3.2: Задачі щодо умовної ймовірності

Вправа$\PageIndex{1}$

З огляду на наступні дані:

$P(A) = 0.55$,$P(AB) = 0.30$,$P(BC) = 0.20$,$P(A^c \cup BC) = 0.55$,$P(A^c BC^c) = 0.15$

Визначте, по можливості, умовну ймовірність$P(A^c|B) = P(A^cB)/P(B)$.

Відповідь

% file npr03_01.m
% Data for Exercise 3.2.1.
minvec3
DV = [A|Ac; A;  A&B; B&C; Ac|(B&C); Ac&B&Cc];
DP = [ 1   0.55 0.30 0.20   0.55     0.15  ];
TV = [Ac&B; B];
disp('Call for mincalc')
npr03_01
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.2500
    2.0000    0.5500
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 4
- - - - - - - - - - - -
P = 0.25/0.55
P =  0.4545

Вправа$\PageIndex{2}$

У вправі 11 з «Проблеми мінтермального аналізу» ми маємо такі дані: Опитування представницької групи студентів дає наступну інформацію:

• 52 відсотки - чоловіки
• 85 відсотків живуть у кампусі
• 78 відсотків - чоловіки або активні в очних видах спорту (або обидва)
• 30 відсотків живуть у кампусі, але не займаються спортом
• 32 відсотки чоловіків, живуть у кампусі та займаються спортом
• 8 відсотків чоловіків і живуть поза кампусом
• 17 відсотків є студентами-чоловіками, неактивними у спорті

Нехай A = чоловік, B = на кампусі, C = активний у спорті.

1. Студент вибирається навмання. Він чоловік і живе в кампусі. Яка (умовна) ймовірність того, що він активний у спорті?
2. Обраний студент активно займається спортом. Яка (умовна) ймовірність того, що вона жінка, яка живе на території кампусу?

Відповідь

npr02_11
- - - - - - - - - - - -
mincalc
- - - - - - - - - - - -
mincalct
Enter matrix of target Boolean combinations  [A&B&C; A&B; Ac&B&C; C]
 Computable target probabilities
    1.0000    0.3200
    2.0000    0.4400
    3.0000    0.2300
    4.0000    0.6100
PC_AB = 0.32/0.44
PC_AB =  0.7273
PAcB_C = 0.23/0.61
PAcB_C = 0.3770

Вправа$\PageIndex{3}$

У певної популяції ймовірність того, що жінка доживе як мінімум до сімдесяти років, становить 0,70 і становить 0,55, що вона доживе як мінімум до вісімдесяти років. Якщо жінці виповнилося сімдесят років, яка умовна ймовірність вона доживе до вісімдесяти років? Зверніть увагу, що якщо$A \subset B$ тоді$P(AB) = P(A)$.

Відповідь

Нехай$A=$ подія вона живе до сімдесяти, а$B=$ подія доживе до вісімдесяти. З тих пір$B \subset A$,$P(B|A) = P(AB)/P(A) = P(B)/P(A) = 55/70$.

Вправа$\PageIndex{4}$

З 100 карт під номером 00, 01, 02$\cdot\cdot\cdot$, 99 витягується одна карта. Припустимо, A _i - подія сума двох цифр на картці$i$$0 \le i \le 18$, і$B_j$ є подією добуток двох цифр$j$. Визначте$P(A_i|B_0)$ для кожного з можливих$i$.

Відповідь

$B_0$це подія один з перших десяти розіграш. $A_i B_0$це подія, коли$0i$ малюється карта з цифрами. $P(a_i|B_0) = (1/100)/(1/10) = 1/10$для кожного$i$, від 0 до 9.

Вправа$\PageIndex{5}$

Два чесних кубика розкочуються.

1. Яка (умовна) ймовірність того, що один виявляється двома плямами, враховуючи, що вони показують різні числа?
2. Яка (умовна) ймовірність того, що перший виявляється шість, враховуючи, що сума є$k$, для кожного$k$ від двох до 12?
3. Яка (умовна) ймовірність того, що принаймні один виявляється шість, враховуючи, що сума є$k$, для кожного$k$ від двох до 12?

