Шонфліє	Примітивний	Базово-центрированная	Тіло в центрі	Обличччя по центру
Триклініка		C _i
Моноклінічний		С _2ч
Орторомбічний		Д _2ч
Тетрагональний		Д _{4 год}
шестикутна	ромбоедричний	D _3d
шестикутна	шестикутний	Д _{6 ч}
Кубічний		О _ч