11.3: Задачі математичного очікування

Вправа\(\PageIndex{1}\)

(Див. Вправу 1 з «Задачі щодо функцій розподілу та щільності», m-файл npr07_01.m). Клас\(\{C_j: 1 \le j \le 10\}\) є розділом. Випадкова величина\(X\) має значення {1, 3, 2, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 2} на\(C_1\) наскрізних\(C_{10}\), відповідно, з ймовірностями 0,08, 0,13, 0,06, 0,09, 0,14, 0,11, 0,12, 0,07, 0,11, 0,09. Визначте\(E[X]\)

Відповідь

% file npr07_01.m
% Data for Exercise 1 from "Problems on Distribution and Density Functions"
T = [1 3 2 3 4 2 1 3 5 2];
pc = 0.01*[8 13 6 9 14 11 12 7 11 9];
disp('Data are in T and pc')
npr07_01
Data are in T and pc
EX = T*pc'
EX = 2.7000
[X,PX] csort(T,pc): % Alternate using X, PX
ex = X*PX'
ex = 2.7000

Вправа\(\PageIndex{2}\)

(Див. Вправу 2 з "Проблеми розподілу та функцій щільності «, m-файл npr07_02.m). У магазині є вісім предметів для продажу. Ціни складають $3.50, $5.00, $3.50, $7.50, $5.00, $5.00, $3.50 і $7,50 відповідно. Заходить клієнт. Вона купує один з предметів з ймовірностями 0,10, 0,15, 0,15, 0,20, 0,10 0,05, 0,10 0,15. Може бути записана випадкова величина, що виражає суму її покупки

\(X = 3.5I_{C_1} + 5.0 I_{C_2} + 3.5I_{C_3} + 7.5I_{C_4} + 5.0I_{C_5} + 5.0I_{C_6} + 3.5I_{C_7} + 7.5I_{C_8}\)

Визначте\(E[X]\) очікувану вартість її покупки.

Відповідь

% file npr07_02.m
% Data for Exercise 2 from "Problems on Distribution and Density Functions"
T = [3.5 5.0 3.5 7.5 5.0 5.0 3.5 7.5];
pc = 0.01*[10 15 15 20 10 5 10 15];
disp('Data are in T and pc')
npr07_02
Data are in T and pc
EX = T*pc'
EX = 5.3500
[X,PX] csort(T,pc)
ex = X*PX'
ex = 5.3500

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Див. вправу 12 з "Задачі про випадкові величини та ймовірності «та вправу 3 з" Задачі щодо функцій розподілу та щільності», m-file npr06_12.m). Клас\(\{A, B, C, D\}\) має мінімальні ймовірності

\(pm = \)0.001 * [5 7 6 8 9 14 22 33 21 32 50 75 86 129 201 302]

Визначте математичне очікування для випадкової\(X = I_A + I_B + I_C + I_D\) величини, яка підраховує кількість подій, що відбуваються на дослідженні.

Відповідь

% file npr06_12.m
% Data for Exercise 12 from "Problems on Random Variables and Probabilities"
pm = 0.001*[5 7 6 8 9 14 22 33 21 32 50 75 86 129 201 302];
c = [1 1 1 1 0];
disp('Minterm probabilities in pm, coefficients in c')
npr06_12
Minterm probabilities in pm, coefficients in c
canonic
 Enter row vector of coefficients c
 Enter row vector of minterm probabilities pm
Use row matrices X and PX for calculations
call for XDBN to view the distribution
EX = X*PX'
EX = 2.9890
T = sum(mintable(4));
[x,px] = csort(T,pm);
ex = x*px
ex = 2.9890

Вправа\(\PageIndex{4}\)

(Див. вправу 5 з розділу «Задачі щодо функцій розподілу та щільності»). У грозу в національному парку відбувається 127 ударів блискавки. Досвід показує, що ймовірність удару блискавки при запуску пожежі становить близько 0,0083. Визначте передбачувану кількість пожеж.

Відповідь

\(X\)~ Біноміальний (127, 0.0083),\(E[X] = 127 \cdot 0.0083 = 1.0541\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

(Див. вправу 8 з розділу «Задачі щодо функцій розподілу та щільності»). Дві монети перевертаються двадцять разів. \(X\)Дозволяти кількість сірників (обидві голови або обидва хвости). Визначте\(E[X]\)

Відповідь

\(X\)~ біном (20, 1/2). \(E[X] = 20 \cdot 0.5 = 10\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

(Див. вправу 12 з розділу «Задачі щодо функцій розподілу та щільності»). Житловий коледж планує зібрати гроші, продаючи «шанси» на дошці. П'ятдесят шансів продано. Гравець платить $10, щоб грати; він або вона виграє $30 з ймовірністю\(p = 0.2\). Прибуток до коледжу становить

\(X = 50 \cdot 10 - 30N\),\(N\) де кількість переможців

Визначте очікуваний прибуток\(E[X]\).

Відповідь

\(N\)~ біном (50, 0,2). \(E[N] = 50 \cdot 0.2 = 10\). \(E[X] = 500 - 30E[N] = 200\).

Вправа\(\PageIndex{7}\)

(Див. вправу 19 з розділу «Задачі щодо функцій розподілу та щільності»). Кількість імпульсів шуму, що надходять на силовий ланцюг за годину, є випадковою величиною, що має розподіл Пуассона (7). Яке очікуване число імпульсів за годину?

