Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

15.3: Проблеми випадкового вибору

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    98613

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    (Див. Вправа 3 з "Проблеми випадкових величин та спільних розподілів «) Штамп згортається. \(X\)Дозволяти кількість плям, які з'являються вгору. Монета перевертається\(X\) раз. \(Y\)Дозволяти кількість голів, які повертаються вгору. Визначте розподіл для\(Y\).

    Відповідь
    PX = [0 (1/6)*ones(1,6)];
PY = [0.5 0.5];
gend
Do not forget zero coefficients for missing powers
Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  PX
Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  PY
Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
May use jcalc or jcalcf on N, D, P
To view the distribution, call for gD.
disp(gD)             % Compare with P8-3
         0    0.1641
    1.0000    0.3125
    2.0000    0.2578
    3.0000    0.1667
    4.0000    0.0755
    5.0000    0.0208
    6.0000    0.0026

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    (Див. Вправа 4 з "Задачі на випадкові величини та спільні розподіли «) Як варіант вправи 15.3.1, припустимо, що пара кубиків згортається замість однієї матриці. Визначте розподіл для\(Y\).

    Відповідь
    PN = (1/36)*[0 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1];
PY = [0.5 0.5];
gend
Do not forget zero coefficients for missing powers
Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  PN
Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  PY
Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
May use jcalc or jcalcf on N, D, P
To view the distribution, call for gD.
disp(gD)
         0    0.0269
    1.0000    0.1025
    2.0000    0.1823
    3.0000    0.2158
    4.0000    0.1954
    5.0000    0.1400
    6.0000    0.0806
    7.0000    0.0375
    8.0000    0.0140     % (Continued next page)
    9.0000    0.0040
   10.0000    0.0008
   11.0000    0.0001
   12.0000    0.0000

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    (Див. Вправа 5 з "Задачі на випадкові величини та спільні розподіли «) Припустимо, що пара кубиків згорнута. \(X\)Дозволяти бути загальна кількість плям, які з'являються вгору. Скачайте пару додатково\(X\) раз. \(Y\)Дозволяти кількість сімок, які кидаються на\(X\) рулони. Визначте розподіл для\(Y\). Яка ймовірність трьох і більше сімок?

    Відповідь
    PX = (1/36)*[0 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1];
PY = [5/6 1/6];
gend
Do not forget zero coefficients for missing powers
Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  PX
Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  PY
Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
May use jcalc or jcalcf on N, D, P
To view the distribution, call for gD.
disp(gD)
         0    0.3072
    1.0000    0.3660
    2.0000    0.2152
    3.0000    0.0828
    4.0000    0.0230
    5.0000    0.0048
    6.0000    0.0008
    7.0000    0.0001
    8.0000    0.0000
    9.0000    0.0000
   10.0000    0.0000
   11.0000    0.0000
   12.0000    0.0000
   P = (D>=3)*PD'
P =  0.1116

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    (Див. Приклад 7 з "Умовне очікування, регресія «) Число\(X\) вибирається випадковим вибором з цілих чисел від 1 до 20 (скажімо, шляхом малювання картки з коробки). Пара кубиків кидається\(X\) раз. \(Y\)Дозволяти кількість «сірників» (тобто обидва, обидва двійки і т.д.). Визначте розподіл для\(Y\).

    Відповідь
    gN = (1/20)*[0 ones(1,20)];
gY = [5/6 1/6];
gend
Do not forget zero coefficients for missing powers
Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  gY
Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
May use jcalc or jcalcf on N, D, P
To view the distribution, call for gD.
 
disp(gD)
         0    0.2435
    1.0000    0.2661
    2.0000    0.2113
    3.0000    0.1419
    4.0000    0.0795
    5.0000    0.0370
    6.0000    0.0144
    7.0000    0.0047
    8.0000    0.0013
    9.0000    0.0003
   10.0000    0.0001
   11.0000    0.0000
   12.0000    0.0000
   13.0000    0.0000
   14.0000    0.0000
   15.0000    0.0000
   16.0000    0.0000
   17.0000    0.0000
   18.0000    0.0000
   19.0000    0.0000
   20.0000    0.0000

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    (Див. Вправа 20 з "Задачі на умовне очікування, регресія «) Число\(X\) вибирається випадковим чином з цілих чисел від 1 до 100. Пара кубиків кидається\(X\) раз. Нехай\(Y\) буде кількість сімок, кинутих на\(X\) кидки. Визначте розподіл для\(Y\). Визначте\(E[Y]\) і\(P(Y \le 20)\).

