11.3: Задачі математичного очікування

Вправа$\PageIndex{1}$

(Див. Вправу 1 з «Задачі щодо функцій розподілу та щільності», m-файл npr07_01.m). Клас$\{C_j: 1 \le j \le 10\}$ є розділом. Випадкова величина$X$ має значення {1, 3, 2, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 2} на$C_1$ наскрізних$C_{10}$, відповідно, з ймовірностями 0,08, 0,13, 0,06, 0,09, 0,14, 0,11, 0,12, 0,07, 0,11, 0,09. Визначте$E[X]$

Відповідь

% file npr07_01.m
% Data for Exercise 1 from "Problems on Distribution and Density Functions"
T = [1 3 2 3 4 2 1 3 5 2];
pc = 0.01*[8 13 6 9 14 11 12 7 11 9];
disp('Data are in T and pc')
npr07_01
Data are in T and pc
EX = T*pc'
EX = 2.7000
[X,PX] csort(T,pc): % Alternate using X, PX
ex = X*PX'
ex = 2.7000

Вправа$\PageIndex{2}$

(Див. Вправу 2 з "Проблеми розподілу та функцій щільності «, m-файл npr07_02.m). У магазині є вісім предметів для продажу. Ціни складають $3.50, $5.00, $3.50, $7.50, $5.00, $5.00, $3.50 і $7,50 відповідно. Заходить клієнт. Вона купує один з предметів з ймовірностями 0,10, 0,15, 0,15, 0,20, 0,10 0,05, 0,10 0,15. Може бути записана випадкова величина, що виражає суму її покупки

$X = 3.5I_{C_1} + 5.0 I_{C_2} + 3.5I_{C_3} + 7.5I_{C_4} + 5.0I_{C_5} + 5.0I_{C_6} + 3.5I_{C_7} + 7.5I_{C_8}$

Визначте$E[X]$ очікувану вартість її покупки.

Відповідь

% file npr07_02.m
% Data for Exercise 2 from "Problems on Distribution and Density Functions"
T = [3.5 5.0 3.5 7.5 5.0 5.0 3.5 7.5];
pc = 0.01*[10 15 15 20 10 5 10 15];
disp('Data are in T and pc')
npr07_02
Data are in T and pc
EX = T*pc'
EX = 5.3500
[X,PX] csort(T,pc)
ex = X*PX'
ex = 5.3500

Вправа$\PageIndex{3}$

Див. вправу 12 з "Задачі про випадкові величини та ймовірності «та вправу 3 з" Задачі щодо функцій розподілу та щільності», m-file npr06_12.m). Клас$\{A, B, C, D\}$ має мінімальні ймовірності

$pm =$0.001 * [5 7 6 8 9 14 22 33 21 32 50 75 86 129 201 302]

Визначте математичне очікування для випадкової$X = I_A + I_B + I_C + I_D$ величини, яка підраховує кількість подій, що відбуваються на дослідженні.

Відповідь

% file npr06_12.m
% Data for Exercise 12 from "Problems on Random Variables and Probabilities"
pm = 0.001*[5 7 6 8 9 14 22 33 21 32 50 75 86 129 201 302];
c = [1 1 1 1 0];
disp('Minterm probabilities in pm, coefficients in c')
npr06_12
Minterm probabilities in pm, coefficients in c
canonic
 Enter row vector of coefficients c
 Enter row vector of minterm probabilities pm
Use row matrices X and PX for calculations
call for XDBN to view the distribution
EX = X*PX'
EX = 2.9890
T = sum(mintable(4));
[x,px] = csort(T,pm);
ex = x*px
ex = 2.9890

Вправа$\PageIndex{4}$

(Див. вправу 5 з розділу «Задачі щодо функцій розподілу та щільності»). У грозу в національному парку відбувається 127 ударів блискавки. Досвід показує, що ймовірність удару блискавки при запуску пожежі становить близько 0,0083. Визначте передбачувану кількість пожеж.

Відповідь

$X$~ Біноміальний (127, 0.0083),$E[X] = 127 \cdot 0.0083 = 1.0541$

Вправа$\PageIndex{5}$

(Див. вправу 8 з розділу «Задачі щодо функцій розподілу та щільності»). Дві монети перевертаються двадцять разів. $X$Дозволяти кількість сірників (обидві голови або обидва хвости). Визначте$E[X]$

Відповідь

$X$~ біном (20, 1/2). $E[X] = 20 \cdot 0.5 = 10$

Вправа$\PageIndex{6}$

(Див. вправу 12 з розділу «Задачі щодо функцій розподілу та щільності»). Житловий коледж планує зібрати гроші, продаючи «шанси» на дошці. П'ятдесят шансів продано. Гравець платить $10, щоб грати; він або вона виграє $30 з ймовірністю$p = 0.2$. Прибуток до коледжу становить

$X = 50 \cdot 10 - 30N$,$N$ де кількість переможців

Визначте очікуваний прибуток$E[X]$.

Відповідь

$N$~ біном (50, 0,2). $E[N] = 50 \cdot 0.2 = 10$. $E[X] = 500 - 30E[N] = 200$.

Вправа$\PageIndex{7}$

(Див. вправу 19 з розділу «Задачі щодо функцій розподілу та щільності»). Кількість імпульсів шуму, що надходять на силовий ланцюг за годину, є випадковою величиною, що має розподіл Пуассона (7). Яке очікуване число імпульсів за годину?