Відповідь

\(X\)~ Пуассон (7). \(E[X] = 7\).

Вправа\(\PageIndex{8}\)

(Див. Вправа 24 та Вправа 25 з розділу «Задачі щодо функцій розподілу та щільності»). Загальний час роботи для одиниць у Вправі 24 - випадкова величина\(T\) ~ гамма (20, 0,0002). Який очікуваний час роботи?

Відповідь

\(X\)~ гамма (20, 0.0002). \(E[X] = 20/0.0002 = 100,000\).

Вправа\(\PageIndex{9}\)

(Див. Вправу 41 з розділу «Задачі щодо функцій розподілу та щільності»). Випадкова величина\(X\) має функцію щільності

\(f_X (t) = \begin{cases} (6/5) t^2 & \text{for } 0 \le t \le 1 \\ (6/5)(2 - t) & \text{for } 1 \le t \le 2 \end{cases} = I_{[0, 1]}(t) \dfrac{6}{5} t^2 + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{5} (2 - t)\).

Яке очікуване значення\(E[X]\)?

Відповідь

\(E[X] = \int t f_X(t)\ dt = \dfrac{6}{5} \int_{0}^{1} t^3 \ dt + \dfrac{6}{5} \int_{1}^{2} (2t - t^2)\ dt = \dfrac{11}{10}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Обрізана експоненціальна. Припустимо,\(X\) ~ експоненціальна (\(\lambda\)) і\(Y = I_{[0, a]} (X) X + I_{a, \infty} (X) a\).

а) Використовуйте той факт, що

\(\int_{0}^{\infty} te^{-\lambda t} \ dt = \dfrac{1}{\lambda ^2}\)і\(\int_{a}^{\infty} te^{-\lambda t}\ dt = \dfrac{1}{\lambda ^2} e^{-\lambda t} (1 + \lambda a)\)

визначити вираз для\(E[Y]\).

б. використовувати метод наближення, з\(\lambda = 1/50\),\(a = 30\). Приблизна експоненціальна в 10 000 балів для\(0 \le t \le 1000\). Порівняйте приблизний результат з теоретичним результатом частини (а).

Відповідь

\(E[Y] = \int g(t) f_X (t)\ dt = \int_{0}^{a} t \lambda e^{-\lambda t} \ dt + aP(X > a) =\)

\(\dfrac{\lambda}{\lambda ^2} [1 - e^{-\lambda a} (1 + \lambda a)] + a e^{-\lambda a} = \dfrac{1}{\lambda} (1 - e^{-\lambda a})\)

tappr
Enter matrix [a b] of x-range endpoints [0 1000]
Enter number of x approximation points 10000
Enter density as a function of t (1/50)*exp(-t/50)
Use row matrices X and PX as in the simple case
G = X.*(X<=30) + 30*(X>30);
EZ = G8PX'
EZ = 22.5594
ez = 50*(1-exp(-30/50))     %Theoretical value
ez = 22.5594

Вправа\(\PageIndex{11}\)

(Див. Вправу 1 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли», m-файл npr08_01.m). Дві карти вибираються навмання, без заміни, зі стандартної колоди. \(X\)Дозволяти кількість тузів і\(Y\) бути кількість пік. За звичайними припущеннями визначають розподіл суглоба. Визначити\(E[X]\)\(E[Y]\),\(E[X^2]\),,\(E[Y^2]\), і\(E[XY]\).

Відповідь

npr08_01
Data in Pn, P, X, Y
jcalc
Enter JOINT PROBABILITIES (as on the plane) P
Enter row marix of VALUES of X    X
Enter row marix of VALUES of Y    Y
 Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
EX = X*PX'
EX = 0.1538

ex = total(t.*P)            % Alternate
ex = 0.1538
EY = Y*PY'
EY = 0.5000
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 0.1629
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 0.6176
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 0.0769

Вправа\(\PageIndex{12}\)

(Див. вправу 2 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли», m-файл npr08_02.m). Відкриті дві позиції для роботи в кампусі. Двоє другокурсників, три юніори та троє людей похилого віку. Вирішено вибрати два навмання (кожна можлива пара однаково вірогідна). \(X\)Дозволяти кількість другокурсників і\(Y\) бути кількістю юніорів, які відібрані. Визначте розподіл суглобів для\(\{X, Y\}\) і\(E[X]\)\(E[Y]\)\(E[X^2]\),,\(E[Y^2]\), і\(E[XY]\).

Відповідь

npr08_02
Data are in X, Y, Pn, P
jcalc
-----------------------
EX = X*PX'
EX = 0.5000
EY = Y*PY'
EY = 0.7500
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 0.5714
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 0.9643
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 0.2143

Вправа\(\PageIndex{13}\)

(Див. Вправу 3 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли», m-файл npr08_03.m). Прокочується плашка. Нехай X число плям, які з'являються вгору. Монета перевертається\(X\) раз. \(Y\)Дозволяти кількість голів, які повертаються вгору. Визначте розподіл суглоба по парі\(\{X, Y\}\). Припустімо\(P(X = k) = 1/6\) для\(1 \le k \le 6\) і для кожного\(k\),\(P(Y = j|X = k)\) має біноміальний\((k, 1/2)\) розподіл. Розташуйте стикову матрицю як на площині, зі значеннями\(Y\) збільшуються вгору. Визначаємо очікуване значення\(E[Y]\)

Відповідь

npr08_03
Data are in X, Y, P, PY
jcalc
-----------------------
EX = X*PX'
EX = 3.5000
EY = Y*PY'
EY = 1.7500
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 15.1667
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 4.6667
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 7.5833

Вправа\(\PageIndex{14}\)

(Див. Вправу 4 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли», m-файл npr08_04.m). Як варіант вправи, припустимо, що пара кубиків кидається замість однієї матриці. Визначте розподіл суглоба для\(\{X, Y\}\) і визначте\(E[Y]\).

