13.4: Проблеми методів перетворення

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Обчисліть безпосередньо генеруючу функцію\(g_X(s)\) для геометричного\((p)\) розподілу.

Відповідь

\(g_X (s) = E[s^2] = \sum_{k = 0}^{\infty} p_k s^k = p \sum_{k = 0}^{\infty} q^k s^k = \dfrac{p}{1 - qs}\)(геометрична серія)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Обчисліть безпосередньо генеруючу функцію\(g_X(s)\) для\((\mu)\) розподілу Пуассона.

Відповідь

\(g_X (s) = E[s^X] = \sum_{k = 0}^{\infty} p_k s^k = e^{-\mu} \sum_{k = 0}^{\infty} \dfrac{\mu^k s^k}{k!} = e^{-\mu} e^{\mu s} = e^{\mu (s - 1)}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Проекційна лампочка має життя (у годині), представлене\(X\) ~ експоненціальною (1/50). Агрегат буде замінений відразу після виходу з ладу або через 60 годин, залежно від того, що настане раніше. Визначте момент, що генерує функцію за час\(Y\) заміни.

Відповідь

\(Y = I_{[0, a]} (X) X + I_{(a, \infty)} (X) a\)\(e^{sY} = I_{[0, a)} (X) e^{sX} + I_{(a, \infty) (X) e^{as}\)

\(M_Y (s) = \int_{0}^{a} e^{st} \lambda e^{-\lambda t}\ dt + s^{sa} \int_{a}^{\infty} \lambda e^{-\lambda t}\ dt\)

\(= \dfrac{\lambda}{\lambda - s} [1 - e^{(\lambda - s) a}] + e^{-(\lambda - s) a}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Проста випадкова величина\(X\) має розподіл

\(X =\)[-3 -2 0 1 4]\(PX =\) [0.15 0.20 0.30 0.25 0.10]

a. визначити момент-генеруючу функцію для\(X\)
b\(M_X'' (0) = E[X^2]\).\(M_X' (0) = E[X]\)

Відповідь

\(M_X (s) = 0.15 e^{-3s} + 0.20 e^{-2s} + 0.30 + 0.25 e^s + 0.10 e^{4s}\)

\(M_X' (s) = -3 \cdot 0.15 e^{-3s} - 2 \cdot 0.20 e^{-2s} + 0 + 0.25 e^{s} + 4 \cdot 0.10 e^{4s}\)

\(M_X''(s) = (-3)^2 \cdot 0.15 e^{-3s} + (-2)^2 \cdot 0.20 e^{-2s} + 0 + 0.25 e^{s} + 4^2 \cdot 0.10 e^{4s}\)

Налаштування\(s = 0\) і використання\(e^0 = 1\) дають бажані результати.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Використовуйте функцію генерації моменту для отримання дисперсій для наступних розподілів

Експоненціальна\((\lambda)\) гамма (\(\alpha, \lambda\)) Нормальний (\(\mu, \sigma^2\))

Відповідь

a. експоненціальна:

\(M_X(s) = \dfrac{\lambda}{\lambda - s}\)\(M_X'(s) = \dfrac{\lambda}{(\lambda - s)^2}\)\(M_X''(s) = \dfrac{2\lambda}{(\lambda - s)^3}\)

\(E[X] = \dfrac{\lambda}{\lambda^2} = \dfrac{1}{\lambda}\)\(E[X^2] = \dfrac{2\lambda}{\lambda^3} = \dfrac{2}{\lambda^2}\)\(\text{Var}[X] = \dfrac{2}{\lambda^2} - (\dfrac{1}{\lambda})^2= \dfrac{1}{\lambda^2}\)

б Гамма (\(\alpha, \lambda\)):

\(M_X (s) = (\dfrac{\lambda}{\lambda - s})^{\alpha}\)\(M_X' (s) = \alpha (\dfrac{\lambda}{\lambda - s})^{\alpha - 1}\)\(\dfrac{\lambda}{(\lambda - s)^2} = \alpha (\dfrac{\lambda}{\lambda - s})^{\alpha} \dfrac{1}{\lambda - s}\)

