6.2: Одиничні клітини та кристалічні структури

Last updated
Save as PDF

Page ID: 19836

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Кристали можна розглядати як повторювані візерунки, подібно до шпалер або плитки для ванної кімнати, але в трьох вимірах. Фундаментальна повторювана одиниця кристала називається одиничною коміркою. Це тривимірна форма, яку можна повторювати знову і знову одиничними перекладами, щоб заповнити простір (і залишити мінімальні зазори) у структурі. Деякі можливі одиничні комірки показані в шаблоні розкладки праворуч, разом зі стрілками, які вказують на вектори перекладу одиниць. У трьох вимірах гексагональні або ромбічні одиничні комірки цього візерунка будуть замінені тривимірними коробками, які будуть складатися разом, щоб заповнити весь простір. Як показано на малюнку, походження одиничної осередку довільне. Один і той же набір коробок заповнить весь простір незалежно від того, де ми визначимо походження решітки. Ми побачимо, що чисті метали зазвичай мають дуже прості кристалічні структури з кубічними або гексагональними одиничними клітинами Однак кристалічні структури сплавів можуть бути досить складними.

При розгляді кристалічних структур металів і сплавів недостатньо думати про кожен атом і сусідні з ним ліганди як про ізольовану систему. Натомість подумайте про весь металевий кристал як про мережу атомів, з'єднаних морем спільних валентних електронів. Електрони делокалізовані, оскільки їх недостатньо, щоб заповнити кожну «зв'язок» між атомами електронною парою. Наприклад, в кристалічних структурах s-блокових і p-блокових металів кожен атом має або 8, або 12 найближчих сусідів, але максимальна кількість електронів s + p дорівнює 8. Таким чином, недостатньо поставити два електрони між кожною парою атомів. Перехідні метали також можуть використовувати свої d-орбіталі в зв'язку, але знову ж таки ніколи не вистачає електронів, щоб повністю заповнити всі «зв'язки».

Три шестикутника, три діаманти та один прямокутник на вершині фіолетового та оранжевого трикутника. Дві червоні стрілки в одному напрямку, три зелені стрілки в одному напрямку, і дві сині стрілки в тому ж напрямку вказують на точки решітки.

Можливі одиничні осередки в періодичному малюнку плитки. Стрілки з'єднують поступально еквівалентні точки (точки решітки) в візерунку.

Атоми в металевій решітці розташовуються за певною схемою, яка може бути представлена у вигляді 3D-структури коробки, відомої як одинична комірка, яка повторюється по всьому металу.

Простий кубічний	Кубічний по центру тіла	Кубічний по центру обличчя	Шестикутна Закрити Упакований

1 атом/клітина	2 атоми/осередок	4 атоми/комірка	2 атоми/осередок

Атоми металів можуть бути наближені як сфери, і тому не є 100% ефективними в упаковці, так само, як стека гарматних ядер має деякі порожні місця між кульками. Різні одиничні клітини мають різну ефективність упаковки. Кількість атомів, яке входить в одиничну комірку, включає лише частки атомів всередині коробки. Атоми на кутах одиничної клітини розраховують як ¼ атома, атоми на грані вважають ½, атом в центрі вважається повним атомом. Використовуючи це, давайте обчислимо кількість атомів у простій кубічній одиничній клітині, кубічній (fcc) одиничній клітині з центром по обличчю та кубічній (bcc) одиничній клітині.

Простий кубічний:

8 кутових атомів × θ = 1 атом/клітина. Упаковка в цій структурі не є ефективною (52%), тому цей тип структури дуже рідкісний для металів.

Кубічна кубічна кубічна кубічна копія:

(8 кутових атомів × ¼) + (1 центральний атом × 1) = 2 атоми/комірка. Упаковка є більш ефективною (68%), а структура є загальною для лужних металів і ранніх перехідних металів. Такі сплави, як латунь (CuZn), також приймають ці структури.

Кубічний по центру обличчя, fcc (також називається кубічний закрити упакований, ccp):

(8 кутових атомів × ¼) + (6 торцевих атомів × ½) = 4 атоми/клітина. Ця структура, поряд зі своїм гексагональним родичем (hcp), має найбільш ефективну упаковку (74%). Багато металів приймають або структуру fcc або hcp.

Шестикутна Закрити Упакований, HCP:

Як і структура FCC, щільність упаковки hcp становить 74%.

Одинична клітина металу ОЦК містить два атоми.

Розрахунок фракції упаковки. Фракції упаковки кристалічних структур, показані вище, можна обчислити, діливши обсяг атомів в комірці на обсяг самої клітини. Обсяг атомів у клітинці дорівнює кількості атомів/комірки, що перевищує об'єм сфери, (4/3) πr ³. Обсяг кубічних осередків знаходять шляхом кубічної довжини сторони. Як приклад, розрахуємо ефективність упаковки простої кубічної одиничної комірки. Як ми бачили раніше в розділі, проста кубічна одинична клітина містить один атом. Довжина сторони простої кубічної одиничної осередку дорівнює 2r, так як центри кожного атома займають кути одиничної осередку.

\[\textrm{Packing efficiency} = \frac{(1 \: atom) \times (\frac{4}{3}) \pi r^{3}}{(2r)^{3}}= 0.523\]

Цей же метод може бути застосований до структур bcc і fcc.

гарматні ядра складені в піраміду. Основа являє собою п'ять на п'ять квадратів, потім чотири на чотири шар, три на три шари, два на два, і одне гарматне ядро зверху.

Кубічний стопку гарматних ядер, орієнтований на обличчя.