Відповідь

а. є$6 \times 5$ способи, щоб вибрати всі різні. Є$2 \times 5$ способи, що вони різні, і один виявляється два плями. Умовна ймовірність 2/6.

b. нехай$A_6$ = подія перша є шісткою, а$S_k =$ подія сума дорівнює$k$. Тепер$A_6S_k = \emptyset$ для$k \le 6$. Таблиця сум показує$P(A_6S_k) = 1/36$ і$P(S_k) = 6/36, 5/36, 4/36, 3/36, 2/36, 1/36$ для$k = 7$ через 12 відповідно. Звідси$P(A_6|S_k) = 1/6, 1/5. 1/4, 1/3. 1/2, 1$, відповідно.

c. якщо$AB_6$ подія хоча б одна є шісткою, то$AB_6S_k) = 2/36$ для$k = 7$ через 11 і$P(AB_6S_12) = 1/36$. Таким чином, умовні ймовірності складають 2/6, 2/5, 2/4, 2/3, 1, 1 відповідно.

Вправа$\PageIndex{6}$

Чотири особи повинні бути обрані з групи з 12 осіб, 7 з яких - жінки.

1. Яка ймовірність того, що першим і третім відібраними є жінки?
2. Яка ймовірність того, що три з обраних - жінки?
3. Яка (умовна) ймовірність того, що перший і третій обраний - жінки, враховуючи, що три з обраних - жінки?

Відповідь

$P(W_1W_3) = P(W_1W_2W_3) + P(W_1W_2^c W_3) = \dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{6}{11} \cdot \dfrac{5}{10} + \dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{5}{11} \cdot \dfrac{6}{10} = \dfrac{7}{22}$

Вправа$\PageIndex{7}$

Двадцять відсотків картин в галереї не є оригіналами. Колекціонер купує картину. Він має ймовірність 0.10 придбати підробку для оригіналу, але ніколи не відкидає оригінал як підробку. Яка (умовна) ймовірність того, що картина, яку він купує, є оригіналом?

Відповідь

Нехай$B=$ подія купує колекціонер,$G=$ а подія картина оригінальна. Припустимо$P(B|G) = 1$ і$P(B|G^c) = 0.1$. Якщо$P(G) = 0.8$, то

$P(G|B) = \dfrac{P(GB)}{P(B)} = \dfrac{P(B|G) P(G)}{P(B|G)P(G) + P(B|G^c)P(G^c)} = \dfrac{0.8}{0.8 + 0.1 \cdot 0.2} = \dfrac{40}{41}$

Вправа$\PageIndex{8}$

П'ять відсотків одиниць певного типу обладнання, введеного в експлуатацію, мають загальний дефект. Досвід показує, що 93 відсотки одиниць з цим дефектом виявляють певну поведінкову характеристику, тоді як лише два відсотки одиниць, які не мають цього дефекту, виявляють цю характеристику. Одиниця досліджується і виявляється, що має характерний симптом. Яка умовна ймовірність того, що агрегат має дефект, враховуючи таку поведінку?

Відповідь

Нехай$D=$ подія блок несправний і$C=$ подія вона має характеристику. Потім$P(D) = 0.05$$P(C|D) = 0.93$, і$P(C|D^c) = 0.02$.

$P(D|C) = \dfrac{P(C|D) P(D)}{P(C|D) P(D) + P(C|D^c) P(D^c)} = \dfrac{0.93 \cdot 0.05}{0.93 \cdot 0.05 + 0.02 \cdot 0.95} = \dfrac{93}{131}$

Вправа$\PageIndex{9}$

Отримано партію 1000 електронних одиниць. Існує однаково вірогідна ймовірність того, що в партії є 0, 1, 2 або 3 дефектних одиниць. Якщо один обраний навмання і виявився хорошим, яка ймовірність відсутності дефектних одиниць в партії?

Відповідь

Нехай$D_k =$ подія$k$ бракована і$G$ буде подією вибрано хороше.

