6.1: Електростатика

Електричні властивості води та водних розчинів

Ми хочемо зрозуміти енергетичні та електричні властивості та транспорт іонів та заряджених молекул у воді. Це сильні сили. Розглянемо приклад\(\ce{NaCl}\) дисоціації в енергії дисоціації газової фази\(\Delta H_{\text{ionization}} \approx 270\ kJ/mol\):

\ [K_ {\ text {іонізація}} (\ текст {газ}) =\ drac {\ лівий [\ mathrm {Na} ^ {+}\ праворуч]\ лівий [\ mathrm {Cl} ^ {-}\ праворуч]} {[\ mathrm {NaCl}]}\ приблизно 10^ {-89}
\ number\]

У розчині цей процес [\(\ce{NaCl} (aq) \to \text{Na}^+ (aq) + \text{Cl}^- (aq)\)] відбувається спонтанно; продукт розчинності для\(\ce{NaCl}\) є\(K_{\text{sp}} = [\text{Na}^+ (aq)][\text{Cl}^- (aq)] / [\ce{NaCl} (aq)] = 37\). Так само молекули води є ковалентно пов'язаними атомами водню і кисню, але ми знаємо, що внутрішні сили у воді можуть автоіонізувати молекулу води:

\[K_{\text {ionization }}(\text { gas })=\left[\mathrm{H}^{+}\right]\left[\mathrm{OH}^{-}\right] \approx 10^{-75} \text { and } K_{W}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right) = \left[\mathrm{H}^{+}\right] \left [\mathrm{OH}^{-} \right]=10^{-14} \nonumber\]

Ці величезні відмінності виникають у величезних колективних електростатичних силах, які присутні у воді. «Полярна сольватія» відноситься до способу, за допомогою якого диполі води стабілізують заряди.

Ці диполі є спрощенням перебудови структури води для розміщення та зниження енергії іона. Важливо пам'ятати, що вода - це поляризуемое середовище, в якому водневе з'єднання різко змінює електростатичні властивості.

Електростатика

Розглянемо ряд результатів класичної електростатики. Взаємодії між зарядженими об'єктами можна сформулювати за допомогою сили, електричного поля або електростатичного потенціалу. Потенціал є нашим основним розглядом при обговоренні вільних енергій в термодинаміці та гамільтоніана в статистичній механіці. Опишемо їх, розглянемо взаємодію між двома іонами\(A\) і\(B\), розділеними відстанню\(r_{AB}\), з зарядами\(q_A\) і\(q_B\).

Сила і робота

Закон Кулона дає силу, яка\(B\) діє на\(A\).

\[\boldsymbol{f}_{A B}=-\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon} \dfrac{q_{A} q_{B}}{r_{A B}^{2}} \hat{r}_{A B}\nonumber\]

\(\hat{r}_{AB}\)є одиничним вектором, що вказує від\(\mathbf{r}_B\) до\(\mathbf{r}_A\). Корисна ідентичність, яку слід пам'ятати для розрахунків, - це

\[\dfrac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}=230 p N /n m^{2}\nonumber\]

Для термодинамічних цілей корисно розрахувати оборотну роботу для процесу. Електромонтажні роботи походять від рухомих зарядів проти сили

\[d w=-\boldsymbol{f} \cdot d \mathbf{r} \nonumber\]

Поки q і ε не залежать від r, а процес є оборотним, то робота залежить тільки від r, і не залежить від шляху. Для переміщення частинки B з точки 1 при поділі r ₀ до точки 2 при поділі r потрібна наступна робота\ [
w_ {1\ rightarrow 2} =\ frac {1} {4\ pi\ varepsilon} q_ {A} q_ {B}\ left (\ frac {1} {r_ {2}}} -\ frac {1}})
\]

і якщо шлях повертається в початкове положення,\(w_{rev} = 0\).