    Відповідь
    gN = 0.01*[0 ones(1,100)];
gY = [5/6 1/6];
gend
Do not forget zero coefficients for missing powers
Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  gY
Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
May use jcalc or jcalcf on N, D, P
To view the distribution, call for gD.
EY = dot(D,PD)
EY =   8.4167
P20 = (D<=20)*PD'
P20 =  0.9837

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    (Див. Вправа 21 з "Задачі на умовне очікування, регресія «) Число\(X\) вибирається випадковим чином з цілих чисел від 1 до 100. Кожен з двох людей малює\(X\) раз самостійно і випадковим чином число від 1 до 10. \(Y\)Дозволяти кількість матчів (тобто, обидва нічию, обидва нічию двійки і т.д.). Визначте розподіл для\(Y\). Визначте\(E[Y]\) і\(P(Y \le 10)\).

    Відповідь
    gN = 0.01*[0 ones(1,100)];
gY = [0.9 0.1];
gend
Do not forget zero coefficients for missing powers
Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  gY
Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
May use jcalc or jcalcf on N, D, P
To view the distribution, call for gD.
EY = dot(D,PD)
EY =  5.0500
P10 = (D<=10)*PD'
P10 = 0.9188

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Припустимо, що кількість записів у конкурсі є\(N\) ~ біноміальною (20, 0,4). Є чотири питання. Нехай\(Y_i\) буде кількість питань, на які правильно відповів\(i\) учасник конкурсу. Припустимо\(Y_i\), що є iid, із загальним розподілом

    \(Y =\)[1 2 3 4]\(PY =\) [0.2 0.4 0.3 0,1]

    \(D\)Дозволяти загальна кількість правильних відповідей. Визначте\(E[D]\)\(\text{Var} [D]\),\(P(15 \le D \le 25)\),, і\(P(10 \le D \le 30)\).

    Відповідь
    gN = ibinom(20,0.4,0:20);
gY = 0.1*[0 2 4 3 1];
gend
Do not forget zero coefficients for missing powers
Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  gY
Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
May use jcalc or jcalcf on N, D, P
To view the distribution, call for gD.
ED = dot(D,PD)
ED =  18.4000
VD = (D.^2)*PD' - ED^2
VD =  31.8720
P1 = ((15<=D)&(D<=25))*PD'
P1 =   0.6386
P2 = ((10<=D)&(D<=30))*PD'
P2 =   0.9290

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Наглядачі гри роблять аерофотозйомку чисельності оленів в парку. Кількість зрячих стад вважається випадковою величиною\(N\) ~ біноміальною (20, 0,5). Кожне стадо приймається розміром від 1 до 10, з ймовірностями

    Значення 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    Імовірність 0,05 0,10 0,15 0,20 0,15 0,10 0,10 0,05 0,05 0,05

    Нехай\(D\) буде число оленів, що спостерігаються під цією моделлю. Визначте\(P(D \le t)\) для\(t = 25, 50, 75, 100\) і\(P(D \ge 90)\).

    Відповідь
    gN = ibinom(20,0.5,0:20);
gY = 0.01*[0 5 10 15 20 15 10 10 5 5 5];
gend
Do not forget zero coefficients for missing powers
Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  gY
Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
May use jcalc or jcalcf on N, D, P
To view the distribution, call for gD.
k = [25 50 75 100];
P = zeros(1,4);
for i = 1:4
    P(i) = (D<=k(i))*PD';
end
disp(P)
    0.0310    0.5578    0.9725    0.9998

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Будинок постачання запаси сім популярних предметів. У таблиці нижче наведено значення позицій і ймовірність того, що кожен буде обраний клієнтом.

    Значення 12.50 25.00 30.50 40.00 42.50 50.00 60.00
    Імовірність 0,10 0,15 0,20 0,20 0,15 0,10 0,10

    Припустимо, покупки клієнтів є iid, а кількість клієнтів в день двономіальне (10,0,5). Визначте розподіл на загальний попит\(D\).

    1. Скільки існує різних можливих значень? Який максимально можливий загальний обсяг продажів?
    2. Визначте\(E[D]\) і\(P(D \le t)\) для\(t = 100, 150, 200, 250, 300\).
      Визначте\(P(100 < D \le 200)\).
    Відповідь
    gN = ibinom(10,0.5,0:10);
Y  = [12.5 25 30.5 40 42.5 50 60];
PY = 0.01*[10 15 20 20 15 10 10];
mgd
Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
Enter VALUES for Y  Y
Enter PROBABILITIES for Y  PY
Values are in row matrix D; probabilities are in PD.
To view the distribution, call for mD.
s = size(D)
s =    1   839
M = max(D)
M =    590
t = [100 150 200 250 300];
P = zeros(1,5);
for i = 1:5
    P(i) = (D<=t(i))*PD';
end
disp(P)
    0.1012    0.3184    0.6156    0.8497    0.9614
P1 = ((100<D)&(D<=200))*PD'
P1 =   0.5144

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Гра проводиться наступним чином:

    1. Колесо обертається, даючи одне з цілих чисел від 0 до 9 на однаково ймовірній основі.
    2. Одну плашку кидають кількість разів, вказане результатом обертання колеса. Кількість зроблених очок - це загальна кількість чисел, що вийшли на послідовність кидків штампу.
    3. Гравець платить шістнадцять доларів, щоб грати; долар повертається за кожну зроблену точку.