$P(D_0|G) = \dfrac{P(G|D_0) P(D_0)}{P(G|D_0) P(D_0) + P(G|D_1) P(D_1) + P(G|D_2) P(D_2) + P(G|D_3) P(D_3)}$

$= \dfrac{1 \cdot 1/4}{(1/4)(1 + 999/1000 + 998/1000 + 997/1000)} = \dfrac{1000}{3994}$

Вправа$\PageIndex{10}$

Дані про доходи і діапазони заробітної плати для певного населення аналізуються наступним чином. $S_1$= річний дохід події менше $25,000;$S_2$ = щорічний дохід події становить від $25,000 до $100,000;$S_3$ = щорічний дохід події перевищує $100,000. $E_1$= подія не завершила навчання в коледжі;$E_2$ = подія завершення бакалаврату;$E_3$ = подія завершення програми магістратури або професійного ступеня. Дані можуть бути зведені в таблицю наступним чином:$P(E_1) = 0.65$ ,$P(E_2) = 0.30$ and $P(E_3) = 0.05$.

$P(S_i|E_j)$

	$S_1$	$S_2$	$S_3$
$E_1$	0,85	0,10	0,05
$E_2$	0,10	0,80	0,10
$E_3$	0,05	0,50	0,45
$P(S_i)$	0,50	0,40	0,10

1. Визначте $P(E_3 S_3)$.
2. Припустимо, людина має університетську освіту (немає аспірантури). Яка (умовна) ймовірність того, що він або вона заробить $25 000 і більше?
3. Знайдіть загальну ймовірність того, що категорія доходів людини принаймні така ж висока, як і її освітній рівень.

Відповідь

а.$P(E_3S_3) = P(S_3|E_3)P(E_3) = 0.45 \cdot 0.05 = 0.0225$

b. $P(S_2 \vee S_3|E_2) = 0.80 + 0.10 = 0.90$

c. $p = (0.85 + 0.10 + 0.05) \cdot 0.65 + (0.80 + 0.10) \cdot 0.30 + 0.45 \cdot 0.05 = 0.9425$

Exercise $\PageIndex{11}$

In a survey, 85 percent of the employees say they favor a certain company policy. Previous experience indicates that 20 percent of those who do not favor the policy say that they do, out of fear of reprisal. What is the probability that an employee picked at random really does favor the company policy? It is reasonable to assume that all who favor say so.

Answer

$P(S) = 0.85$, $P(S|F^c) = 0.20$. Also, reasonable to assume $P(S|F) = 1$.

$P(S) = P(S|F) P(F) + P(S|F^c) [1 - P(F)]$ implies $P(F) = \dfrac{P(S) - P(S|F^c)}{1 - P(S|F^c)} = \dfrac{13}{16}$

Exercise $\PageIndex{12}$

A quality control group is designing an automatic test procedure for compact disk players coming from a production line. Experience shows that one percent of the units produced are defective. The automatic test procedure has probability 0.05 of giving a false positive indication and probability 0.02 of giving a false negative. That is, if $D$ is the event a unit tested is defective, and $T$ is the event that it tests satisfactory, then $P(T|D) = 0.05$ and $P(T^c|D^c) = 0.02$. Determine the probability $P(D^c|T)$ що одиниця, яка тестує добре, насправді не має дефектів.

Відповідь

$\dfrac{D^c|T}{P(D|T)} = \dfrac{P(T|D^c)P(D^c)}{P(T|D)P(D)} = \dfrac{0.98 \cdot 0.99}{0.05 \cdot 0.01} = \dfrac{9702}{5}$

$P(D^c|T) = \dfrac{9702}{9707} = 1 - \dfrac{5}{9707}$

Вправа$\PageIndex{13}$

П'ять коробок мікросхем оперативної пам'яті мають по 100 одиниць в коробці. Вони мають відповідно один, два, три, чотири і п'ять несправних блоків. Коробка вибирається випадковим чином, однаково імовірно, і одиниця вибирається випадковим чином з нього. Він несправний. Які (умовні) ймовірності одиниці були обрані з кожного з ящиків?

Відповідь

$H_i =$подія з коробки$i$. $P(H_i) = 1/5$і$P(D|H_i) = i/100$.