Відповідь

$X$~ Пуассон (7). $E[X] = 7$.

Вправа$\PageIndex{8}$

(Див. Вправа 24 та Вправа 25 з розділу «Задачі щодо функцій розподілу та щільності»). Загальний час роботи для одиниць у Вправі 24 - випадкова величина$T$ ~ гамма (20, 0,0002). Який очікуваний час роботи?

Відповідь

$X$~ гамма (20, 0.0002). $E[X] = 20/0.0002 = 100,000$.

Вправа$\PageIndex{9}$

(Див. Вправу 41 з розділу «Задачі щодо функцій розподілу та щільності»). Випадкова величина$X$ має функцію щільності

$f_X (t) = \begin{cases} (6/5) t^2 & \text{for } 0 \le t \le 1 \\ (6/5)(2 - t) & \text{for } 1 \le t \le 2 \end{cases} = I_{[0, 1]}(t) \dfrac{6}{5} t^2 + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{5} (2 - t)$.

Яке очікуване значення$E[X]$?

Відповідь

$E[X] = \int t f_X(t)\ dt = \dfrac{6}{5} \int_{0}^{1} t^3 \ dt + \dfrac{6}{5} \int_{1}^{2} (2t - t^2)\ dt = \dfrac{11}{10}$

Вправа$\PageIndex{10}$

Обрізана експоненціальна. Припустимо,$X$ ~ експоненціальна ($\lambda$) і$Y = I_{[0, a]} (X) X + I_{a, \infty} (X) a$.

а) Використовуйте той факт, що

$\int_{0}^{\infty} te^{-\lambda t} \ dt = \dfrac{1}{\lambda ^2}$і$\int_{a}^{\infty} te^{-\lambda t}\ dt = \dfrac{1}{\lambda ^2} e^{-\lambda t} (1 + \lambda a)$

визначити вираз для$E[Y]$.

б. використовувати метод наближення, з$\lambda = 1/50$,$a = 30$. Приблизна експоненціальна в 10 000 балів для$0 \le t \le 1000$. Порівняйте приблизний результат з теоретичним результатом частини (а).

Відповідь

$E[Y] = \int g(t) f_X (t)\ dt = \int_{0}^{a} t \lambda e^{-\lambda t} \ dt + aP(X > a) =$

$\dfrac{\lambda}{\lambda ^2} [1 - e^{-\lambda a} (1 + \lambda a)] + a e^{-\lambda a} = \dfrac{1}{\lambda} (1 - e^{-\lambda a})$

tappr
Enter matrix [a b] of x-range endpoints [0 1000]
Enter number of x approximation points 10000
Enter density as a function of t (1/50)*exp(-t/50)
Use row matrices X and PX as in the simple case
G = X.*(X<=30) + 30*(X>30);
EZ = G8PX'
EZ = 22.5594
ez = 50*(1-exp(-30/50))     %Theoretical value
ez = 22.5594

Вправа$\PageIndex{11}$

(Див. Вправу 1 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли», m-файл npr08_01.m). Дві карти вибираються навмання, без заміни, зі стандартної колоди. $X$Дозволяти кількість тузів і$Y$ бути кількість пік. За звичайними припущеннями визначають розподіл суглоба. Визначити$E[X]$$E[Y]$,$E[X^2]$,,$E[Y^2]$, і$E[XY]$.

Відповідь

npr08_01
Data in Pn, P, X, Y
jcalc
Enter JOINT PROBABILITIES (as on the plane) P
Enter row marix of VALUES of X    X
Enter row marix of VALUES of Y    Y
 Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
EX = X*PX'
EX = 0.1538

ex = total(t.*P)            % Alternate
ex = 0.1538
EY = Y*PY'
EY = 0.5000
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 0.1629
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 0.6176
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 0.0769

Вправа$\PageIndex{12}$

(Див. вправу 2 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли», m-файл npr08_02.m). Відкриті дві позиції для роботи в кампусі. Двоє другокурсників, три юніори та троє людей похилого віку. Вирішено вибрати два навмання (кожна можлива пара однаково вірогідна). $X$Дозволяти кількість другокурсників і$Y$ бути кількістю юніорів, які відібрані. Визначте розподіл суглобів для$\{X, Y\}$ і$E[X]$$E[Y]$$E[X^2]$,,$E[Y^2]$, і$E[XY]$.

Відповідь

npr08_02
Data are in X, Y, Pn, P
jcalc
-----------------------
EX = X*PX'
EX = 0.5000
EY = Y*PY'
EY = 0.7500
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 0.5714
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 0.9643
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 0.2143

Вправа$\PageIndex{13}$

(Див. Вправу 3 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли», m-файл npr08_03.m). Прокочується плашка. Нехай X число плям, які з'являються вгору. Монета перевертається$X$ раз. $Y$Дозволяти кількість голів, які повертаються вгору. Визначте розподіл суглоба по парі$\{X, Y\}$. Припустімо$P(X = k) = 1/6$ для$1 \le k \le 6$ і для кожного$k$,$P(Y = j|X = k)$ має біноміальний$(k, 1/2)$ розподіл. Розташуйте стикову матрицю як на площині, зі значеннями$Y$ збільшуються вгору. Визначаємо очікуване значення$E[Y]$

Відповідь

npr08_03
Data are in X, Y, P, PY
jcalc
-----------------------
EX = X*PX'
EX = 3.5000
EY = Y*PY'
EY = 1.7500
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 15.1667
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 4.6667
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 7.5833

Вправа$\PageIndex{14}$

(Див. Вправу 4 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли», m-файл npr08_04.m). Як варіант вправи, припустимо, що пара кубиків кидається замість однієї матриці. Визначте розподіл суглоба для$\{X, Y\}$ і визначте$E[Y]$.