    \(Y\)Дозволяти представляти кількість очок, зроблених і\(X = Y - 16\) бути чистий виграш (можливо, негативний) гравця. Визначаємо максимальне значення

    \(X, E[X], \text{Var} [X], P(X > 0), P(X \ge 10), P(X \ge 16)\)

    Відповідь
    gn = 0.1*ones(1,10);
gy = (1/6)*[0 ones(1,6)];
[Y,PY] = gendf(gn,gy);
[X,PX] = csort(Y-16,PY);
M = max(X)
M =  38
EX = dot(X,PX)               % Check EX = En*Ey - 16 = 4.5*3.5
EX  =  -0.2500               % 4.5*3.5 - 16 = -0.25
VX = dot(X.^2,PX) - EX^2
VX =  114.1875
Ppos = (X>0)*PX'
Ppos =  0.4667
P10 = (X>=10)*PX'
P10 =   0.2147
P16 = (X>=16)*PX'
P16 =   0.0803

    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Марвін дзвонить чотирьом клієнтам. З ймовірністю\(p_1 = 0.6\) він робить продаж в кожному конкретному випадку. Джеральдін закликає п'ять клієнтів, з\(p_2 = 0.5\) ймовірністю продажу в кожному конкретному випадку. Клієнти, які купують, роблять це на основі iid та замовляють суму\(Y_i\) (у доларах) із загальним розподілом:

    \(Y =\)[200 220 240 260 280 300]\(PY =\) [0.10 0.15 0.25 0.25 0.15 0.10]

    Нехай\(D_1\) будуть загальні продажі для\(D_2\) Марвіна і загальний обсяг продажів для Джеральдін. Нехай\(D = D_1 + D_2\). Визначте розподіл і середнє значення і\(D_1\) дисперсію для\(D_2\), і\(D\). Визначте\(P(D_1 \ge D_2)\) і\(P(D \ge 1500)\)\(P(D \ge 1000)\), і\(P(D \ge 750)\).

    Відповідь
    gnM = ibinom(4,0.6,0:4);
gnG = ibinom(5,0.5,0:5);
Y = 200:20:300;
PY = 0.01*[10 15 25 25 15 10];
[D1,PD1] = mgdf(gnM,Y,PY);
[D2,PD2] = mgdf(gnG,Y,PY);
ED1 = dot(D1,PD1)
ED1 =  600.0000              % Check: ED1 = EnM*EY = 2.4*250
VD1 = dot(D1.^2,PD1) - ED1^2
VD1 =    6.1968e+04
ED2 = dot(D2,PD2)
ED2 =  625.0000              % Check: ED2 = EnG*EY = 2.5*250
VD2 = dot(D2.^2,PD2) - ED2^2
VD2 =    8.0175e+04
[D1,D2,t,u,PD1,PD2,P] = icalcf(D1,D2,PD1,PD2);
Use array opertions on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
[D,PD] = csort(t+u,P);
ED = dot(D,PD)
ED =   1.2250e+03
eD = ED1 + ED2              % Check: ED = ED1 + ED2
eD =   1.2250e+03           % (Continued next page)
 
VD = dot(D.^2,PD) - ED^2
VD =   1.4214e+05
vD = VD1 + VD2            % Check: VD = VD1 + VD2
vD =   1.4214e+05
P1g2 = total((t>u).*P)
P1g2 = 0.4612
k = [1500 1000 750];
PDk = zeros(1,3);
for i = 1:3
   PDk(i) = (D>=k(i))*PD';
end
disp(PDk)
    0.2556    0.7326    0.8872

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    Анкета надсилається двадцяти особам. Число, яке відповідає, є випадковим числом\(N\) ~ біноміальним (20, 0,7). Якщо кожен респондент має\(p = 0.8\) ймовірність віддати перевагу певній пропозиції, яка ймовірність десяти або більше сприятливих відповідей? З п'ятнадцяти або більше?