Відповідь

npr08_04
Data are in X, Y, P
jcalc
-----------------------
EX = X*PX'
EX = 7
EY = Y*PY'
EY = 3.5000
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 54.8333
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 15.4583

Вправа\(\PageIndex{15}\)

(Див. Вправу 5 з "Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли «, m-файл npr08_05.m). Припустимо, кидається пара кубиків. \(X\)Дозволяти бути загальна кількість плям, які з'являються вгору. Скачайте пару додатково\(X\) раз. \(Y\)Дозволяти кількість сімок, які кидаються на\(X\) рулони. Визначте розподіл суглоба для\(\{X,Y\}\) і визначте\(E[Y]\)

Відповідь

npr08_05
Data are in X, Y, P, PY
jcalc
-----------------------
EX = X*PX'
EX = 7.0000
EY = Y*PY'
EY = 1.1667

Вправа\(\PageIndex{16}\)

(Див. Вправу 6 з "Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли «, m-файл npr08_06.m). Пара\(\{X,Y\}\) має спільний розподіл:

\(X = \)[-2.3 -0.7 1.1 3.9 5.1]\(Y =\) [1.3 2.5 4.1 5.3]

\(P = \begin{bmatrix} 0.0483 & 0.0357 & 0.0420 & 0.0399 & 0.0441 \\ 0.0437 & 0.0323 & 0.0380 & 0.0361 & 0.0399 \\ 0.0713 & 0.0527 & 0.0620 & 0.0609 & 0.0551 \\ 0.0667 & 0.0493 & 0.0580 & 0.0651 & 0.0589 \end{bmatrix}\)

Визначити\(E[X]\),\(E[Y]\),\(E[X^2]\),\(E[Y^2]\) і\(E[XY]\).

Відповідь

npr08_06
Data are in X, Y, P
jcalc
---------------------
EX = X*PX'
EX = 1.3696
EY = Y*PY'
EY = 3.0344
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 9.7644
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 11.4839
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 4.1423

Вправа\(\PageIndex{17}\)

(Див. Вправу 7 з "Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли «, m-файл npr08_07.m). Пара\(\{X, Y\}\) має спільний розподіл:

\(P(X = t, Y = u)\)

т =	-3.1	-0.5	1.2	2.4	3.7	4.9
у = 7,5	0,0090	0,0396	0.0594	0.0216	0.0440	0.0203
4.1	0.0495	0	0,1089	0.0528	0.0363	0.0231
-2.0	0.0405	0.1320	0.0891	0.0324	0.0297	0.0189
-3.8	0.0510	0,0484	0.0726	0.0132	0	0,0077

Визначте\(E[X]\)\(E[Y]\),\(E[X^2]\),,\(E[Y^2]\) і\(E[XY]\).

Відповідь

npr08_07
Data are in X, Y, P
jcalc
---------------------
EX = X*PX'
EX = 0.8590
EY = Y*PY'
EY = 1.1455
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 5.8495
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 19.6115
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 3.6803

Вправа\(\PageIndex{18}\)

(Див. Вправу 8 з "Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли «, m-файл npr08_08.m). Пара\(\{X, Y\}\) має спільний розподіл:

\(P(X = t, Y = u)\)

т =	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19
у = 12	0.0156	0.0191	0,0081	0,0035	0,0091	0,0070	0,0098	0.0056	0,0091	0,0049
10	0,0064	0.0204	0.0108	0,0040	0,0054	0,0080	0.0112	0,0064	0.0104	0.0056
9	0.0196	0.0256	0.0126	0,0060	0.0156	0.0120	0.0168	0,0096	0.0056	0,0084
5	0.0112	0.0182	0.0108	0,0070	0.0182	0,0140	0.0196	0,0012	0.0182	0,0038
3	0,0060	0.0260	0.0162	0,0050	0,0160	0,0200	0.0280	0,0060	0,0160	0,0040
-1	0,0096	0.0056	0,0072	0,0060	0.0256	0.0120	0.0268	0,0096	0.0256	0,0084
-3	0,0044	0.0134	0,0180	0,0140	0.0234	0,0180	0.0252	0.0244	0.0234	0.0126
-5	0,0072	0,0017	0,0063	0,0045	0.0167	0,0090	0,0026	0.0172	0.0217	0.0223

Визначте\(E[X]\)\(E[Y]\),\(E[X^2]\),,\(E[Y^2]\) і\(E[XY]\).