Відповідь

npr08_04
Data are in X, Y, P
jcalc
-----------------------
EX = X*PX'
EX = 7
EY = Y*PY'
EY = 3.5000
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 54.8333
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 15.4583

Вправа$\PageIndex{15}$

(Див. Вправу 5 з "Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли «, m-файл npr08_05.m). Припустимо, кидається пара кубиків. $X$Дозволяти бути загальна кількість плям, які з'являються вгору. Скачайте пару додатково$X$ раз. $Y$Дозволяти кількість сімок, які кидаються на$X$ рулони. Визначте розподіл суглоба для$\{X,Y\}$ і визначте$E[Y]$

Відповідь

npr08_05
Data are in X, Y, P, PY
jcalc
-----------------------
EX = X*PX'
EX = 7.0000
EY = Y*PY'
EY = 1.1667

Вправа$\PageIndex{16}$

(Див. Вправу 6 з "Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли «, m-файл npr08_06.m). Пара$\{X,Y\}$ має спільний розподіл:

$X =$[-2.3 -0.7 1.1 3.9 5.1]$Y =$ [1.3 2.5 4.1 5.3]

$P = \begin{bmatrix} 0.0483 & 0.0357 & 0.0420 & 0.0399 & 0.0441 \\ 0.0437 & 0.0323 & 0.0380 & 0.0361 & 0.0399 \\ 0.0713 & 0.0527 & 0.0620 & 0.0609 & 0.0551 \\ 0.0667 & 0.0493 & 0.0580 & 0.0651 & 0.0589 \end{bmatrix}$

Визначити$E[X]$,$E[Y]$,$E[X^2]$,$E[Y^2]$ і$E[XY]$.

Відповідь

npr08_06
Data are in X, Y, P
jcalc
---------------------
EX = X*PX'
EX = 1.3696
EY = Y*PY'
EY = 3.0344
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 9.7644
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 11.4839
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 4.1423

Вправа$\PageIndex{17}$

(Див. Вправу 7 з "Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли «, m-файл npr08_07.m). Пара$\{X, Y\}$ має спільний розподіл:

$P(X = t, Y = u)$

т =	-3.1	-0.5	1.2	2.4	3.7	4.9
у = 7,5	0,0090	0,0396	0.0594	0.0216	0.0440	0.0203
4.1	0.0495	0	0,1089	0.0528	0.0363	0.0231
-2.0	0.0405	0.1320	0.0891	0.0324	0.0297	0.0189
-3.8	0.0510	0,0484	0.0726	0.0132	0	0,0077

Визначте$E[X]$$E[Y]$,$E[X^2]$,,$E[Y^2]$ і$E[XY]$.

Відповідь

npr08_07
Data are in X, Y, P
jcalc
---------------------
EX = X*PX'
EX = 0.8590
EY = Y*PY'
EY = 1.1455
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 5.8495
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 19.6115
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 3.6803

Вправа$\PageIndex{18}$

(Див. Вправу 8 з "Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли «, m-файл npr08_08.m). Пара$\{X, Y\}$ має спільний розподіл:

$P(X = t, Y = u)$

т =	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19
у = 12	0.0156	0.0191	0,0081	0,0035	0,0091	0,0070	0,0098	0.0056	0,0091	0,0049
10	0,0064	0.0204	0.0108	0,0040	0,0054	0,0080	0.0112	0,0064	0.0104	0.0056
9	0.0196	0.0256	0.0126	0,0060	0.0156	0.0120	0.0168	0,0096	0.0056	0,0084
5	0.0112	0.0182	0.0108	0,0070	0.0182	0,0140	0.0196	0,0012	0.0182	0,0038
3	0,0060	0.0260	0.0162	0,0050	0,0160	0,0200	0.0280	0,0060	0,0160	0,0040
-1	0,0096	0.0056	0,0072	0,0060	0.0256	0.0120	0.0268	0,0096	0.0256	0,0084
-3	0,0044	0.0134	0,0180	0,0140	0.0234	0,0180	0.0252	0.0244	0.0234	0.0126
-5	0,0072	0,0017	0,0063	0,0045	0.0167	0,0090	0,0026	0.0172	0.0217	0.0223

Визначте$E[X]$$E[Y]$,$E[X^2]$,,$E[Y^2]$ і$E[XY]$.

