7.4: Непараметричні тести на значущість
- Page ID
- 17813
Тести на значущість, описані в розділі 7.2, припускають, що ми можемо розглядати окремі зразки так, ніби вони взяті з популяції, яка зазвичай розподіляється. Хоча часто є розумним припущенням, бувають випадки, коли це погане припущення, наприклад, коли існує ймовірний викид, який ми не схильні видаляти. Тести непараметричної значущості дозволяють нам порівнювати набори даних, але не роблячи неявних припущень щодо розподілу наших даних. У цьому розділі ми розглянемо два непараметричні тести, тест рангу з підписом Вікоксона, який ми можемо використовувати замість парного t -тесту, і тест на суму рангу Вілкоксона, який ми можемо використовувати замість непарного t -тесту.
Вілкокссон підписав ранговий тест
Коли ми використовуємо парні дані, ми спочатку обчислюємо різницю, d i, між парними значеннями кожного зразка. Потім ми віднімаємо очікувану різницю від кожного d i, а потім сортуємо ці скориговані відмінності від найменшого до найбільшого, не враховуючи знак. Потім ми присвоюємо кожній різниці ранг (1, 2, 3,...) і додаємо назад його знак. Якщо два і більше записів мають однакову абсолютну різницю, то усереднюємо їх ряди. Нарешті, складаємо разом позитивні ряди і складаємо разом негативні ряди. Якщо різниці в двох наборах даних немає, то ми очікуємо, що ці дві суми повинні бути схожими за вартістю. Якщо менший з двох рангів менше критичного значення, то є підстави вважати, що два набори даних значно відрізняються один від одного; таблицю критичних значень див. Додаток 6.
Marecek et. al. розробили новий електрохімічний метод швидкого визначення концентрації антибіотика моненсін у чанах бродіння [Marecek, V.; Janchenova, H.; Brezina, M; Betti, M. Чим. Акт 1991, 244, 15—19]. Стандартним методом аналізу є тест на мікробіологічну активність, який є одночасно складним для завершення і трудомістким. Зразки збирали з ферментаційних чанів в різний час під час виробництва і аналізували на концентрацію моненсіна обома методами. Результати, у частках на тисячу (ppt), наведені в наступній таблиці. Це ті ж дані, що і в прикладі 7.2.6.
| Зразок | Мікробіологічні | електрохімічний |
|---|---|---|
| 1 | 129.5 | 132.3 |
| 2 | 89.6 | 91.0 |
| 3 | 76.6 | 73.6 |
| 4 | 52.2 | 58.2 |
| 5 | 110.8 | 104.2 |
| 6 | 50.4 | 49.9 |
| 7 | 72.4 | 82.1 |
| 8 | 141.4 | 154.1 |
| 9 | 75.0 | 73.4 |
| 10 | 34.1 | 38.1 |
| 11 | 60.3 | 60.1 |
Чи є суттєва різниця між методами при\(\alpha = 0.05\)?
Рішення
Визначення різниці між методами як
\[d_i = (X_\text{elect})_i - (X_\text{micro})_i \nonumber\]
обчислюємо різницю для кожного зразка.
| зразок | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| \(d_i\) | 2.8 | 1.4 | —3.0 | 6.0 | —6.6 | —0,5 | 9.7 | 12,7 | —1.6 | 4.0 | —0,2 |
Далі замовляємо індивідуальні відмінності від найменшого до найбільшого без урахування знака
| \(d_i\) | —0,2 | —0,5 | 1.4 | —1.6 | 2.8 | —3.0 | 4.0 | 6.0 | —6.6 | 9.7 | 12,7 |
Потім ми присвоюємо кожній окремій різниці ранг, зберігаючи знак; таким чином
| \(d_i\) | —1 | —2 | 3 | —4 | 5 | -6 | 7 | 8 | —9 | 10 | 11 |
Сума негативних рангів дорівнює 22, а сума позитивних - 44. Критичне значення для 11 проб і\(\alpha = 0.05\) дорівнює 10. Оскільки менший з наших двох рангів, 22, перевищує 10, немає жодних доказів того, що існує різниця між двома методами.
Тест на суму рангу Вілкоксона
Тест на суму рангу Вілкоксона (також відомий як тест Манна-Вітні U) використовується для порівняння двох непарних наборів даних. Значення в двох наборах даних сортуються від найменшого до найбільшого, зберігаючи ідентичність зразка. Після сортування кожному значенню присвоюється ранг (1, 2, 3,...), знову ж таки, зберігаючи особистість зразка. Якщо дві і більше записів мають однакову абсолютну різницю, то їх ряди усереднюються. Далі складаємо ряди для кожного зразка. Якщо різниці в двох наборах даних немає, то очікуємо, що позитивний і негативний ранги повинні бути схожими за значенням. Для обліку відмінностей в розмірах кожного зразка віднімаємо
\[ \frac{n_i(n_i + 1)}{2} \nonumber\]
від кожної суми,\(n_i\) де розмір вибірки. Якщо менший з двох рангів менше критичного значення, то є підстави вважати, що два набори даних значно відрізняються один від одного; див. Додаток 7 для таблиці критичних значень.
Щоб порівняти дві виробничі партії таблеток аспірину, ви збираєте зразки з кожної і аналізуєте їх, отримуючи наступні результати (в мг аспірину/таблетки).
Лот 1:256, 248, 245, 244, 248, 261
Лот 2:241, 258, 241, 256, 254
Чи є якісь докази того\(\alpha = 0.05\), що між цими двома наборами результатів існує значна різниця?
Рішення
По-перше, ми сортуємо результати від найменшого до найбільшого. Щоб розрізнити два зразки, ті з Лота 1 показані жирним шрифтом.
241, 241, 244, 245, 248, 248, 254, 256, 256, 258, 261
Далі ми призначаємо ранги, визначаючи ті зразки з Лота 1, лежачи в їх основі.
1.5, 1.5, 3, 4, 5.5, 5.5, 7, 8.5, 8.5, 10, 11
Сума рангів по лоту 1 дорівнює 37,5, а сума рангів по лоту 2 - 28,5. Після підлаштування під розмір кожного зразка ми маємо
\[37.5 - \frac{6(6 + 1)}{2} = 16.5 \nonumber\]
для Лота 1 і
\[28.5 - \frac{(5)(5+1)}{2} = 13.5 \nonumber\]
для Лота 2. З Додатка 7 критичне значення для\(\alpha = 0.05\) дорівнює 3. Оскільки менший з наших двох рангів, 13.5, перевищує 3, немає жодних доказів того, що існує різниця між двома методами.