Відповідь

npr08_08
Data are in X, Y, P
jcalc
---------------------
EX = X*PX'
EX = 10.1000
EY = Y*PY'
EY = 3.0016
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 133.0800
EY2 = (Y.^2)*PY'
EY2 = 41.5564
EXY = total(t.*u.*P)
EXY = 22.2890

Вправа\(\PageIndex{19}\)

(Див. Вправу 9 з "Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли «, m-файл npr08_09.m). Зберігалися дані про вплив часу навчання на час виконання роботи на виробничій лінії. \(X\)це кількість тренувань, в годині, і\(Y\) це час для виконання завдання, в хвилинах. Дані такі:

\(P(X = t, Y = u)\)

т =	1	1.5	2	2.5	3
u = 5	0.039	0.011	0,005	0,001	0,001
4	0.065	0,070	0,050	0,015	0,010
3	0.031	0.061	0.137	0,051	0,033
2	0,012	0.049	0.163	0,058	0.039
1	0,003	0,009	0,045	0,025	0,017

Визначте\(E[X]\)\(E[Y]\),\(E[X^2]\),,\(E[Y^2]\) і\(E[XY]\).

Відповідь

npr08_09
Data are in X, Y, P
jcalc
---------------------
EX = X*PX'
EX = 1.9250
EY = Y*PY'
EY = 2.8050
EX2 = (X.^2)*PX'
EX2 = 4.0375
EY2 = (Y.^2)*PY'           EXY = total(t.*u.*P)
EY2 = 8.9850               EXY = 5.1410

Для ущільнень суглобів у вправі 20-32 нижче

а Визначити аналітично\(E[X]\),\(E[Y]\),\(E[X^2]\),\(E[Y^2]\) і\(E[XY]\).

б Використовуйте дискретне наближення для\(E[X]\),\(E[Y]\),\(E[X^2]\),\(E[Y^2]\) і\(E[XY]\).

Вправа\(\PageIndex{20}\)

(Див. вправу 10 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільні розподіли»). \(f_{XY}(t, u) = 1\)для\(0 \le t \le 1\). \(0 \le u \le 2(1-t)\).

\(f_X(t) = 2(1 -t)\),\(0 \le t \le 1\),\(f_Y(u) = 1 - u/2\),\(0 \le u \le 2\)

Відповідь

\(E[X] = \int_{0}^{1} 2t(1 - t)\ dt = 1/3\),\(E[Y] = 2/3\),\(E[X^2] = 1/6\),\(E[Y^2] = 2/3\)

\(E[XY] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2(1-t)} tu\ dudt = 1/6\)

tuappr: [0 1] [0 2] 200 400  u<=2*(1-t)
EX = 0.3333    EY = 0.6667    EX2 = 0.1667    EY2 = 0.6667
EXY = 0.1667 (use t, u, P)

Вправа\(\PageIndex{21}\)

(Див. Вправу 11 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). \(f_{XY} (t, u) = 1/2\)на квадраті з вершинами в (1, 0), (2, 1) (1, 2), (0, 1).

\(f_{X} (t) = f_{Y} (t) = I_{[0, 1]} (t) t + I_{(1, 2]} (t) (2 - t)\)

Відповідь

\(E[X] = E[Y] = \int_{0}^{1} t^2 \ dt + \int_{1}^{t} (2t - t^2) \ dt = 1\),\(E[X^2] = E[Y^2] = 7/6\)

\(E[XY] = (1/2) \int_{0}^{1} \int_{1 - t}^{1 + t} dt dt + (1/2) \int_{1}^{2} \int_{t - 1}^{3 - t} du dt = 1\)

tuappr: [0 2] [0 2] 200 200  0.5*(u<=min(t+1,3-t))&(u>=max(1-t,t-1))
EX = 1.0000    EY = 1.0002    EX2 = 1.1684    EY2 = 1.1687    EXY = 1.0002

Вправа\(\PageIndex{22}\)

(Див. Вправу 12 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). \(f_{XY} (t, u) = 4t (1 - u)\)для\(0 \le t \le 1\). \(0 \le u \le 1\)

\(f_X (t) = 2t\),\(0 \le t \le 1\),\(f_Y(u) = 2(1 - u)\),\(0 \le u \le 1\)

Відповідь

\(E[X] = 2/3\),\(E[Y] = 1/3\),\(E[X^2] = 1/2\),\(E[Y^2] = 1/6\),\(E[XY] = 2/9\)

tuappr: [0 1] [0 1] 200 200  4*t.*(1-u)
EX = 0.6667    EY = 0.3333    EX2 = 0.5000    EY2 = 0.1667    EXY = 0.2222

Вправа\(\PageIndex{23}\)

(Див. Вправу 13 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{1}{8} (t + u)\)для\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le 2\)

\(f_{X} (t) = f_{Y} (t) = \dfrac{1}{4} (t + 1)\),\(0 \le t \le 2\)

Відповідь

\(E[X] = E[Y] = \dfrac{1}[4} \int_{0}^{2} (t^2 + t) \ dt = \dfrac{7}{6}\),\(E[X^2] = E[Y^2] = 5/3\)

\(E[XY] = \dfrac{1}{8} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} (t^2u + tu^2) \ dudt = \dfrac{4}{3}\)

tuappr: [0 1] [0 1] 200 200  4*t.*(1-u)
EX = 1.1667    EY = 1.1667    EX2 = 1.6667    EY2 = 1.6667    EXY = 1.3333

Вправа\(\PageIndex{24}\)

(Див. Вправу 14 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). \(f_{XY} (t, u) = 4ue^{-2t}\)для\(0 \le t, 0 \le u \le 1\)

\(f_X (t) = 2e^{-2t}\),\(0 \le t\),\(f_Y(u) = 2u\),\(0 \le u \le 1\)

Відповідь

\(E[X] = \int_{0}^{\infty} 2te^{-2t} \ dt = \dfrac{1}{2}\),\(E[Y] = \dfrac{2}{3}\),\(E[X^2] = \dfrac{1}{2}\),\(E[Y^2] = \dfrac{1}{2}\),\(E[XY] = \dfrac{1}{3}\)

tuappr: [0 6] [0 1] 600 200  4*u.*exp(-2*t)
EX = 0.5000    EY = 0.6667    EX2 = 0.4998    EY2 = 0.5000    EXY = 0.3333

Вправа\(\PageIndex{25}\)

(Див. Вправу 15 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{88} (2t + 3u^2)\)для\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le 1 + t\).