Відповідь

npr08_08
Data are in X, Y, P
jcalc
---------------------
EX = X*PX'
EX = 10.1000
EY = Y*PY'
EY = 3.0016
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 133.0800
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 41.5564
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 22.2890

Вправа$\PageIndex{19}$

(Див. Вправу 9 з "Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли «, m-файл npr08_09.m). Зберігалися дані про вплив часу навчання на час виконання роботи на виробничій лінії. $X$це кількість тренувань, в годині, і$Y$ це час для виконання завдання, в хвилинах. Дані такі:

$P(X = t, Y = u)$

т =	1	1.5	2	2.5	3
u = 5	0.039	0.011	0,005	0,001	0,001
4	0.065	0,070	0,050	0,015	0,010
3	0.031	0.061	0.137	0,051	0,033
2	0,012	0.049	0.163	0,058	0.039
1	0,003	0,009	0,045	0,025	0,017

Визначте$E[X]$$E[Y]$,$E[X^2]$,,$E[Y^2]$ і$E[XY]$.

Відповідь

npr08_09
Data are in X, Y, P
jcalc
---------------------
EX = X*PX'
EX = 1.9250
EY = Y*PY'
EY = 2.8050
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 4.0375
EY2 = (Y.^2)*PY'           EXY = total(t.*u.*P)
EY2 = 8.9850               EXY = 5.1410

Для ущільнень суглобів у вправі 20-32 нижче

а Визначити аналітично$E[X]$,$E[Y]$,$E[X^2]$,$E[Y^2]$ і$E[XY]$.

б Використовуйте дискретне наближення для$E[X]$,$E[Y]$,$E[X^2]$,$E[Y^2]$ і$E[XY]$.

Вправа$\PageIndex{20}$

(Див. вправу 10 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли»). $f_{XY}(t, u) = 1$для$0 \le t \le 1$. $0 \le u \le 2(1-t)$.

$f_X(t) = 2(1 -t)$,$0 \le t \le 1$,$f_Y(u) = 1 - u/2$,$0 \le u \le 2$

Відповідь

$E[X] = \int_{0}^{1} 2t(1 - t)\ dt = 1/3$,$E[Y] = 2/3$,$E[X^2] = 1/6$,$E[Y^2] = 2/3$

$E[XY] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2(1-t)} tu\ dudt = 1/6$

tuappr: [0 1] [0 2] 200 400  u<=2*(1-t)
EX = 0.3333    EY = 0.6667    EX2 = 0.1667    EY2 = 0.6667
EXY = 0.1667 (use t, u, P)

Вправа$\PageIndex{21}$

(Див. Вправу 11 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). $f_{XY} (t, u) = 1/2$на квадраті з вершинами в (1, 0), (2, 1) (1, 2), (0, 1).

$f_{X} (t) = f_{Y} (t) = I_{[0, 1]} (t) t + I_{(1, 2]} (t) (2 - t)$

Відповідь

$E[X] = E[Y] = \int_{0}^{1} t^2 \ dt + \int_{1}^{t} (2t - t^2) \ dt = 1$,$E[X^2] = E[Y^2] = 7/6$

$E[XY] = (1/2) \int_{0}^{1} \int_{1 - t}^{1 + t} dt dt + (1/2) \int_{1}^{2} \int_{t - 1}^{3 - t} du dt = 1$

tuappr: [0 2] [0 2] 200 200  0.5*(u<=min(t+1,3-t))&(u>=max(1-t,t-1))
EX = 1.0000    EY = 1.0002    EX2 = 1.1684    EY2 = 1.1687    EXY = 1.0002

Вправа$\PageIndex{22}$

(Див. Вправу 12 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). $f_{XY} (t, u) = 4t (1 - u)$для$0 \le t \le 1$. $0 \le u \le 1$

$f_X (t) = 2t$,$0 \le t \le 1$,$f_Y(u) = 2(1 - u)$,$0 \le u \le 1$

Відповідь

$E[X] = 2/3$,$E[Y] = 1/3$,$E[X^2] = 1/2$,$E[Y^2] = 1/6$,$E[XY] = 2/9$

tuappr: [0 1] [0 1] 200 200  4*t.*(1-u)
EX = 0.6667    EY = 0.3333    EX2 = 0.5000    EY2 = 0.1667    EXY = 0.2222

Вправа$\PageIndex{23}$

(Див. Вправу 13 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). $f_{XY} (t, u) = \dfrac{1}{8} (t + u)$для$0 \le t \le 2$,$0 \le u \le 2$

$f_{X} (t) = f_{Y} (t) = \dfrac{1}{4} (t + 1)$,$0 \le t \le 2$

Відповідь

$E[X] = E[Y] = \dfrac{1}[4} \int_{0}^{2} (t^2 + t) \ dt = \dfrac{7}{6}$,$E[X^2] = E[Y^2] = 5/3$

$E[XY] = \dfrac{1}{8} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} (t^2u + tu^2) \ dudt = \dfrac{4}{3}$

tuappr: [0 1] [0 1] 200 200  4*t.*(1-u)
EX = 1.1667    EY = 1.1667    EX2 = 1.6667    EY2 = 1.6667    EXY = 1.3333

Вправа$\PageIndex{24}$

(Див. Вправу 14 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). $f_{XY} (t, u) = 4ue^{-2t}$для$0 \le t, 0 \le u \le 1$

$f_X (t) = 2e^{-2t}$,$0 \le t$,$f_Y(u) = 2u$,$0 \le u \le 1$

Відповідь

$E[X] = \int_{0}^{\infty} 2te^{-2t} \ dt = \dfrac{1}{2}$,$E[Y] = \dfrac{2}{3}$,$E[X^2] = \dfrac{1}{2}$,$E[Y^2] = \dfrac{1}{2}$,$E[XY] = \dfrac{1}{3}$

tuappr: [0 6] [0 1] 600 200  4*u.*exp(-2*t)
EX = 0.5000    EY = 0.6667    EX2 = 0.4998    EY2 = 0.5000    EXY = 0.3333

Вправа$\PageIndex{25}$

(Див. Вправу 15 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). $f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{88} (2t + 3u^2)$для$0 \le t \le 2$,$0 \le u \le 1 + t$.