\(M_X'' (s) = \alpha^2 (\dfrac{\lambda}{\lambda - s})^{\alpha}\dfrac{1}{\lambda - s} \dfrac{1}{\lambda - s} + \alpha (\dfrac{\lambda}{\lambda - s})^{\alpha} \dfrac{1}{(\lambda - s)^2}\)

\(E[X] =\dfrac{\alpha}{\lambda}\)\(E[X^2] =\dfrac{\alpha^2 + \alpha}{\lambda^2}\)\(\text{Var} [X] = \dfrac{\alpha}{\lambda^2}\)

c Нормальний (\(\mu, \sigma\)):

\(M_X (s) = \text{exp} (\dfrac{\sigma^2 s^2}{2} + \mu s)\)\(M_X'(s) = M_X (s) \cdot (\sigma^2 s + \mu)\)

\(M_X''(s) = M_X (s) \cdot (\sigma^2 s + \mu)^2 + M_X (s) \sigma^2\)

\(E[X] = \mu\)\(E[X^2] = \mu^2 + \sigma^2\)\(\text{Var} [X] = \sigma^2\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Пара\(\{X, Y\}\) iid із загальною функцією генерування моменту\(\dfrac{\lambda^3}{(\lambda - s)^3}\). Визначте момент генеруючої функції для\(Z = 2X - 4Y + 3\).

Відповідь

\(M_Z(s) = e^{3s} (\dfrac{\lambda}{\lambda - 2s})^3 (\dfrac{\lambda}{\lambda + 4s})^3\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Пара\(\{X, Y\}\) iid із загальною функцією генерування моменту\(M_X (s) = (0.6 + 0.4e^s)\). Визначте момент генеруючої функції для\(Z = 5X + 2Y\).

Відповідь

\ (M_Z (s) = (0.6 + 0.4e^ {5s}) (0,6 + 0.4e^ {2s})

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Використовувати моментогенеруючу функцію для симетричного трикутного розподілу на\((-c, c)\) як похідне в розділі «Три основні перетворення».

1. Отримати вираз для симетричного трикутного розподілу на\((a, b)\) для будь-якого\(a < b\).
2. Скористайтеся результатом частини (a), щоб показати, що сума двох незалежних випадкових величин, рівномірних на,\((a, b)\) має симетричний трикутний розподіл на\((2a, 2b)\).

Відповідь

Нехай\(m = (a + b)/2\) і\(c = (b - a)/2\). Якщо\(Y\) ~ симетричний трикутний на\((-c, c)\),\(X = Y + m\) то симетричний трикутний на\((m - c, m + c) = (a, b)\) і

\(M_X (s) = e^{ms} M_Y (s) = \dfrac{e^{cs} + e^{-cs} - 2}{c^2s^2} e^{ms} = \dfrac{e^{(m + c)s} + e^{(m - c)s} - 2e^{ms}}{c^2s^2} = \dfrac{e^{hs} + e^{as} - 2e^{\dfrac{a+b}{2}s}}{(\dfrac{b - a}{2})^2s^2}\)

\(M_{X + Y} (s) = [\dfrac{e^{sb} - e^{sa}}{s(b - a)}]^2 = \dfrac{e^{s2b}+ e^{s2a} - 2e^{s(b + a)}}{s^2 (b - a)^2}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Випадкова величина\(X\) має функцію генерування моменту\(\dfrac{p^2}{(1 - qe^s)^2}\).

a. використовувати похідні для визначення\(E[X]\) і\(\text{Var} [X]\).

b. розпізнати розподіл з форми\(E[X]\) і порівняти і\(\text{Var} [X]\) з результатом частини (а).