\(f_X(t) = \dfrac{3}{88} (1 + t) (1 + 4t + t^2) = \dfrac{3}{88} (1 + 5t + 5t^2 + t^3)\),\(0 \le t \le 2\)

\(f_Y(t) = I_{[0, 1]} (u) \dfrac{3}{88} (6u^2 + 4) + I_{(1, 3]} (u) \dfrac{3}{88} (3 + 2u + 8u^2 - 3u^3)\)

Відповідь

\(E[X] = \dfrac{313}{220}\),\(E[Y] = \dfrac{1429}{880}\),\(E[X^2] = \dfrac{49}{22}\),\(E[Y^2] = \dfrac{172}{55}\),\(E[XY] = \dfrac{2153}{880}\)

tuappr: [0 2] [0 3] 200 300  (3/88)*(2*t + 3*u.^2).*(u<1+t)
EX = 1.4229    EY = 1.6202    EX2 = 2.2277    EY2 = 3.1141    EXY = 2.4415

Вправа\(\PageIndex{26}\)

(Див. Вправу 16 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). \(f_{XY} (t, u) = 12t^2 u\)на паралелограмі з вершинами

(-1, 0), (0, 0), (1, 1), (0, 1)

\(f_X(t) = I_{[-1, 0]} (t) 6t^2 (t + 1)^2 + I_{(0, 1]} (t) 6t^2 (1 - t^2)\),\(f_Y(u) 12u^3 - 12u^2 + 4u\),\(0 \le u \le 1\)

Відповідь

\(E[X] = \dfrac{2}{5}\),\(E[Y] = \dfrac{11}{15}\),\(E[X^2] = \dfrac{2}{5}\),\(E[Y^2] = \dfrac{3}{5}\),\(E[XY] = \dfrac{2}{5}\)

tuappr: [-1 1] [0 1] 400 300  12*t.^2.*u.*(u>=max(0,t)).*(u<=min(1+t,1))
EX = 0.4035    EY = 0.7342    EX2 = 0.4016    EY2 = 0.6009    EXY = 0.4021

Вправа\(\PageIndex{27}\)

(Див. Вправу 17 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{24}{11} tu\)для\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{1, 2-t\}\).

\(f_X (t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{12}{11}t + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{12}{11} t (2 - t)^2\),\(f_Y(u) = \dfrac{12}{11} u(u - 2)^2\),\(0 \le u \le 1\)

Відповідь

\(E[X] = \dfrac{52}{55}\),\(E[Y] = \dfrac{32}{55}\),\(E[X^2] = \dfrac{57}{55}\),\(E[Y^2] = \dfrac{2}{5}\),\(E[XY] = \dfrac{28}{55}\)

tuappr: [0 2] [0 1] 400 200  (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t))
EX = 0.9458    EY = 0.5822    EX2 = 1.0368    EY2 = 0.4004    EXY = 0.5098

Вправа\(\PageIndex{28}\)

(Див. Вправу 18 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{23} (t + 2u)\)для\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{max } \{2 - t, t\}\).

\(f_X (t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{6}{23} (2 - t) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{23} t^2\),\(f_Y(u) = I_{[0, 1]} (u) \dfrac{6}{23} (2u + 1) + I_{(1, 2]} (u) \dfrac{3}{23} (4 + 6u - 4u^2)\)

Відповідь

\(E[X] = \dfrac{53}{46}\),\(E[Y] = \dfrac{22}{23}\),\(E[X^2] = \dfrac{397}{230}\),\(E[Y^2] = \dfrac{261}{230}\),\(E[XY] = \dfrac{251}{230}\)

tuappr: [0 2] [0 2] 200 200  (3/23)*(t + 2*u).*(u<=max(2-t,t))
EX = 1.1518    EY = 0.9596    EX2 = 1.7251    EY2 = 1.1417    EXY = 1.0944

Вправа\(\PageIndex{29}\)

(Див. Вправу 19 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{179} (3t^2 + u)\), для\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{2, 3 - t\}\).

\(f_X (t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{24}{179} (3t^2 + 1) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{179} (9 - 6t + 19t^2 - 6t^3)\)

\(f_Y (u) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{24}{179} (4 + u) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{12}{179} (27 - 24u + 8u^2 - u^3)\)

Відповідь

\(E[X] = \dfrac{2313}{1790}\),\(E[Y] = \dfrac{778}{895}\),\(E[X^2] = \dfrac{1711}{895}\),\(E[Y^2] = \dfrac{916}{895}\),\(E[XY] = \dfrac{1811}{1790}\)

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (12/179)*(3*t.^2 + u).*(u<=min(2,3-t))
EX = 1.2923    EY = 0.8695    EX2 = 1.9119    EY2 = 1.0239    EXY = 1.0122

Вправа\(\PageIndex{30}\)

(Див. Вправу 20 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{227} (3t + 2tu)\), для\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{1 + t, 2\}\).