$f_X(t) = \dfrac{3}{88} (1 + t) (1 + 4t + t^2) = \dfrac{3}{88} (1 + 5t + 5t^2 + t^3)$,$0 \le t \le 2$

$f_Y(t) = I_{[0, 1]} (u) \dfrac{3}{88} (6u^2 + 4) + I_{(1, 3]} (u) \dfrac{3}{88} (3 + 2u + 8u^2 - 3u^3)$

Відповідь

$E[X] = \dfrac{313}{220}$,$E[Y] = \dfrac{1429}{880}$,$E[X^2] = \dfrac{49}{22}$,$E[Y^2] = \dfrac{172}{55}$,$E[XY] = \dfrac{2153}{880}$

tuappr: [0 2] [0 3] 200 300  (3/88)*(2*t + 3*u.^2).*(u<1+t)
EX = 1.4229    EY = 1.6202    EX2 = 2.2277    EY2 = 3.1141    EXY = 2.4415

Вправа$\PageIndex{26}$

(Див. Вправу 16 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). $f_{XY} (t, u) = 12t^2 u$на паралелограмі з вершинами

(-1, 0), (0, 0), (1, 1), (0, 1)

$f_X(t) = I_{[-1, 0]} (t) 6t^2 (t + 1)^2 + I_{(0, 1]} (t) 6t^2 (1 - t^2)$,$f_Y(u) 12u^3 - 12u^2 + 4u$,$0 \le u \le 1$

Відповідь

$E[X] = \dfrac{2}{5}$,$E[Y] = \dfrac{11}{15}$,$E[X^2] = \dfrac{2}{5}$,$E[Y^2] = \dfrac{3}{5}$,$E[XY] = \dfrac{2}{5}$

tuappr: [-1 1] [0 1] 400 300  12*t.^2.*u.*(u>=max(0,t)).*(u<=min(1+t,1))
EX = 0.4035    EY = 0.7342    EX2 = 0.4016    EY2 = 0.6009    EXY = 0.4021

Вправа$\PageIndex{27}$

(Див. Вправу 17 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). $f_{XY} (t, u) = \dfrac{24}{11} tu$для$0 \le t \le 2$,$0 \le u \le \text{min } \{1, 2-t\}$.

$f_X (t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{12}{11}t + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{12}{11} t (2 - t)^2$,$f_Y(u) = \dfrac{12}{11} u(u - 2)^2$,$0 \le u \le 1$

Відповідь

$E[X] = \dfrac{52}{55}$,$E[Y] = \dfrac{32}{55}$,$E[X^2] = \dfrac{57}{55}$,$E[Y^2] = \dfrac{2}{5}$,$E[XY] = \dfrac{28}{55}$

tuappr: [0 2] [0 1] 400 200  (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t))
EX = 0.9458    EY = 0.5822    EX2 = 1.0368    EY2 = 0.4004    EXY = 0.5098

Вправа$\PageIndex{28}$

(Див. Вправу 18 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). $f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{23} (t + 2u)$для$0 \le t \le 2$,$0 \le u \le \text{max } \{2 - t, t\}$.

$f_X (t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{6}{23} (2 - t) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{23} t^2$,$f_Y(u) = I_{[0, 1]} (u) \dfrac{6}{23} (2u + 1) + I_{(1, 2]} (u) \dfrac{3}{23} (4 + 6u - 4u^2)$

Відповідь

$E[X] = \dfrac{53}{46}$,$E[Y] = \dfrac{22}{23}$,$E[X^2] = \dfrac{397}{230}$,$E[Y^2] = \dfrac{261}{230}$,$E[XY] = \dfrac{251}{230}$

tuappr: [0 2] [0 2] 200 200  (3/23)*(t + 2*u).*(u<=max(2-t,t))
EX = 1.1518    EY = 0.9596    EX2 = 1.7251    EY2 = 1.1417    EXY = 1.0944

Вправа$\PageIndex{29}$

(Див. Вправу 19 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). $f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{179} (3t^2 + u)$, для$0 \le t \le 2$,$0 \le u \le \text{min } \{2, 3 - t\}$.

$f_X (t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{24}{179} (3t^2 + 1) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{179} (9 - 6t + 19t^2 - 6t^3)$

$f_Y (u) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{24}{179} (4 + u) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{12}{179} (27 - 24u + 8u^2 - u^3)$

Відповідь

$E[X] = \dfrac{2313}{1790}$,$E[Y] = \dfrac{778}{895}$,$E[X^2] = \dfrac{1711}{895}$,$E[Y^2] = \dfrac{916}{895}$,$E[XY] = \dfrac{1811}{1790}$

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (12/179)*(3*t.^2 + u).*(u<=min(2,3-t))
EX = 1.2923    EY = 0.8695    EX2 = 1.9119    EY2 = 1.0239    EXY = 1.0122

Вправа$\PageIndex{30}$

(Див. Вправу 20 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). $f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{227} (3t + 2tu)$, для$0 \le t \le 2$,$0 \le u \le \text{min } \{1 + t, 2\}$.