    Відповідь
    gN = ibinom(20,0.7,0:20);
gY = [0.2 0.8];
gend
Do not forget zero coefficients for missing powers
Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  gY
Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
May use jcalc or jcalcf on N, D, P
To view the distribution, call for gD.
P10 = (D>=10)*PD'
P10 =   0.7788
P15 = (D>=15)*PD'
P15 =   0.0660
pD = ibinom(20,0.7*0.8,0:20);  % Alternate: use D binomial (pp0)
D = 0:20;
p10 = (D>=10)*pD'
p10 =  0.7788
p15 = (D>=15)*pD'
p15 =  0.0660

    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    Випадкова\(N\) кількість студентів здають кваліфікаційний іспит. Оцінка 70 і більше заробляє пропуск. Припустимо\(N\) ~ біном (20, 0,3). Якщо у кожного учня є\(p = 0.7\) ймовірність заробити 70 і більше, яка ймовірність все пройде? Пройде десять і більше?

    Відповідь
    gN = ibinom(20,0.3,0:20);
gY = [0.3 0.7];
gend
Do not forget zero coefficients for missing powers
Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  gY
Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
May use jcalc or jcalcf on N, D, P
To view the distribution, call for gD.
Pall = (D==20)*PD'
Pall =  2.7822e-14
pall = (0.3*0.7)^20    % Alternate: use D binomial (pp0)
pall =  2.7822e-14
P10 = (D >= 10)*PD'
P10 = 0.0038

    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    Розсилається п'ятсот анкет. Імовірність відповіді дорівнює 0,6. Імовірність того, що відповідь буде сприятливою, становить 0,75. Яка ймовірність хоча б 200, 225, 250 сприятливих відповідей?

    Відповідь
    n = 500;
p = 0.6;
p0 = 0.75;
D = 0:500;
PD = ibinom(500,p*p0,D);
k = [200 225 250];
P = zeros(1,3);
for i = 1:3
   P(i) = (D>=k(i))*PD';
end
disp(P)
    0.9893    0.5173    0.0140

    Вправа\(\PageIndex{15}\)

    Припустимо, кількість японських відвідувачів Флориди за тиждень становить\(N1\) ~ Пуассона (500), а кількість німецьких відвідувачів -\(N2\) ~ Пуассона (300). Якщо 25 відсотків японців і 20 відсотків німців відвідують Disney World, який розподіл на загальну\(D\) кількість німецьких та японських відвідувачів парку? Визначте\(P(D \ge k)\) для\(k = 150, 155, \cdot\cdot\cdot, 245, 250\).

    Відповідь

    \(JD\)~ Пуассон (500*0,25 = 125);\(GD\) ~ Пуассон (300*0,20 = 60);\(D\) ~ Пуассон (185).

    k = 150:5:250;
PD = cpoisson(185,k);
disp([k;PD]')
  150.0000    0.9964
  155.0000    0.9892
  160.0000    0.9718
  165.0000    0.9362
  170.0000    0.8736
  175.0000    0.7785
  180.0000    0.6532  
  185.0000    0.5098
  190.0000    0.3663
  195.0000    0.2405
  200.0000    0.1435
  205.0000    0.0776
  210.0000    0.0379
  215.0000    0.0167
  220.0000    0.0067
  225.0000    0.0024
  230.0000    0.0008
  235.0000    0.0002
  240.0000    0.0001
  245.0000    0.0000
  250.0000    0.0000

    Вправа\(\PageIndex{16}\)

    Точка з'єднання в мережі має дві вхідні лінії і дві вихідні лінії. Кількість вхідних повідомлень\(N_1\) на лінії один за одну годину - Пуассона (50); на рядку 2 число\(N_2\) ~ Пуассона (45). На вхідному рядку 1 повідомлення мають\(P_{1a} = 0.33\) ймовірність виходу на вихідний рядок a та\(1 - p_{1a}\) виходу на рядок b. Повідомлення, що надходять у рядок 2, мають ймовірність\(p_{2a} = 0.47\) виходу на рядок a. За звичайними припущеннями незалежності, яким є розподіл вихідних повідомлень на рядку a? Які ймовірності щонайменше 30, 35, 40 вихідних повідомлень на лінії a?

    Відповідь
    m1a = 50*0.33;  m2a = 45*0.47; ma = m1a + m2a;
PNa = cpoisson(ma,[30 35 40])
PNa =   0.9119    0.6890    0.3722

    Вправа\(\PageIndex{17}\)

    Комп'ютерний магазин продає Macintosh, HP та різні інші сумісні з IBM персональні комп'ютери. Він має два основних джерела клієнтів:

    1. Студенти та викладачі з сусіднього університету
    2. Загальні клієнти для дому та бізнесу обчислень. Припустимо, такі припущення є розумними для щомісячних покупок.
    • Кількість покупців університету\(N1\) ~ Пуассона (30). Імовірності для Mac, HP, інших складають 0,4, 0,2, 0,4 відповідно.
    • Кількість неуніверситетських покупців\(N2\) ~ Пуассона (65). Відповідні ймовірності для Mac, HP, інших - 0,2, 0,3, 0,5.
    • Для кожної групи складові припущення попиту є розумними, і дві групи купують самостійно.