$P(H_i|D) = \dfrac{P(D|H_i) P(H_i)}{\sum P(D|H_i) P(H_j)} = i/15$,$1 \le i \le 5$

Вправа$\PageIndex{14}$

Два відсотки одиниць, отриманих на складі, є дефектними. Процедура неруйнівного контролю дає два відсотки хибнопозитивних показань і п'ять відсотків помилково негативних. Одиниці, які не пройшли перевірку, продаються рятувальній фірмі. Ця фірма застосовує коригувальну процедуру, яка не впливає на будь-який хороший блок і яка виправляє 90 відсотків дефектних одиниць. Клієнт купує одиницю у рятувальній фірмі. Це добре. Яка (умовна) ймовірність того, що агрегат спочатку був несправним?

Відповідь

Нехай$T$ = тест події вказує на несправність,$D$ = подія спочатку несправна, і блок$G =$ подій придбаний хороший. Дані є

$P(D) = 0.02$,$P(T^c|D) = 0.02$,$P(T|D^c) = 0.05$,$P(GT^c) = 0$,

$P(G|DT) = 0.90$,$P(G|D^cT) = 1$

$P(D|G) = \dfrac{P(GD)}{P(G)}$,$P(GD) = P(GTD) = P(D) P(T|D) P(G|TD)$

$P(G) = P(GT) = P(GDT) + P(GD^c T) = P(D) P(T|D) P(G|TD) + P(D^c) P(T|D^c) P(G|TD^c)$

$P(D|G) = \dfrac{0.02 \cdot 0.98 \cdot 0.90}{0.02 \cdot 0.98 \cdot 0.90 + 0.98 \cdot 0.05 \cdot 1.00} = \dfrac{441}{1666}$

Вправа$\PageIndex{15}$

На певному етапі судового розгляду суддя вважає, що шанси два до одного винний відповідач. Визначено, що відповідач ліворукий. Слідчий переконує суддю, що це в шість разів частіше, якщо підсудний винен, ніж якби він не був. Яка ймовірність, враховуючи ці докази, що винний підсудний?

Відповідь

Нехай$G$ = подія винний підсудний,$L$ = подія відповідач ліворуч. Попередні коефіцієнти:$P(G)/P(G^c) = 2$. Результат показань:$P(L|G)/P(L|G^c) = 6$.

$\dfrac{P(G|L)}{P(G^c|L)} = \dfrac{P(G)}{P(G^c)} \cdot \dfrac{P(L|G)}{P(L|G^c)} = 2 \cdot 6 = 12$

$P(G|L) = 12/13$

Вправа$\PageIndex{16}$

Покажіть, що якщо$P(A|C) > P(B|C)$ і$P(A|C^c) > P(B|C^c)$, то$P(A) > P(B)$. Чи вірно зворотне? Доведіть або наведіть контрприклад.

Відповідь

$P(A) = P(A|C) P(C) + P(A|C^c) P(C^c) > P(B|C) P(C) + P(B|C^c) P(C^c) = P(B)$.

Зворотне не відповідає дійсності. Розглянемо$P(C) = P(C^c) = 0.5$,$P(A|C) = 1/4$.

$P(A|C^c) = 3/4$,$P(B|C) = 1/2$, і$P(B|C^c) = 1/4$. Тоді

$1/2 = P(A) = \dfrac{1}{2} (1/4 + 3/4) > \dfrac{1}{2} (1/2 + 1/4) = P(B) = 3/8$

Але$P(A|C) < P(B|C)$.

Вправа$\PageIndex{17}$

Оскільки$P(\cdot |B)$ є мірою ймовірності для даного$B$, ми повинні мати$P(A|B) + P(A^c|B) = 1$. Побудувати приклад, щоб показати, що в цілому$P(A|B) + P(A|B^c) \ne 1$.

Відповідь

Припустимо,$A \subset B$ с$P(A) < P(B)$. Тоді$P(A|B) = P(A)/P(B) < 1$ і$P(A|B^c) = 0$ так сума менше одиниці.