\(f_X (t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{12}{227} (t^3 + 5t^2 + 4t) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{120}{227} t\)

\(f_Y (u) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{24}{227} (2u + 3) + I_{(1, 2]} (u) \dfrac{6}{227} (2u + 3) (3 + 2u - u^2)\)

\( = I_{[0, 1]} (u) \dfrac{24}{227} (2u + 3) + I_{(1, 2]} (u) \dfrac{6}{227} (9 + 12u + u^2 - 2u^3)\)

Відповідь

\(E[X] = \dfrac{1567}{1135}\),\(E[Y] = \dfrac{2491}{2270}\),\(E[X^2] = \dfrac{476}{227}\),\(E[Y^2] = \dfrac{1716}{1135}\),\(E[XY] = \dfrac{5261}{3405}\)

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (12/227)*(3*t + 2*t.*u).*(u<=min(1+t,2))
EX = 1.3805    EY = 1.0974    EX2 = 2.0967    EY2 = 1.5120    EXY = 1.5450

Вправа\(\PageIndex{31}\)

(Див. Вправу 21 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{2}{13} (t + 2u)\), для\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{2t, 3-t\}\).

\(f_X (t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{12}{13} t^2 + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{13} (3 - t)\)

\(f_Y(u) = I_{[0, 1]} (u) (\dfrac{4}{13} + \dfrac{8}{13} u - \dfrac{9}{52} u^2) + I_{(1, 2]} (u) (\dfrac{9}{13} + \dfrac{6}{13} u - \dfrac{51}{52} u^2)\)

Відповідь

\(E[X] = \dfrac{16}{13}\),\(E[Y] = \dfrac{11}{12}\),\(E[X^2] = \dfrac{219}{130}\),\(E[Y^2] = \dfrac{83}{78}\),\(E[XY] = \dfrac{431}{390}\)

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (2/13)*(t + 2*u).*(u<=min(2*t,3-t))
EX = 1.2309    EY = 0.9169    EX2 = 1.6849    EY2 = 1.0647    EXY = 1.1056

Вправа\(\PageIndex{32}\)

(Див. Вправу 22 з розділу «Задачі про випадкові вектори та спільний розподіл»).

\(f_{XY} (t, u) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{3}{8} (t^2 + 2u) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{9}{14} t^2 u^2\), для\(0 \le u \le 1\).

\(f_X(t) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{3}{8} (t^2 + 1) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{3}{14} t^2\),\(f_Y(u) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{4} u + \dfrac{3}{2} u^2\) (0\ ле у\ ле 1\)

Відповідь

\(E[X] = \dfrac{243}{224}\),\(E[Y] = \dfrac{11}{16}\),\(E[X^2] = \dfrac{107}{70}\),\(E[Y^2] = \dfrac{127}{240}\),\(E[XY] = \dfrac{347}{448}\)

tuappr: [0 2] [0 1] 400 200  (3/8)*(t.^2 + 2*u).*(t<=1) + (9/14)*(t.^2.*u.^2).*(t > 1)
EX = 1.0848    EY = 0.6875    EX2 = 1.5286    EY2 = 0.5292    EXY = 0.7745

Вправа\(\PageIndex{33}\)

Клас\(\{X, Y, Z\}\) випадкових величин iid (незалежний, ідентично розподілений) із загальним розподілом

\(X =\)[-5 -1 3 4 7]\(PX =\) 0,01 * [15 20 30 25 10]

Нехай\(W = 3X - 4Y + 2Z\). Визначте\(E[W]\). Зробіть це за допомогою icalc, потім повторіть з icalc3 і порівняйте результати.

Відповідь

Використовувати\(x\) і не\(px\) допускати перейменування.

x = [-5 -1 3 4 7];
px = 0.01*[15 20 30 25 10];
icalc
Enter row matrix of X-values  x
Enter row matrix of Y-values  x
Enter X probabilities px
Enter Y probabilities px
 Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
 G = 3*t - 4*u
 [R,PR] = csort(G,P);
 icalc
Enter row matrix of X-values  R
Enter row matrix of Y-values  x
Enter X probabilities  PR
Enter Y probabilities  px
 Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
H = t + 2*u;
EH = total(H.*P)
EH = 1.6500
[W,PW] = csort(H,P);  % Alternate
EW = W*PW'
EW = 1.6500
icalc3                % Solution with icalc3
Enter row matrix of X-values  x
Enter row matrix of Y-values  x
Enter row matrix of Z-values  x
Enter X probabilities  px
Enter Y probabilities  px
Enter Z probabilities  px
Use array operations on matrices X, Y, Z,
PX, PY, PZ, t, u, v, and P
K = 3*t - 4*u + 2*v;
EK = total(K.*P)
EK = 1.6500

Вправа\(\PageIndex{34}\)

(Див. Вправа 5 з «Задачі про функції випадкових величин») Культурний комітет студентської організації організував спеціальну пропозицію на квитки на концерт. Угода полягає в тому, що організація придбає десять квитків по 20 доларів кожен (незалежно від кількості окремих покупців). Додаткові квитки доступні за наступним розкладом:

11-20, $18 кожен; 21-30 $16 кожен; 31-50, $15 кожен; 51-100, $13 кожен

Якщо кількість покупців є випадковою величиною\(X\), загальна вартість (у доларах) - це випадкова величина,\(Z = g(X)\) описана

\(g(X) = 200 + 18I_{M1} (X) (X - 10) + (16 - 18) I_{M2} (X) (X - 20) +\)

\((15 - 16) I_{M3} (X) (X - 30) + (13 - 15) I_{M4} (X) (X - 50)\)

де\(M1 = [10, \infty)\),\(M2 = [20, \infty)\),\(M3 = [30, \infty)\),\(M4 = [50, \infty)\)

Припустимо\(X\) ~ Пуассон (75). Приблизний розподіл Пуассона шляхом усічення на 150. Визначте\(E[Z]\) і\(E[Z^2]\).