    Який розподіл за кількістю продажів Mac? Який розподіл для загальної кількості продажів Mac і Dell?

    Відповідь

    Продажі Mac Пуассона (30*0.4 + 65*0.2 = 25); продажі HP Пуассона (30*0.2 + 65*0.3 = 25,5); загальний обсяг продажів Mac плюс HP Пуассона (50,5).

    Вправа\(\PageIndex{18}\)

    Кількість\(N\) «хітів» в день на веб-сайті в Інтернеті - Пуассона (80). Припустимо, що ймовірність 0.10, що будь-який удар призводить до продажу, становить 0.30, що результат є запитом інформації, і 0.60, що запитувач просто переглядає, але не ідентифікує інтерес. Яка ймовірність 10 і більше продажів? Яка ймовірність того, що кількість продажів не менше половини кількості інформаційних запитів (використовуйте відповідні прості наближення)?

    Відповідь
    X = 0:30;
Y = 0:80;
PX = ipoisson(80*0.1,X);
PY = ipoisson(80*0.3,Y);
icalc:  X  Y  PX  PY
- - - - - - - - - - - -
PX10 = (X>=10)*PX'    % Approximate calculation
PX10 =  0.2834
pX10 = cpoisson(8,10)   % Direct calculation
pX10 =  0.2834
M = t>=0.5*u;
PM = total(M.*P)
PM =    0.1572

    Вправа\(\PageIndex{19}\)

    Кількість\(N\) замовлень, відправлених до відділу доставки будинку поштового замовлення, - Пуассона (700). Замовлення вимагають одного з семи видів коробок, які з витратами на упаковку мають розподіл

    Вартість (долари) 0,75 1,25 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00
    Імовірність 0,10 0,15 0,15 0,25 0,20 0,10 0,05

    Яка ймовірність того, що загальна вартість ящиків у розмірі 2.50 доларів не перевищує 475 доларів? Яка ймовірність того, що вартість коробок у розмірі 2.50 доларів перевищує вартість коробок у розмірі 3,00 доларів? Яка ймовірність того, що вартість коробки $2.50 не перевищує $50.00 більше, ніж вартість коробки $3.00? Пропозиція. Обрізати розподіли Пуассона приблизно в два рази більше середнього значення.

    Відповідь
    X = 0:400;
Y = 0:300;
PX = ipoisson(700*0.25,X);
PY = ipoisson(700*0.20,Y);
icalc
Enter row matrix of X-values  X
Enter row matrix of Y-values  Y
Enter X probabilities  PX
Enter Y probabilities  PY
 Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
P1 = (2.5*X<=475)*PX'
P1 =   0.8785
M = 2.5*t<=(3*u + 50);
PM = total(M.*P)
PM =   0.7500

    Вправа\(\PageIndex{20}\)

    Один автомобіль в 5 в певному співтоваристві - це Volvo. Якщо кількість машин, що проходять КПП за годину, - Пуассон (130), то яке очікуване число Volvos? Яка ймовірність хоча б 30 Вольво? Яка ймовірність того, що число Вольвоса становить від 16 до 40 (включно)?

    Відповідь
    P1 = cpoisson(130*0.2,30) = 0.2407
P2 = cpoisson(26,16) - cpoisson(26,41) = 0.9819

    Вправа\(\PageIndex{21}\)

    Сервісний центр на міждержавній магістралі відчуває клієнтів протягом години наступним чином:

    • Північний: Всього транспортних засобів: Пуассон (200). Двадцять відсотків - це вантажівки.
    • На південь: Всього транспортних засобів: Пуассон (180). Двадцять п'ять відсотків - це вантажівки.
    • Кожна вантажівка має одну або дві людини, з відповідними ймовірностями 0,7 і 0,3.
    • Кожен автомобіль має 1, 2, 3, 4 або 5 осіб, з ймовірностями 0,3, 0,3, 0,2, 0,1, 0,1 відповідно

    При звичайних припущеннях незалежності, нехай\(D\) буде кількість осіб, які підлягають обслуговуванню. Визначте\(E[D]\)\(\text{Var} [D]\), і генерує функцію\(g_D (s)\).

