7.4: Ідеальне рівняння газу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 22789

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Результати навчання

Викладіть ідеальний закон газу та визначте змінні.
Використовуйте ідеальний закон газу для вирішення невідомого.
Викладіть комбінований закон про газ.
Спростити комбінований закон газу для будь-яких значень, які є постійними.
Використовуйте комбінований закон газу для вирішення невідомого значення.

Індивідуальні газові закони

Властивості газів, таких як тиск (P), об'єм (V), температура (T) та молі (n) порівняно легко виміряти. На відміну від рідин і твердих речовин, частинки (молекули або атоми) у зразку газової фази дуже далеко один від одного. В результаті їх поведінка набагато більш передбачувана, оскільки міжмолекулярні сили стають незначними для більшості зразків у газовій фазі навіть у широкому діапазоні умов. Наявність міжмолекулярних сил у рідких і твердих зразках ускладнює прогнозування їх поведінки.

Експерименти із зразками газової фази з часом показали зв'язок між парами змінних (P, V, T та n) та окремими газовими законами (рівняннями) показують кількісну залежність між цими змінними. Закон Авогадро говорить нам, що при постійних P і T обсяг газу прямо пропорційний кількості газу. Закон Бойла говорить, що обсяг обернено пропорційний тиску при постійних T і n. вказує на те, що обсяг прямо пропорційний температурі при постійних P і n.

Відео нижче показує ситуацію, коли 3 змінні, тиск, об'єм та кількість речовини (родимки) взаємопов'язані: всередині наших легенів.

Як видно на відео, коли рожевий куля на дні («діафрагма») тягнеться вниз, балон всередині розширюється. Це розширення викликає зниження тиску (Закон Бойла). Зниження тиску викликає перепад тиску, втягування повітря через солому, збільшення кількості повітря (молів). Отже, у ваших легенях об'єм, тиск та кількість повітря пов'язані. Але жоден з діючих законів не пояснює зв'язок між 2 змінними. Як це можна вирішити?

Закон про ідеальний газ

Ці три закони можуть бути застосовані одночасно, якщо ми пишемо (\(\propto\)означає «пропорційно»):

\[V\propto n\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{1}}{P}\text{ }\times \text{ }T\label{1}\]

або, вводячи константу пропорційності R,

\[V=R\text{ }\dfrac{nT}{P}\label{2}\]

Це відомо як ідеальний закон газу, який є результатом поєднання окремих законів газу. Рівняння\(\ref{2}\) застосовується до всіх газів при низькому тиску і високих температурах і є дуже хорошим наближенням майже за будь-яких умов. Значення R, константа газу, не залежить від виду газу, температури або тиску і має значення\(\frac{0.08206\;L\cdot atm}{mol\cdot K}\).

\(\ref{2}\)Рівняння зазвичай переставляють шляхом множення обох сторін на P, щоб воно читало

\[PV = nRT \label{4}\]

Це називається ідеальним рівнянням газу або законом ідеального газу. За допомогою ідеального рівняння газу ми можемо перетворити від обсягу газу до кількості речовини (за умови, що P і T відомі). Це дуже корисно, оскільки обсяг, тиск і температуру газу легше виміряти, ніж масу, і тому що знання молярної маси не потрібні.

Зверніть увагу, що при будь-яких розрахунках газового закону температура повинна бути в одиницях Кельвіна. Співвідношення між ^o С і К дорівнює K = °C + 273,15.

Приклад\(\PageIndex{1}\) : MOLES of Gas

Розрахуйте молі газу в зразку на 0,100 л при температурі 300 К і тиску 0,987 атм.

Рішення

\[PV=nRT\]
\[\left ( 0.987\; atm \right ) \left ( 0.100\; L\right )=n\left (\frac{0.08206\;L\cdot atm}{mol\cdot K} \right )\left (300 \;K\right )\]
\[n=0.00401\; mol\]

Приклад\(\PageIndex{2}\) : unit considerations

Зразок бензолу (С ₆ Н ₆) нагрівали до 100. °C в евакуйованій колбі, обсяг якої становив 247,2 мл, зразок бензолу випаровується. Коли бензол конденсувався до рідини, була виявлена його маса 0,616 м Яке було тиск в колбі?