Відповідь

X = 0:150;
PX = ipoisson(75, X);
G = 200 + 18*(X - 10).*(X>=10) + (16 - 18)*(X - 20).*(X>=20) + ...
      (15 - 16)*(X - 30).*(X>=30) + (13 - 15)*(X>=50);
[Z,PZ] = csort(G,PX);
EZ = Z*PZ'
EZ = 1.1650e+03
EZ2 = (Z.^2)*PZ'
EZ2 = 1/3699e+06

Вправа\(\PageIndex{35}\)

Пара\(\{X, Y\}\) має спільний розподіл (в m-файлі npr08_07.m):

\(P(X = t, Y = u)\)

т =	-3.1	-0.5	1.2	2.4	3.7	4.9
у = 7,5	0,0090	0,0396	0.0594	0.0216	0.0440	0.0203
4.1	0.0495	0	0,1089	0.0528	0.0363	0.0231
-2.0	0.0405	0.1320	0.0891	0.0324	0.0297	0.0189
-3.8	0.0510	0,0484	0.0726	0.0132	0	0,0077

Нехай\(Z = g(X, Y) = 3X^2 + 2XY - Y^2)\). Визначте\(E[Z]\) і\(E[Z^2]\).

Відповідь

npr08_07
Data are in X, Y, P
jcalc
------------------
G = 3*t.^2 + 2*t.*u - u.^2;
EG = total(G.*P)
EG = 5.2975
ez2 = total(G.^2.*P)
EG2 = 1.0868e+03
[Z,PZ] = csort(G,P);        % Alternate
EZ = Z*PZ'
EZ = 5.2975
EZ2 = (Z.^2)*PZ'
EZ2 = 1.0868e+03

Вправа\(\PageIndex{36}\)

Для пари\(\{X, Y\}\) у вправі 11.3.35 нехай

\(W = g(X, Y) = \begin{cases} X & \text{for } X + Y \le 4 \\ 2Y & \text{for } X+Y > 4 \end{cases} = I_M (X, Y) X + I_{M^c} (X, Y)2Y\)

Визначте\(E[W]\) і\(E[W^2]\).

Відповідь

H = t.*(t+u<=4) + 2*u.*(t+u>4);
EH = total(H.*P)
EH = 4.7379
EH2 = total(H.^2.*P)
EH2 = 61.4351
[W,PW] = csort(H,P);    %Alternate
EW = W*PW'
EW = 4.7379
EW2 = (W.^2)*PW'
EW2 = 61.4351

Для розподілу у Вправи 37-41 нижче

a. визначити аналітично\(E[Z]\) і\(E[Z^2]\)
б. використовувати дискретне наближення для обчислення однакових величин.

Вправа\(\PageIndex{37}\)

\(f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{88} (2t + 3u^2)\)для\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le 1+t\) (див. Вправу 25).

\(Z = I_{[0, 1]} (X)4X + I_{(1,2]} (X)(X+Y)\)

Відповідь

\(E[Z] = \dfrac{3}{88} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 + t} 4t (2t + 3u^2)\ dudt + \dfrac{3}{88} \int_{1}^{2} \int_{0}^{1 + t} (t + u) (2t + 3u^2)\ dudt = \dfrac{5649}{1760}\)

\(E[Z^2] = \dfrac{3}{88} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 + t} (4t)^2 (2t + 3u^2)\ dudt + \dfrac{3}{88} \int_{1}^{2} \int_{0}^{1 + t} (t + u)^2 (2t + 3u^2)\ dudt = \dfrac{4881}{440}\)

tuappr: [0 2] [0 3] 200 300 (3/88)*(2*t+3*u.^2).*(u<=1+t)
G = 4*t.*(t<=1) + (t + u).*(t>1);
EG = total(G.*P)
EG = 3.2086
EG2 = total(G.^2.*P)
EG2 = 11.0872

Вправа\(\PageIndex{38}\)

\(f_{XY} (t, u) = \dfrac{24}{11} tu\)для\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{1, 2 - t\}\) (див. Вправу 27)

\(Z = I_M(X, Y) \dfrac{1}{2}X + I_{M^c} (X, Y) Y^2\),\(M = \{(t, u) : u > t\}\)

Відповідь

\(E[Z] = \dfrac{12}{11} \int_{0}^{1} \int_{t}^{1} t^2u\ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{0}^{1} \int_{0}^{t} tu^3\ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 - t} tu^3\ dudt = \dfrac{16}{55}\)