    Відповідь

    \(T\)~ Пуассон (200*0,2 = 180*0,25 = 85),\(P\) ~ Пуассон (200*0,8 + 180*0,75 = 295).

    a =   85
b = 200*0.8 + 180*0.75
b =  295
YT = [1 2];
PYT = [0.7 0.3];
EYT = dot(YT,PYT)
EYT =  1.3000
VYT = dot(YT.^2,PYT) - EYT^2
VYT =  0.2100
YP = 1:5;
PYP = 0.1*[3 3 2 1 1];
EYP = dot(YP,PYP)
EYP =  2.4000
VYP = dot(YP.^2,PYP) - EYP^2
VYP =   1.6400
EDT = 85*EYT
EDT =  110.5000  
EDP = 295*EYP
EDP =  708.0000
ED = EDT + EDP
ED =  818.5000
VT = 85*(VYT + EYT^2)
VT =  161.5000
VP = 295*(VYP + EYP^2)
VP =    2183
VD = VT + VP
VD =   2.2705e+03
 
NT = 0:180;                   % Possible alternative
gNT = ipoisson(85,NT);
gYT = 0.1*[0 7 3];
[DT,PDT] = gendf(gNT,gYT);
EDT = dot(DT,PDT)
EDT =  110.5000
VDT = dot(DT.^2,PDT) - EDT^2
VDT =  161.5000
NP = 0:500;
gNP = ipoisson(295,NP);
gYP = 0.1*[0 3 2 2 1 1];
[DP,PDP] = gendf(gNP,gYP);     %  Requires too much memory

    \(g_{DT} (s) = \text{exp} (85(0.7s + 0.3s^2 - 1))\)\(g_{DP} (s) = \text{exp} (295(0.1(3s + 3s^2 2s^3 + s^4 + s^5) - 1))\)

    \(g_D (s) = g_{DT} (s) g_{DP} (s)\)

    Вправа\(\PageIndex{22}\)

    \(N\)Кількість покупців в магазині в даний день - Пуассона (120). Клієнти розраховуються готівкою або картками MasterCard або Visa, з відповідними ймовірностями 0,25, 0,40, 0,35. Зробіть звичайні припущення про незалежність. Нехай\(N_1, N_2, N_3\) будуть цифри продажів готівкою, нарахування MasterCard, карткові збори Visa відповідно. Визначте\(P(N_1 \ge 30)\)\(P(N_2 \ge 60)\),\(P(N_3 \ge 50\),, і\(P(N_2 > N_3)\).

    Відповідь
    X = 0:120;
PX = ipoisson(120*0.4,X);
Y = 0:120;
PY = ipoisson(120*0.35,Y);
icalc
Enter row matrix of X values  X
Enter row matrix of Y values  Y
Enter X probabilities  PX
Enter Y probabilities  PY
Use array opertions on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
M = t > u;
PM = total(M.*P)
PM =    0.7190

    Вправа\(\PageIndex{23}\)

    Дисконтний роздрібний магазин має дві торгові точки в Х'юстоні, із загальним складом. Запити клієнтів телефонують на склад для самовивозу. Два елементи, a і b, представлені в спеціальному продажу. Кількість замовлень в день з магазину А\(N_A\) ~ Пуассона (30); з магазину Б кількість замовлень\(N_B\) ~ Пуассона (40).

    Для магазину А ймовірність замовлення на a дорівнює 0,3, а для b дорівнює 0,7.

    Для магазину В ймовірність замовлення на a дорівнює 0,4, а для b дорівнює 0,6. Яка ймовірність того, що загальне замовлення по товару b в день становить 50 і більше?

    Відповідь

    Р = уссон (30*0,7+40*0,6,50) = 0,2468

    Вправа\(\PageIndex{24}\)

    Кількість ставок на завдання - це випадкова величина\(N\) ~ біноміальна (7, 0,6). Ставки (в тисячах доларів) є iid з\(Y\) уніформою на [3, 5]. Яка ймовірність хоча б однієї ставки в розмірі 3500 доларів або менше? Зверніть увагу, що «без ставки» не є ставкою 0.

    Відповідь
    % First solution ---  FY(t) = 1 - gN[P(Y>t)]
P = 1-(0.4 + 0.6*0.75)^7
P  =    0.6794
% Second solution --- Positive number of satisfactory bids,
% i.e. the outcome is indicator for event E, with P(E) = 0.25
pN = ibinom(7,0.6,0:7);
gY = [3/4 1/4];         % Generator function for indicator
[D,PD] = gendf(pN,gY);  % D is number of successes
Pa = (D>0)*PD'          % D>0 means at least one successful bid
Pa =    0.6794

    Вправа\(\PageIndex{25}\)

    Кількість клієнтів протягом полудня на касі банку - це випадкове число\(N\) з розподілом

    \(N =\)1:10,\(PN =\) 0,01 * [5 7 10 11 12 13 12 11 10 9]

    Суми, які вони хочуть вилучити, можуть бути представлені класом iid, що має загальний розподіл\(Y\) ~ експоненціальний (0,01). Визначте ймовірності того, що максимальний висновок менше або дорівнює\(t\) for\(t = 100, 200, 300, 400, 500\).