$f_X (t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{12}{227} (t^3 + 5t^2 + 4t) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{120}{227} t$

$f_Y (u) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{24}{227} (2u + 3) + I_{(1, 2]} (u) \dfrac{6}{227} (2u + 3) (3 + 2u - u^2)$

$= I_{[0, 1]} (u) \dfrac{24}{227} (2u + 3) + I_{(1, 2]} (u) \dfrac{6}{227} (9 + 12u + u^2 - 2u^3)$

Відповідь

$E[X] = \dfrac{1567}{1135}$,$E[Y] = \dfrac{2491}{2270}$,$E[X^2] = \dfrac{476}{227}$,$E[Y^2] = \dfrac{1716}{1135}$,$E[XY] = \dfrac{5261}{3405}$

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (12/227)*(3*t + 2*t.*u).*(u<=min(1+t,2))
EX = 1.3805    EY = 1.0974    EX2 = 2.0967    EY2 = 1.5120    EXY = 1.5450

Вправа$\PageIndex{31}$

(Див. Вправу 21 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). $f_{XY} (t, u) = \dfrac{2}{13} (t + 2u)$, для$0 \le t \le 2$,$0 \le u \le \text{min } \{2t, 3-t\}$.

$f_X (t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{12}{13} t^2 + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{13} (3 - t)$

$f_Y(u) = I_{[0, 1]} (u) (\dfrac{4}{13} + \dfrac{8}{13} u - \dfrac{9}{52} u^2) + I_{(1, 2]} (u) (\dfrac{9}{13} + \dfrac{6}{13} u - \dfrac{51}{52} u^2)$

Відповідь

$E[X] = \dfrac{16}{13}$,$E[Y] = \dfrac{11}{12}$,$E[X^2] = \dfrac{219}{130}$,$E[Y^2] = \dfrac{83}{78}$,$E[XY] = \dfrac{431}{390}$

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (2/13)*(t + 2*u).*(u<=min(2*t,3-t))
EX = 1.2309    EY = 0.9169    EX2 = 1.6849    EY2 = 1.0647    EXY = 1.1056

Вправа$\PageIndex{32}$

(Див. Вправу 22 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»).

$f_{XY} (t, u) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{3}{8} (t^2 + 2u) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{9}{14} t^2 u^2$, для$0 \le u \le 1$.

$f_X(t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{3}{8} (t^2 + 1) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{3}{14} t^2$,$f_Y(u) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{4} u + \dfrac{3}{2} u^2$ (0\ ле у\ ле 1\)

Відповідь

$E[X] = \dfrac{243}{224}$,$E[Y] = \dfrac{11}{16}$,$E[X^2] = \dfrac{107}{70}$,$E[Y^2] = \dfrac{127}{240}$,$E[XY] = \dfrac{347}{448}$

tuappr: [0 2] [0 1] 400 200  (3/8)*(t.^2 + 2*u).*(t<=1) + (9/14)*(t.^2.*u.^2).*(t > 1)
EX = 1.0848    EY = 0.6875    EX2 = 1.5286    EY2 = 0.5292    EXY = 0.7745

Вправа$\PageIndex{33}$

Клас$\{X, Y, Z\}$ випадкових величин iid (незалежний, ідентично розподілений) із загальним розподілом

$X =$[-5 -1 3 4 7]$PX =$ 0,01 * [15 20 30 25 10]

Нехай$W = 3X - 4Y + 2Z$. Визначте$E[W]$. Зробіть це за допомогою icalc, потім повторіть з icalc3 і порівняйте результати.

Відповідь

Використовувати$x$ і не$px$ допускати перейменування.

x = [-5 -1 3 4 7];
px = 0.01*[15 20 30 25 10];
icalc
Enter row matrix of X-values  x
Enter row matrix of Y-values  x
Enter X probabilities px
Enter Y probabilities px
 Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
 G = 3*t - 4*u
 [R,PR] = csort(G,P);
 icalc
Enter row matrix of X-values  R
Enter row matrix of Y-values  x
Enter X probabilities  PR
Enter Y probabilities  px
 Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
H = t + 2*u;
EH = total(H.*P)
EH = 1.6500
[W,PW] = csort(H,P);  % Alternate
EW = W*PW'
EW = 1.6500
icalc3                % Solution with icalc3
Enter row matrix of X-values  x
Enter row matrix of Y-values  x
Enter row matrix of Z-values  x
Enter X probabilities  px
Enter Y probabilities  px
Enter Z probabilities  px
Use array operations on matrices X, Y, Z,
PX, PY, PZ, t, u, v, and P
K = 3*t - 4*u + 2*v;
EK = total(K.*P)
EK = 1.6500

Вправа$\PageIndex{34}$

(Див. Вправа 5 з «Задачі про функції випадкових величин») Культурний комітет студентської організації організував спеціальну пропозицію на квитки на концерт. Угода полягає в тому, що організація придбає десять квитків по 20 доларів кожен (незалежно від кількості окремих покупців). Додаткові квитки доступні за наступним розкладом:

11-20, $18 кожен; 21-30 $16 кожен; 31-50, $15 кожен; 51-100, $13 кожен

Якщо кількість покупців є випадковою величиною$X$, загальна вартість (у доларах) - це випадкова величина,$Z = g(X)$ описана

$g(X) = 200 + 18I_{M1} (X) (X - 10) + (16 - 18) I_{M2} (X) (X - 20) +$

$(15 - 16) I_{M3} (X) (X - 30) + (13 - 15) I_{M4} (X) (X - 50)$

де$M1 = [10, \infty)$,$M2 = [20, \infty)$,$M3 = [30, \infty)$,$M4 = [50, \infty)$

Припустимо$X$ ~ Пуассон (75). Приблизний розподіл Пуассона шляхом усічення на 150. Визначте$E[Z]$ і$E[Z^2]$.