Польова, Е

Електричне поле - векторна величина, яка описує дію зарядів в точці простору. Поле від зарядженої частинки\(B\) в\(A\) точці

\[\mathbf{E}_{A B}\left(\mathbf{r}_{A}\right)=-\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon} \frac{q_{B}}{r_{A B}^{2}} \hat{r}_{A B} \nonumber\]

\(\mathbf{E}_{AB}\)пов'язана з силою, яку частка\(B\) чинить на заряджену випробувальну частинку\(A\) із зарядом\(q_A\) через

\[\mathbf{f}_{A} = q_{A} \mathbf{E}_{A B}\left(\mathbf{r}_{A}\right)\nonumber\]

У той час як сила в точці а залежить від знака і величини випробувального заряду, поля немає. Більш загально, поле, яке чиниться множинними зарядженими частинками в точці,\(\mathbf{r}_A\) є векторною сумою поля з декількох зарядів (\(i\)):

\[\mathbf{E}\left(\mathbf{r}_{A}\right)=\sum_{i} \mathbf{E}_{A i}\left(\mathbf{r}_{A}\right)=-\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon} \sum_{i} \dfrac{q_{i}}{r_{A i}^{2}} \hat{r}_{A i}\nonumber\]

де\(r_{Ai} = \left |\mathbf{r}_A - \mathbf{r}_i \right|\) і одиничний вектор\(\hat{A}_{Ai} = (\mathbf{r}_A - \mathbf{r}_i)/r_{Ai}\). В якості альтернативи для континуальної щільності заряду\(\rho_q (\mathbf{r})\),

\[\mathbf{E}\left(\mathbf{r}_{A}\right)=-\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon} \int \rho_{q}(\mathbf{r}) \dfrac{\left(\mathbf{r}_{A}-\mathbf{r}\right)}{\left|\mathbf{r}_{A}-\mathbf{r}\right|^{3}} d \mathbf{r}\nonumber\]

де інтеграл знаходиться над об'ємом.

Електростатичний потенціал,\(\Phi\)

Для термодинаміки та статистичної механіки ми хочемо висловити електричні взаємодії з точки зору енергії або електростатичного потенціалу. Хоча сила і поле є векторними величинами, електростатичний потенціал\(\Phi\) - це скалярна величина, яка пов'язана з електричним полем через

\[\mathbf{E}=-\bar{\nabla} \Phi \nonumber\]

Він має одиниці енергії на одиницю заряду. Електростатичний потенціал в точці\(\mathbf{r}_A\), яка виникає в результаті точкового заряду в\(\mathbf{r}_B\),

\[\Phi \left(r_{A}\right)=\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon} \dfrac{q_{B}}{r_{A B}}\]

Електричний потенціал є адитивним у внеску від декількох зарядів:

\ [
\ Phi\ ліворуч (r_ {A}\ право) =\ dfrac {1} {4\ пі\ варепсилон}\ sum_ {i}\ dfrac {q_ {i}} {r_ {A i}}\ квад\ текст {або}\ квад\ Фі\ ліворуч (r_ {A}\ праворуч) =\ dfrac {1} {4\ пі\ vareпсілон}\ int\ dfrac {\ rho_ {q} (\ mathbf {r})} {\ ліворуч |\ mathbf {r} _ {A} -\ mathbf {r}\ right|} д\ mathbf {r}
\ nonnumber\]

Електростатична енергія частинки в\(A\) результаті потенціалу, обумовленого частинкою\(B\), становить

\ [
U_ {A B}\ ліворуч (r_ {A}\ праворуч) =q_ {A}\ Phi\ ліворуч (r_ {A}\ праворуч) =\ dfrac {1} {4\ pi\ varepsilon}\ dfrac {q_ {A} q_ {B}} {r_ {A B}}\ nonumber
\]

Зауважте\(U_{A B}=q_{A} \Phi\left(r_{A}\right)=q_{B} \Phi\left(r_{B}\right)=\tfrac{1}{2}\left(q_{A} \Phi\left(r_{A}\right)+q_{B} \Phi\left(r_{B}\right)\right)\), що, таким чином, ми можемо узагальнити це, щоб обчислити потенційну енергію, що зберігається в колекції декількох зарядів як

\ [
\ почати {вирівняний}
U &=\ dfrac {1} {2}\ sum_ {i} q_ {i}\ Phi\ ліворуч (r_ {A i}\ праворуч)\\
&=\ frac {1} {2}\ int\ Phi_ {A}\ вліво (\ mathbf {r} _ {A}\ праворуч)\ rho_ {q}\ лівий (\ mathbf {r} _ {A}\ праворуч) d\ mathbf {r} _ {A}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber
\]