Відповідь

\([p^2 (1 - qe^s)^{-2}]' = \dfrac{2p^2qe^s}{(1 - qe^s)^3}\)так що\(E[X] = 2q/p\)

\([p^2 (1 - qe^s)^{-2}]'' = \dfrac{6p^2 q^2 e^s}{(1 - qe^s)^4} + \dfrac{2p^2qe^s}{(1 - qe^s)^3}\)так що\(E[X^2] = \dfrac{6q^2}{p^2} + \dfrac{2q}{p}\)

\(\text{Var} [X] = \dfrac{2q^2}{p^2} + \dfrac{2q}{p} = \dfrac{2(q^2 + pq)}{p^2} = \dfrac{2q}{p^2}\)

\(X\)~ негативний біном\((2, p)\), який має\(E[X] = 2q/p\) і\(\text{Var} [X] = 2q/p^2\).

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Пара\(\{X, Y\}\) незалежна. \(X\)~ Пуассон (4) і\(Y\) ~ геометричний (0, 3). Визначте генеруючу функцію\(g_Z\) для\(Z = 3X + 2Y\).

Відповідь

\(g_Z (s) = g_X (s^3) g_Y (s^2) = e^{4(s^3-1)} \cdot \dfrac{0.3}{1 - qs^2}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Випадкова величина\(X\) має функцію генерування моменту

\(M_X (s) = \dfrac{1}{1 - 3s} \cdot \text{exp} (16s^2/2 + 3s)\)

Розпізнаючи форми і використовуючи правила комбінацій, визначають\(E[X]\) і\(\text{Var} [X]\).

Відповідь

\(X = X_1 + X_2\)з\(X_1\) ~ експоненціальною (1/3)\(X_2\) ~\(N\) (3, 16)

\(E[X] = 3 + 3 = 6\)\(\text{Var} [X] = 9 + 16 = 25\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Випадкова величина\(X\) має функцію генерування моменту

\(M_X (s) = \dfrac{\text{exp} (3(e^s - 1))}{1 - 5s} \cdot \text{exp} (16s^2/2 + 3s)\)

Розпізнаючи форми і використовуючи правила комбінацій, визначають\(E[X]\) і\(\text{Var} [X]\).

Відповідь

\(X = X_1 + X_2 + X_3\), з\(X_1\) ~ Пуассона (3),\(X_2\) ~ експоненціальна (1/5),\(X_3\0 ~ \(N\) (3, 16)

\(E[X] = 3 + 5 + 3 = 11\)\(\text{Var} [X] = 3 + 25 + 16 = 44\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Припустимо, клас\(\{A, B, C\}\) подій незалежний, з відповідними ймовірностями 0,3, 0,5, 0,2. Розглянемо

\(X = -3I_A + 2I_B + 4I_C\)

а Визначити моментогенеруючі функції та використати властивості моментогенеруючих функцій для визначення моментогенеруючої функції для\(X\).
б Використовуйте функцію генерації моменту для визначення розподілу для\(X\).
c Використовуйте канонічні для визначення розподілу. Порівняйте з результатом (b).
d. використовувати розподіли для окремих термінів; визначити розподіл на суму з mgsum3. Порівняйте з результатом (b).

Відповідь

\(M_X (s) = (0.7 + 0.3 e^{-3s})(0.5 + 0.5 e^{2s}) (0.8 + 0.2 e^{4s}) =\)

\(0.12 e^{-3s} + 0.12 e^{-s} + 0.28 + 0.03 e^{s} + 0.28 e^{2s} + 0.03 e^{3s} + 0.07 e^{4s} + 0.07 e^{6s}\)

Розподіл є

\(X = \)[-3 -1 0 1 2 3 4 6]\(PX =\) [0.12 0.12 0.28 0.03 0,28 0.03 0.07]

c = [-3 2 4 0];
P = 0.1*[3 5 2];
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  minprob(P)
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
P1 = [0.7 0.3];
P2 = [0.5 0.5];
P3 = [0.8 0.2];
X1 = [0 -3];
X2 = [0 2];
X3 = [0 4];
[x,px] = mgsum3(X1,X2,X3,P1,P2,P3);
disp([X;PX;x;px]')
   -3.0000    0.1200   -3.0000    0.1200
   -1.0000    0.1200   -1.0000    0.1200
         0    0.2800         0    0.2800
    1.0000    0.0300    1.0000    0.0300
    2.0000    0.2800    2.0000    0.2800
    3.0000    0.0300    3.0000    0.0300
    4.0000    0.0700    4.0000    0.0700
    6.0000    0.0700    6.0000    0.0700 

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Припустимо, пара\(\{X, Y\}\) незалежна, з обома\(X\) і\(Y\) біноміальними. Використовуйте генеруючі функції, щоб показати, за якої умови, якщо така\(X + Y\) є, є біноміальною.