Відповідь

X = 0:150;
PX = ipoisson(75, X);
G = 200 + 18*(X - 10).*(X>=10) + (16 - 18)*(X - 20).*(X>=20) + ...
      (15 - 16)*(X - 30).*(X>=30) + (13 - 15)*(X>=50);
[Z,PZ] = csort(G,PX);
EZ = Z*PZ'
EZ = 1.1650e+03
EZ2 = (Z.^2)*PZ'
EZ2 = 1/3699e+06

Вправа$\PageIndex{35}$

Пара$\{X, Y\}$ має спільний розподіл (в m-файлі npr08_07.m):

$P(X = t, Y = u)$

т =	-3.1	-0.5	1.2	2.4	3.7	4.9
у = 7,5	0,0090	0,0396	0.0594	0.0216	0.0440	0.0203
4.1	0.0495	0	0,1089	0.0528	0.0363	0.0231
-2.0	0.0405	0.1320	0.0891	0.0324	0.0297	0.0189
-3.8	0.0510	0,0484	0.0726	0.0132	0	0,0077

Нехай$Z = g(X, Y) = 3X^2 + 2XY - Y^2)$. Визначте$E[Z]$ і$E[Z^2]$.

Відповідь

npr08_07
Data are in X, Y, P
jcalc
------------------
G = 3*t.^2 + 2*t.*u - u.^2;
EG = total(G.*P)
EG = 5.2975
ez2 = total(G.^2.*P)
EG2 = 1.0868e+03
[Z,PZ] = csort(G,P);        % Alternate
EZ = Z*PZ'
EZ = 5.2975
EZ2 = (Z.^2)*PZ'
EZ2 = 1.0868e+03

Вправа$\PageIndex{36}$

Для пари$\{X, Y\}$ у вправі 11.3.35 нехай

$W = g(X, Y) = \begin{cases} X & \text{for } X + Y \le 4 \\ 2Y & \text{for } X+Y > 4 \end{cases} = I_M (X, Y) X + I_{M^c} (X, Y)2Y$

Визначте$E[W]$ і$E[W^2]$.

Відповідь

H = t.*(t+u<=4) + 2*u.*(t+u>4);
EH = total(H.*P)
EH = 4.7379
EH2 = total(H.^2.*P)
EH2 = 61.4351
[W,PW] = csort(H,P);    %Alternate
EW = W*PW'
EW = 4.7379
EW2 = (W.^2)*PW'
EW2 = 61.4351

Для розподілу у Вправи 37-41 нижче

a. визначити аналітично$E[Z]$ і$E[Z^2]$
б. використовувати дискретне наближення для обчислення однакових величин.

Вправа$\PageIndex{37}$

$f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{88} (2t + 3u^2)$для$0 \le t \le 2$,$0 \le u \le 1+t$ (див. Вправу 25).

$Z = I_{[0, 1]} (X)4X + I_{(1,2]} (X)(X+Y)$

Відповідь

$E[Z] = \dfrac{3}{88} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 + t} 4t (2t + 3u^2)\ dudt + \dfrac{3}{88} \int_{1}^{2} \int_{0}^{1 + t} (t + u) (2t + 3u^2)\ dudt = \dfrac{5649}{1760}$

$E[Z^2] = \dfrac{3}{88} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 + t} (4t)^2 (2t + 3u^2)\ dudt + \dfrac{3}{88} \int_{1}^{2} \int_{0}^{1 + t} (t + u)^2 (2t + 3u^2)\ dudt = \dfrac{4881}{440}$

tuappr: [0 2] [0 3] 200 300 (3/88)*(2*t+3*u.^2).*(u<=1+t)
G = 4*t.*(t<=1) + (t + u).*(t>1);
EG = total(G.*P)
EG = 3.2086
EG2 = total(G.^2.*P)
EG2 = 11.0872

Вправа$\PageIndex{38}$

$f_{XY} (t, u) = \dfrac{24}{11} tu$для$0 \le t \le 2$,$0 \le u \le \text{min } \{1, 2 - t\}$ (див. Вправу 27)

$Z = I_M(X, Y) \dfrac{1}{2}X + I_{M^c} (X, Y) Y^2$,$M = \{(t, u) : u > t\}$

Відповідь

$E[Z] = \dfrac{12}{11} \int_{0}^{1} \int_{t}^{1} t^2u\ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{0}^{1} \int_{0}^{t} tu^3\ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 - t} tu^3\ dudt = \dfrac{16}{55}$