Вправа$\PageIndex{18}$

Використовуйте властивість (CP4), щоб показати

а.$P(A|B) > P(A)$ iff$P(A|B^c) < P(A)$

б.$P(A^c|B) > P(A^c)$ іфф$P(A|B) < P(A)$

c.$P(A|B) > P(A)$ iff$P(A^c|B^c) > P(A^c)$

Відповідь

a.$P(A|B) > P(A)$$P(AB) > P(A) P(B)$ Відключити$P(AB^c) < P(A) P(B^c)$ вимкнення$P(A|B^c) < P(A)$

б.$P(A^c|B) > P(A^c)$$P(A^c B) > P(A^c) P(B)$ Відключити$P(AB) < P(A) P(B)$ вимкнення$P(A|B) < P(A)$

c.$P(A|B) > P(A)$$P(AB) > P(A) P(B)$ Відключити$P(A^c B^c) > P(A^c) P(B^c)$ вимкнення$P(A^c|B^c) > P(A^c)$

Вправа$\PageIndex{19}$

Покажіть, що$P(A|B) \ge (P(A) + P(B) - 1)/P(B)$.

Відповідь

$1 \ge P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(A|B) P(B)$. Проста алгебра дає бажаний результат.

Вправа$\PageIndex{20}$

Покажіть, що$P(A|B) = P(A|BC) P(C|B) + P(A|BC^c) P(C^c|B)$.

Відповідь

$P(A|B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} = \dfrac{P(ABC) + P(ABC^c)}{P(B)}$

$= \dfrac{P(A|BC) P(BC) + P(A|BC^c) P(BC^c)}{P(B)} = P(A|BC) P(C|B) + P(A|BC^c) P(C^c|B)$

Вправа$\PageIndex{21}$

Індивід повинен вибрати з числа$n$ альтернатив в спробі отримати конкретний. Це може бути вибір з відповідей на запитання з декількома варіантами вибору, коли правильний лише один. Нехай$A$ буде подія, яку він робить правильний вибір, і$B$ бути подією, яку він знає, яка є правильною, перш ніж зробити вибір. Ми припускаємо, що$P(B) = p$ і $P(A|B^c) = 1/n$. Визначте$P(B|A)$; show that $P(B|A) \ge P(B)$ and $P(B|A)$ increases with $n$ for fixed $p$.

Answer

$P(A|B) = 1$, $P(A|B^c) = 1/n$, $P(B) = p$

$P(B|A) = \dfrac{P(A|B) P(B)}{P(A|B) P(B) +P(A|B^c) P(B^c)} = \dfrac{p}{p + \dfrac{1}{n} (1 - p)} = \dfrac{np}{(n - 1) p + 1}$

$\dfrac{P(B|A)}{P(B)} = \dfrac{n}{np + 1 - p}$ increases from 1 to $1/p$ as $n \to \infty$

Exercise $\PageIndex{22}$

Polya's urn scheme for a contagious disease. An urn contains initially $b$ black balls and $r$ red balls $(r + b = n)$. A ball is drawn on an equally likely basis from among those in the urn, then replaced along with $c$ additional balls of the same color. The process is repeated. There are $n$ balls on the first choice, $n + c$ balls on the second choice, etc. Let $B_k$ be the event of a black ball on the $k$th draw and $R_k$ be the event of a red ball on the $k$th draw. Determine

a. $P(B_2|R_1)$
b. $P(B_1B_2)$
c. $P(R_2)$
d. $P(B_1|R_2)$

Answer

a. $P(B_2|R_1) = \dfrac{b}{n + c}$

b. $P(B_1B_2) = P(B_2) P(B_2|B_1) = \dfrac{b}{n} \cdot \dfrac{b + c}{n + c}$

c. $P(R_2) P(R_2|R_1) P(R_1) + P(R_2|B_1) P(B_1)$

$= \dfrac{r + c}{n + c} \cdot \dfrac{r}{n} + \dfrac{r}{n + c} \cdot \dfrac{b}{n} = \dfrac{r(r + c + b)}{n(n + c)}$

d. $P(B_1|R_2) = \dfrac{P(R_2|B_1) P(B_1)}{P(R_2)}$ with $P(R_2|B_1) P(B_1) = \dfrac{r}{n + c} \cdot \dfrac{b}{n}$. Using (c), we have

$P(B_1|R_2) = \dfrac{b}{r + b + c} = \dfrac{b}{n + c}$