    Відповідь

    Використовувати\(F_W (t) = g_N[P(Y \le T)]\)

    gN = 0.01*[0 5 7 10 11 12 13 12 11 10 9];
t = 100:100:500;
PY = 1 - exp(-0.01*t);
FW = polyval(fliplr(gN),PY)  % fliplr puts coeficients in
                             % descending order of powers
FW =    0.1330    0.4598    0.7490    0.8989    0.9615

    Вправа\(\PageIndex{26}\)

    Робота виставляється на торги. Досвід показує, що\(N\) кількість ставок - це випадкова величина, яка має значення від 0 до 8, з відповідними ймовірностями

    Значення 0 1 2 3 4 5 6 7 8
    Імовірність 0,05 0,10 0,15 0,20 0,20 0,10 0,10 0,07 0,03

    Ринок такий, що ставки (в тисячах доларів) бувають iid, однорідні [100, 200]. Визначте ймовірність хоча б однієї ставки $125 000 або менше.

    Відповідь

    Імовірність успішної ставки\(PY = (125 - 100)/100 = 0.25\)

    PY =0.25;
gN = 0.01*[5 10 15 20 20 10 10 7 3];
P = 1 - polyval(fliplr(gN),PY)
P =  0.9116

    Вправа\(\PageIndex{27}\)

    Пропонується до продажу нерухомість. Досвід показує, що\(N\) кількість ставок - це випадкова величина, яка має значення від 0 до 10, з відповідними ймовірностями

    Значення 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    Імовірність 0,05 0,15 0,15 0,20 0,10 0,10 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05

    Ринок такий, що ставки (в тисячах доларів) є iid, рівномірними [150, 200] Визначте ймовірність хоча б однієї ставки в $180,000 або більше.

    Відповідь

    Розглянемо послідовність\(N\) випробувань з ймовірністю\(p = (180 - 150)/50 = 0.6\).

    gN = 0.01*[5 15 15 20 10 10 5 5 5 5 5];
gY = [0.4 0.6];
[D,PD] = gendf(gN,gY);
P = (D>0)*PD'
P =   0.8493

    Вправа\(\PageIndex{28}\)

    Пропонується до продажу нерухомість. Досвід показує, що\(N\) кількість ставок - це випадкова величина, яка має значення від 0 до 8, з відповідними ймовірностями

    Число 0 1 2 3 4 5 6 7 8
    Імовірність 0,05 0,15 0,15 0,20 0,15 0,10 0,10 0,05 0,05

    Ринок такий, що ставки (в тисячах доларів) бувають iid симетричні трикутні на [150 250]. Визначте ймовірність щонайменше однієї ставки у розмірі 210 000 доларів США або більше.

    Відповідь
    gN = 0.01*[5 15 15 20 15 10 10 5 5];
PY = 0.5 + 0.5*(1 - (4/5)^2)
PY = 0.6800
>> PW = 1 - polyval(fliplr(gN),PY)
PW = 0.6536
%alternate
gY = [0.68 0.32];
[D,PD] = gendf(gN,gY);
P = (D>0)*PD'
P = 0.6536

    Вправа\(\PageIndex{29}\)

    Припустимо,\(N\) ~ біноміальні (10, 0,3) і\(Y_i\) є iid, рівномірні на [10, 20]. \(V\)Дозволяти бути мінімальним з\(N\) значень\(Y_i\). Визначте\(P(V > t)\) для цілих значень від 10 до 20.

    Відповідь
    gN = ibinom(10,0.3,0:10);
t = 10:20;
p = 0.1*(20 - t);
P = polyval(fliplr(gN),p) - 0.7^10
P =
  Columns 1 through 7
    0.9718    0.7092    0.5104    0.3612    0.2503    0.1686    0.1092
  Columns 8 through 11
    0.0664    0.0360    0.0147         0
Pa = (0.7 + 0.3*p).^10 - 0.7^10     % Alternate form of gN
Pa =
  Columns 1 through 7
    0.9718    0.7092    0.5104    0.3612    0.2503    0.1686    0.1092
  Columns 8 through 11
    0.0664    0.0360    0.0147         0

    Вправа\(\PageIndex{30}\)

    Припустимо, вчитель однаково ймовірно, що студенти 0, 1, 2, 3 або 4 приходять у робочий час у певний день. Якщо тривалість окремих відвідувань, у хвилинах, є iid експоненціальною (0.1), яка ймовірність того, що жоден візит не триватиме більше 20 хвилин.