Відповідь

Біноміальні, якщо обидва мають однакові\(p\), як показано нижче.

\(g_{X + Y} (s) = (q_1 + p_1 s)^n (q_2 + p_2s)^m = (q + ps)^{n + m}\)іфф\(p_1 = p_2\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Припустимо, пара\(\{X, Y\}\) незалежна, з обома\(X\) і\(Y\) Пуассоном.

a Використовуйте генеруючі функції, щоб показати, за\(X + Y\) якої умови Пуассона.
б А як щодо\(X - Y\)? Обґрунтуйте свою відповідь.

Відповідь

Завжди Пуассона, як показує аргумент нижче.

\(g_{X + Y} (s) = e^{\mu(s - 1)} e^{v(s - 1)} = e^{(\mu + v) (s - 1)}\)

Однак\(Y\) ~\(X\) може мати негативні значення.

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Припустимо, пара\(\{X, Y\}\) незалежна,\(Y\) невід'ємна цілозначна,\(X\) є Пуассоном і\(X + Y\) є Пуассоном. Використовуйте генеруючі функції, щоб показати, що\(Y\) це Пуассона.

Відповідь

\(E[X+Y] = \mu + v\), де\(v = E[Y] > 0\),\(g_X (s) = e^{\mu(s - 1)}\) і\(g_{X + Y} (s) = g_X (s) g_Y (s) = e^{(\mu + s) (s - 1)\). Розподіл на\(g_X (s)\) дає\(g_Y (s) = e^{v(s - 1)}\).

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Припустимо\(\{X, Y\}\), пара iid, біноміальна (6, 0,51). За підсумками виконання вправи 13.4.14

\(X + Y\)є біноміальним. Використовуйте mgsum для отримання розподілу для\(Z = 2X + 4Y\). Чи\(Z\) має біноміальний розподіл? Чи є результат дивовижним? Вивчіть перші кілька можливих значень для\(Z\). Напишіть генеруючу функцію for\(Z\); чи має вона форму для біноміального розподілу?

Відповідь

x  = 0:6;
px = ibinom(6,0.51,x);
[Z,PZ] = mgsum(2*x,4*x,px,px);
disp([Z(1:5);PZ(1:5)]')
         0    0.0002       % Cannot be binomial, since odd values missing
    2.0000    0.0012
    4.0000    0.0043
    6.0000    0.0118
    8.0000    0.0259
    - - - - - - - -

\(g_X (s) = g_Y (s) = (0.49 + 0.51s)^6\)\(g_Z (s) = (0.49 + 0.51s^2)^6 (0.49 + 0.51s^4)^6\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Припустимо, пара\(\{X, Y\}\) незалежна, з\(X\) ~ біноміальним (5, 0,33) і\(Y\) ~ біноміальним (7, 0,47).

Нехай\(G = g(X) = 3X^2 - 2X\) і\(H = h(Y) = 2Y^2 + Y + 3\).

a Використовуйте mgsum, щоб отримати розподіл для\(G + H\).
b Використовуйте icalc та csort для отримання розподілу\(G + H\) та порівняння з результатом частини (a).

Відповідь

X = 0:5;
Y = 0:7;
PX = ibinom(5,0.33,X);
PY = ibinom(7,0.47,Y);
G = 3*X.^2 - 2*X;
H = 2*Y.^2 + Y + 3;
[Z,PZ] = mgsum(G,H,PX,PY);
 
 
icalc
Enter row matrix of X-values  X
Enter row matrix of Y-values  Y
Enter X probabilities  PX
Enter Y probabilities  PY
 Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
M = 3*t.^2 - 2*t + 2*u.^2 + u + 3;
[z,pz] = csort(M,P);
e = max(abs(pz - PZ))  % Comparison of p values
e =  0

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Припустимо, пара\(\{X, Y\}\) незалежна, з\(X\) ~ біноміальним (8, 0,39) і\(Y\) ~ рівномірним на {-1.3, -0.5, 1.3, 2.2, 3.5}. Нехай

\(U = 3X^2 - 2X + 1\)і\(V = Y^3 + 2Y - 3\)

a Використовуйте mgsum для отримання розподілу для\(U + V\).
b Використовуйте icalc та csort для отримання розподілу\(U + V\) та порівняння з результатом частини (a).