\(E[Z^2] = \dfrac{6}{11} \int_{0}^{1} \int_{t}^{1} t^3u\ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{0}^{1} \int_{0}^{t} tu^5\ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 - t} tu^5\ dudt = \dfrac{39}{308}\)

tuappr: [0 2] [0 1] 400 200  (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t))
G = (1/2)*t.*(u>t) + u.^2.*(u<=t);
EZ = 0.2920 EZ2 = 0.1278

Вправа\(\PageIndex{39}\)

\(f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{23} (t + 2u)\)для\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{max } \{2 - t, t\}\) (див. Вправу 28)

\(Z = I_M (X, Y) (X + Y) + I_{M^c} (X, Y)2Y\),\(M = \{(t, u): \text{max } (t, u) \le 1\}\)

Відповідь

\(E[Z] = \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (t + u) (t + 2u) \ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2 - t} 2u (1 + 2u)\ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{1}^{2} \int_{1}^{t} 2u (t + 2u)\ dudt = \dfrac{175}{92}\)

\(E[Z^2] = \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (t + u)^2 (t + 2u) \ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2 - t} 4u^2 (1 + 2u)\ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{1}^{2} \int_{1}^{t} 4u^2 (t + 2u)\ dudt = \)

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (3/23)*(t+2*u).*(u<=max(2-t,t))
M = max(t,u)<=1;
G = (t+u).*M + 2*u.*(1-M);
EZ = total(G.*P)
EZ = 1.9048
EZ2 = total(G.^2.*P)
EZ2 = 4.4963

Вправа\(\PageIndex{40}\)

\(f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{179} (3t^2 + u)\), для\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{2, 3-t\}\) (див. Вправу 19)

\(Z = I_M (X,Y) (X + Y) + I_{M^c} (X, Y) 2Y^2\),\(M = \{(t, u): t \le 1, u \ge 1\}\)

Відповідь

\(E[Z] = \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} (t + u) (3t^2 + u)\ dudt + \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 2u^2 (3t^2 + u)\ dudt + \dfrac{12}{179} \int_{1}^{2} \int_{0}^{3 - t} 2u^2 (3t^2 + u)\ dudt = \dfrac{1422}{895}\)

\(E[Z^2] = \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} (t + u)^2 (3t^2 + u)\ dudt + \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 4u^4 (3t^2 + u)\ dudt + \dfrac{12}{179} \int_{1}^{2} \int_{0}^{3 - t} 4u^4 (3t^2 + u)\ dudt = \dfrac{28296}{6265}\)

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (12/179)*(3*t.^2 + u).*(u <= min(2,3-t))
M = (t<=1)&(u>=1);
G = (t + u).*M + 2*u.^2.*(1 - M);
EZ = total(G.*P)
EZ = 1.5898
EZ2 = total(G.^2.*P)
EZ2 = 4.5224

Вправа\(\PageIndex{41}\)

\(f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{227} (2t + 2tu)\), для\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{1 + t, 2\}\) (див. Вправа 30).

\(Z = I_M (X, Y) X + I_{M^c} (X, Y) XY\),\(M = \{(t, u): u \le \text{min } (1, 2 - t)\}\)

Відповідь

\(E[Z] = \dfrac{12}{227} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} t (3t + 2tu) \ dudt + \dfrac{12}{227} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 - t} t(3t + 2tu)\ dudt +\)

\(\dfrac{12}{227} \int_{0}^{1} \int_{1}^{1 + t} tu(3t + 2tu)\ dudt + \dfrac{12}{227} \int_{1}^{2} \int_{2 - t}^{2} tu (3t + 2tu)\ dudt = \dfrac{5774}{3405}\)

\(E[Z^2] = \dfrac{56673}{15890}\)

tuappr: [0 2] [0 2] 400 400  (12/227)*(3*t + 2*t.*u).*(u <= min(1+t,2))
M = u <= min(1,2-t);
G = t.*M + t.*u.*(1 - M);
EZ = total(G.*P)
EZ = 1.6955
EZ2 = total(G.^2.*P)
EZ2 = 3.5659

Вправа\(\PageIndex{42}\)

Клас\(\{X, Y, Z\}\) незалежний. (Див. Вправу 16 з «Задачі про функції випадкових величин», m-файл npr10_16.m)

\(X = -2I_A + I_B + 3I_C\). Мінтермальні ймовірності є (у звичайному порядку)

0,255 0,025 0,375 0,045 0,0108 0.012 0.162 0,018

\(Y = I_D + 3I_E + I_F - 3\). Клас\(\{D, E, F\}\) незалежний з

\(P(D) = 0.32\)\(P(E) = 0.56\)\(P(F) = 0.40\)

\(Z\)має дистрибутив

Значення	-1.3	1.2	2.7	3.4	5.8
Імовірність	0,12	0,24	0,43	0,13	0,08

\(W = X^2 + 3XY^2 - 3Z\). Визначте\(E[W]\) і\(E[W^2]\).

Відповідь

npr10_16
Data are in cx, pmx, cy, pmy, Z, PZ
[X,PX] = canonicf(cx,pmx);
[Y,PY] - canonicf(cy,pmy);
icalc3
input: X, Y, Z, PX, PY, PZ
-------------
Use array operations on matrices X, Y, Z.
PX, PY, PZ, t, u, v, and P
G = t.^2 + 3*t.*u.^2 - 3*v;
[W,PW] = csort(G,P);
EW = W*PW'
EW = -1.8673
EW2 = (W.^2)*PW'
EW2 = 426.8529