    Відповідь
    gN = 0.2*ones(1,5);
p = 1 - exp(-2);
FW = polyval(fliplr(gN),p)
FW =    0.7635
gY = [p 1-p];               % Alternate
[D,PD] = gendf(gN,gY);
PW = (D==0)*PD'
PW =    0.7635

    Вправа\(\PageIndex{31}\)

    У системі управління встановлено дванадцять твердотільних модулів. Якщо модулі не несправні, вони мають практично необмежений термін служби. Однак, ймовірно,\(p = 0.05\) будь-яка одиниця може мати дефект, який призводить до експоненціальної тривалості життя (у годині) (0,0025). При звичайних припущеннях незалежності, яка ймовірність того, що агрегат не вийде з ладу через несправний модуль в перші 500 годин після установки?

    Відповідь
    p = 1 - exp(-0.0025*500);
FW = (0.95 + 0.05*p)^12
FW =   0.8410
gN = ibinom(12,0.05,0:12);
gY = [p 1-p];
[D,PD] = gendf(gN,gY);
PW = (D==0)*PD'
PW =   0.8410

    Вправа\(\PageIndex{32}\)

    \(N\)Кількість заявок на картину є двономіальною (10, 0,3). Суми ставок (у тисячах доларів)\(Y_i\) утворюють клас iid із загальною функцією щільності\(f_Y (t) =0.005 (37 - 2t), 2 \le t \le 10\). Яка ймовірність того, що максимальна сума ставки перевищує $5,000?

    Відповідь

    \(P(Y \le 5) = 0.005 \int_{2}^{5} (37 - 2t)\ dt = 0.45\)

    p = 0.45;
P = 1 - (0.7 + 0.3*p)^10
P =   0.8352
gN = ibinom(10,0.3,0:10);
gY = [p 1-p];
[D,PD] = gendf(gN,gY);  % D is number of "successes"
Pa = (D>0)*PD'
Pa =  0.8352

    Вправа\(\PageIndex{33}\)

    Комп'ютерний магазин пропонує кожному клієнту, який робить покупку на суму 500 доларів і більше, безкоштовний шанс на розіграш призу. Імовірність виграшу при нічиї становить 0,05. Припустимо, час, у годинами, між продажами, що кваліфікуються для розіграшу, є експоненціальним (4). За звичайними припущеннями незалежності, який очікуваний час між виграшною нічиєю? Яка ймовірність трьох і більше переможців за десятигодинний день? З п'яти і більше?

    Відповідь

    \(N_t\)~ Пуассон (\(\lambda t\)),\(N_{Dt}\) ~ Пуассон (\(\lambda pt\)),\(W_{Dt}\) експоненціальна (\(\lambda p\)).

    p = 0.05;
t = 10;
lambda = 4;
EW = 1/(lambda*p)
EW =    5
PND10 = cpoisson(lambda*p*t,[3 5])
PND10 =  0.3233    0.0527

    Вправа\(\PageIndex{34}\)

    Шумові імпульси надходять на телефонну лінію даних відповідно до процесу прибуття таким чином, що для кожного\(t > 0\) кількість\(N_t\) прибуття в часовому інтервалі\((0, t]\), в годині, є Пуассоном\((7t)\). Імпульс має «інтенсивність»\(Y_i\) таку,\(\{Y_i: 1 \le i\}\) що клас iid, з загальною функцією розподілу\(F_Y (u) = 1 - e^{-2u^2}\) для\(u \ge 0\).\(i\) Визначте ймовірність того, що через восьмигодинний день інтенсивність не перевищить двох.

    Відповідь

    \(N_8\)це Пуассон (7*8 = 56)\(g_N (s) = e^{56(s - 1)}\).

    t = 2;
FW2 = exp(56*(1 - exp(-t^2) - 1))
FW2 =   0.3586

    Вправа\(\PageIndex{35}\)

    Кількість\(N\) шумових сплесків на лінії передачі даних за період\((0, t]\) - Пуассон (\(\mu\)). Кількість помилок цифр, викликаних\(i\) вибухом\(Y_i\), дорівнює, з класом\(\{Y_i: 1 \le i\}\) iid,\(Y_i - 1\) ~ геометричним\((p)\). Система виправлення помилок здатна виправити п'ять і менше помилок в будь-якому сплеску. Припустимо\(\mu = 12\), і\(p = 0.35\). Яка ймовірність відсутності невиправленої помилки за дві години роботи?

    Відповідь

    \(F_W (k) = g_N [P(Y \le k)]P(Y \le k) - 1 - q^{k - 1}\ \ N_t\)~ Пуассон (12\(t\))

    q = 1 - 0.35;
k = 5;
t = 2;
mu = 12;
FW = exp(mu*t*(1 - q^(k-1) - 1))
FW =  0.0138