Відповідь

X = 0:8;
Y = [-1.3 -0.5 1.3 2.2 3.5];
PX = ibinom(8,0.39,X);
PY = (1/5)*ones(1,5);
U  = 3*X.^2 - 2*X + 1;
V  = Y.^3 + 2*Y - 3;
[Z,PZ] = mgsum(U,V,PX,PY);
icalc
Enter row matrix of X-values  X
Enter row matrix of Y-values  Y
Enter X probabilities  PX
Enter Y probabilities  PY
 Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
M = 3*t.^2 - 2*t + 1 + u.^3 + 2*u - 3;
[z,pz] = csort(M,P);
e = max(abs(pz - PZ))
e = 0

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Якщо\(X\) є невід'ємною цілозначною випадковою величиною, виражайте генеруючу функцію як степеневий ряд.

а. показати, що\(k\) похідна t\(s = 1\) є

\(g_X^{(k)} (1) = E[X(X - 1)(X - 2) \cdot \cdot \cdot (X - k + 1)]\)

б Скористайтеся цим, щоб показати\(\text{Var} [X] = g_X''(1) + g_X'(1) - [g_X'(1)]^2\).

Відповідь

Оскільки силові ряди можуть бути диференційовані термін за терміном

\(g_X^{(n)} (s) = \sum_{k = 0}^{\infty} k (k - 1) \cdot (k - n + 1) p_k s^{k - n}\)щоб

\(g_X^{(n)} (1) = \sum_{k = 0}^{\infty} k(k - 1) \cdot (k - n + 1) p_k = E[X(X - 1) \cdot\cdot\cdot (X - n + 1)]\)

\(\text{Var} [X] = E[X^2] - E^2[X] = E[X(X - 1)] + E[X] - E^2[X] = g_X''(1) + g_X' (1) - [g_X'(1)]^2\)

Вправа\(\PageIndex{21}\)

\(M_X (\cdot)\)Дозволяти бути момент генеруючої функції для\(X\).

а Показати, що\(\text{Var}[X]\) є другою похідною\(e^{-s\mu} M_X(s)\) оцінюється в\(s = 0\).
б Використовуйте цей факт, щоб показати, що\(X\) ~\(N(\mu, \sigma^2)\), то\(\text{Var} [X] = \sigma^2\).

Відповідь

\(f(s) = e^{-s \mu} M_X (s)\)\(f''(s) = e^{-s\mu} [-\mu M_X' (s) + \mu^2 M_X (s) + M_X''(s) - \mu M_X'(s)]\)

Установка\(s = 0\) і використання результату на моментах дає

\(f''(0) = -\mu^2 + \mu^2 + E[X^2] - \mu^2 = \text{Var} [X]\)

Вправа\(\PageIndex{22}\)

\(M_{M_m} (s)\)Використовувати похідні для отримання середнього та дисперсійного розподілу негативного біноміального (\(m, p\)).

Відповідь

Для спрощення написання використовуйте\(f(s)\) для\(M_X (S)\).

\(f(s) = \dfrac{p^m}{(1 - qe^s)^m}\)\(f'(s) = \dfrac{mp^mqe^s}{(1 - qe^s)^{m + 1}}\)\(f''(s) = \dfrac{mp^m qe^s}{1 - qe^s)^{m + 1}} + \dfrac{m(m+1) p^m q^2 e^{2s}}{1 - qe^s)^{m + 2}}\)

\(E[X] = \dfrac{mp^m q}{(1 - q)^{m + 1}} = \dfrac{mq}{p}\)\(E[X^2] = \dfrac{mq}{p} + \dfrac{m(m+1)p^mq^2}{(1-q)^{m + 2}}\)

\(\text{Var} [X] = \dfrac{mq}{p} + \dfrac{m(m + 1) q^2}{p^2} - \dfrac{m^2 q^2}{p^2} = \dfrac{mq}{p^2}\)

Вправа\(\PageIndex{23}\)

Використовуйте функції, що генерують момент, щоб показати, що дисперсії додають для суми або різниці незалежних випадкових величин.