$E[Z^2] = \dfrac{6}{11} \int_{0}^{1} \int_{t}^{1} t^3u\ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{0}^{1} \int_{0}^{t} tu^5\ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 - t} tu^5\ dudt = \dfrac{39}{308}$

tuappr: [0 2] [0 1] 400 200  (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t))
G = (1/2)*t.*(u>t) + u.^2.*(u<=t);
EZ = 0.2920 EZ2 = 0.1278

Вправа$\PageIndex{39}$

$f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{23} (t + 2u)$для$0 \le t \le 2$,$0 \le u \le \text{max } \{2 - t, t\}$ (див. Вправу 28)

$Z = I_M (X, Y) (X + Y) + I_{M^c} (X, Y)2Y$,$M = \{(t, u): \text{max } (t, u) \le 1\}$

Відповідь

$E[Z] = \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (t + u) (t + 2u) \ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2 - t} 2u (1 + 2u)\ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{1}^{2} \int_{1}^{t} 2u (t + 2u)\ dudt = \dfrac{175}{92}$

$E[Z^2] = \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (t + u)^2 (t + 2u) \ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2 - t} 4u^2 (1 + 2u)\ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{1}^{2} \int_{1}^{t} 4u^2 (t + 2u)\ dudt =$

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (3/23)*(t+2*u).*(u<=max(2-t,t))
M = max(t,u)<=1;
G = (t+u).*M + 2*u.*(1-M);
EZ = total(G.*P)
EZ = 1.9048
EZ2 = total(G.^2.*P)
EZ2 = 4.4963

Вправа$\PageIndex{40}$

$f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{179} (3t^2 + u)$, для$0 \le t \le 2$,$0 \le u \le \text{min } \{2, 3-t\}$ (див. Вправу 19)

$Z = I_M (X,Y) (X + Y) + I_{M^c} (X, Y) 2Y^2$,$M = \{(t, u): t \le 1, u \ge 1\}$

Відповідь

$E[Z] = \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} (t + u) (3t^2 + u)\ dudt + \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 2u^2 (3t^2 + u)\ dudt + \dfrac{12}{179} \int_{1}^{2} \int_{0}^{3 - t} 2u^2 (3t^2 + u)\ dudt = \dfrac{1422}{895}$

$E[Z^2] = \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} (t + u)^2 (3t^2 + u)\ dudt + \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 4u^4 (3t^2 + u)\ dudt + \dfrac{12}{179} \int_{1}^{2} \int_{0}^{3 - t} 4u^4 (3t^2 + u)\ dudt = \dfrac{28296}{6265}$

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (12/179)*(3*t.^2 + u).*(u <= min(2,3-t))
M = (t<=1)&(u>=1);
G = (t + u).*M + 2*u.^2.*(1 - M);
EZ = total(G.*P)
EZ = 1.5898
EZ2 = total(G.^2.*P)
EZ2 = 4.5224

Вправа$\PageIndex{41}$

$f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{227} (2t + 2tu)$, для$0 \le t \le 2$,$0 \le u \le \text{min } \{1 + t, 2\}$ (див. Вправа 30).

$Z = I_M (X, Y) X + I_{M^c} (X, Y) XY$,$M = \{(t, u): u \le \text{min } (1, 2 - t)\}$

Відповідь

$E[Z] = \dfrac{12}{227} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} t (3t + 2tu) \ dudt + \dfrac{12}{227} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 - t} t(3t + 2tu)\ dudt +$

$\dfrac{12}{227} \int_{0}^{1} \int_{1}^{1 + t} tu(3t + 2tu)\ dudt + \dfrac{12}{227} \int_{1}^{2} \int_{2 - t}^{2} tu (3t + 2tu)\ dudt = \dfrac{5774}{3405}$

$E[Z^2] = \dfrac{56673}{15890}$

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (12/227)*(3*t + 2*t.*u).*(u <= min(1+t,2))
M = u <= min(1,2-t);
G = t.*M + t.*u.*(1 - M);
EZ = total(G.*P)
EZ = 1.6955
EZ2 = total(G.^2.*P)
EZ2 = 3.5659

Вправа$\PageIndex{42}$

Клас$\{X, Y, Z\}$ незалежний. (Див. Вправу 16 з «Задачі про функції випадкових величин», m-файл npr10_16.m)

$X = -2I_A + I_B + 3I_C$. Мінтермальні ймовірності є (у звичайному порядку)

0,255 0,025 0,375 0,045 0,0108 0.012 0.162 0,018

$Y = I_D + 3I_E + I_F - 3$. Клас$\{D, E, F\}$ незалежний з

$P(D) = 0.32$$P(E) = 0.56$$P(F) = 0.40$

$Z$має дистрибутив

Значення	-1.3	1.2	2.7	3.4	5.8
Імовірність	0,12	0,24	0,43	0,13	0,08

$W = X^2 + 3XY^2 - 3Z$. Визначте$E[W]$ і$E[W^2]$.

Відповідь

npr10_16
Data are in cx, pmx, cy, pmy, Z, PZ
[X,PX] = canonicf(cx,pmx);
[Y,PY] - canonicf(cy,pmy);
icalc3
input: X, Y, Z, PX, PY, PZ
-------------
Use array operations on matrices X, Y, Z.
PX, PY, PZ, t, u, v, and P
G = t.^2 + 3*t.*u.^2 - 3*v;
[W,PW] = csort(G,P);
EW = W*PW'
EW = -1.8673
EW2 = (W.^2)*PW'
EW2 = 426.8529