Рішення

Задача дає значення температури, об'єму та маси зразка. Оскільки R має одиниці\ (\ left (\ frac {L\ cdot atm} {mol\ cdot K}\ right)), нам потрібно мати температуру в одиницях Кельвіна, обсяг в літрах і кількість проби в молі.

Температура:

К = °C + 273.15

К = 100. °C + 273.15

К = 373 КМ

Обсяг:\(247.2\;mL\left ( \frac{10^{-3}\; L}{1\;mL} \right )=0.2472\;L\)

Кроти:\(0.616\;g\left ( \frac{1\;mol}{78.11\; g} \right )=7.89 \times10^{-3}\;mol\)

Тепер, коли всі значення знаходяться в правильних одиницях, можна визначити значення для невідомого тиску.

\[PV=nRT\]
\[P \left ( 0.2472\; L\right )=\left (7.89\times10^{-3}\;mol \right )\left (\frac{0.08206\;L\cdot atm}{mol\cdot K} \right )\left (373 \;K\right )\]
\[P=.977 atm\]

Закон комбінованого газу

Хоча ідеальний закон газу корисний у вирішенні для одного невідомого, коли відомі інші значення, комбінований закон газу корисний при порівнянні початкової та кінцевої ситуацій. Ідеальний закон газу може бути перебудований для вирішення для R, газової константи.

\(R=\frac{PV}{nT}\)

За початкових умов,\(R=\frac{P_iV_i}{n_iT_i}\) і в кінцевих умовах,\(R=\frac{P_fV_f}{n_fT_f}\). Так як обидва вирази рівні R, вони рівні один одному.

\(\frac{P_iV_i}{n_iT_i}=\frac{P_fV_f}{n_fT_f}\)

Це рівняння зазвичай використовується, коли одна або кілька змінних є постійними. В результаті ця змінна скасовується з рівняння. Наприклад, рівняння 2x ² = 2y можна спростити до x ² = y, оскільки 2 знаходиться по обидва боки рівняння.

Що відбувається з комбінованим рівнянням закону газу, коли початковий і кінцевий тиск рівні (P _i = P _f)? Так як вони рівні, P _i може замінити P _f.

\(\frac{P_iV_i}{n_iT_i}=\frac{P_iV_f}{n_fT_f}\)

що спрощує

\(\frac{V_i}{n_iT_i}=\frac{V_f}{n_fT_f}\)

Якщо дві змінні постійні, рівняння можна спростити ще більше. Якщо температура і обсяг постійні, то T _i = T _f і V _i = V _f. Потім,

\(\frac{P_iV_i}{n_iT_i}=\frac{P_fV_i}{n_fT_i}\)

спрощує

\(\frac{P_i}{n_i}=\frac{P_f}{n_f}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Уявіть кулю 1855 л спочатку при 30° C і 745 мм рт.ст. Балон піднімається на висоту 23000 футів і тиск і температура на цій висоті становили 312 мм рт.ст. та −30° C відповідно. До якого обсягу балон повинен був би розширюватися, щоб утримувати однакову кількість водневого газу на більшій висоті?

Рішення:

Почніть з налаштування таблиці з двох наборів умов (зверніть увагу, що деякі значення потрібно буде перетворити в різні одиниці виміру):

Початковий	Фінал
\(P_i=745\;\rm mmHg=0.980\;atm\)	\(P_f=312\;\rm mmHg=0.411\;atm\)
\(T_i=\rm30\;^\circ C=303\;K\)	\(T_f=\rm-30\;^\circ C=243\;K\)
\(V_i=\rm1855\;L\)	\(V_f=?\)

Усуваючи постійне властивість (\(n\)) газу, комбінований закон газу спрощується до

\[\dfrac{P_iV_i}{T_i}=\dfrac{P_fV_f}{T_f}\]

Вирішивши рівняння для\(V_f\), отримаємо:

\[\frac{P_iV_i}{T_i}=\frac{P_fV_f}{T_f}\]

\[\frac{0.980\;atm\cdot1855\;L}{303\;K}=\frac{0.411\;atm \cdot V_f}{243\;K}\]

\[V_f=3.55\times10^3\;L\]