Відповідь

Щоб спростити написання\(f(s) = M_X (s)\), встановити\(g(s) = M_Y (s)\), і\(h(s) = M_X (s) M_Y(s)\)

\(h'(s) = f'(s) g(s) + f(s) g'(s)\)\(h''(s) = f''(s) g(s) + f'(s) g'(s) + f'(s) g'(s) + f(s) g''(s)\)

Встановлення\(s = 0\) врожайності

\(E[X + Y] = E[X] + E[Y]\)\(E[(X + Y)^2] = E[X^2] + 2E[X]E[Y] + E[Y^2]\)\(E^2 [X + Y] = E^2[X] + 2E[X] E[Y] + E^2[Y]\)

Прийняття різниці дає\(\text{Var}[X + Y] = \text{Var} [X] + \text{Var} [Y]\). Аналогічне лікування з\(g(s)\) замінене\(g(-s)\) показаннями\(\text{Var} [X - Y] = \text{Var} [X] + \text{Var} [Y]\).

Вправа\(\PageIndex{24}\)

Пара\(\{X, Y\}\) - iid\(N\) (3,5). Скористайтеся функцією створення моменту, щоб показати, що\(Z = 2X - 2Y + 3\) це нормально (див. Приклад 3 з "Методи перетворення" для загального результату).

Відповідь

\(M_{3X} (s) = M_X (3s) = \text{exp} (\dfrac{9 \cdot 5s^2}{2} + 3 \cdot 3s)\)\(M_{-2Y} (s) = M_Y(-2s) = \text{exp} (\dfrac{4 \cdot 5s^2}{2} - 2 \cdot 3s)\)

\(M_Z (s) = e^{3s} \text{exp} (\dfrac{(45 + 20)s^2}{2} + (9 - 6) s) = \text{exp} (\dfrac{65s^2}{2} + 6s)\)

Вправа\(\PageIndex{25}\)

Використовуйте центральну граничну теорему, щоб показати, що для досить великого розміру вибірки (зазвичай 20 або більше) середнє значення вибірки

\(A_n = \dfrac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_i\)

приблизно\(N(\mu, \sigma^2/n)\) для будь-якого розумного розподілу населення, що має середнє значення\(\mu\) та дисперсію\(\sigma^2\).

Відповідь

\(E[A_n] = \dfrac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \mu = \mu\)\(\text{Var} [A_n] = \dfrac{1}{n^2} \sum_{i = 1}^{n} \sigma^2 = \dfrac{\sigma^2}{n}\)

За центральною граничною теоремою,\(A_n\) є приблизно нормальним, із середнім значенням і дисперсією вище.

Вправа\(\PageIndex{26}\)

Популяція має стандартне відхилення приблизно три. Бажано визначити розмір вибірки n, необхідний для того, щоб з ймовірністю 0,95 середнє значення вибірки знаходилося в межах 0,5 від середнього значення.

1. Використовуйте нерівність Чебишева для оцінки необхідного розміру вибірки.
2. Використовуйте нормальне наближення для оцінки\(n\) (див. Приклад 1 з розділу "Прості випадкові зразки та статистика»).

Відповідь

Нерівність Чевишева:

\(P(\dfrac{|A_n - \mu|}{\sigma/\sqrt{n}} \ge \dfrac{0.5 \sqrt{n}}{3}) \le \dfrac{3^2}{0.5^2 n} \le 0.05\)має на увазі\(n \ge 720\)

Нормальне наближення: Використання таблиці в прикладі 1 з "Прості випадкові зразки та статистика" показує

\(n \ge (3/0.5)^2 3.84 = 128\)