Передмова

Це «перший курс» в тому сенсі, що він не передбачає жодного попереднього курсу ймовірності. Одиницями є модулі, взяті з неопублікованого тексту: Paul E. Pfeiffer, ЕЛЕМЕНТИ ПРИКЛАДНОЇ ЙМОВІРНОСТІ, ВИКОРИСТАННЯ MATLAB. Одиниці нумеруються так, як вони відображаються в тексті, хоча, звичайно, їх можна використовувати в будь-якому бажаному порядку. Для бажаючих скористатися порядком тексту надається контур, із зазначенням того, які модулі містять матеріал.

Математичними передумовами є звичайне числення та елементи матричної алгебри. Використовується кілька стандартних рядів та інтегралів, а подвійні інтеграли оцінюються як ітераційні інтеграли. Читач, який може оцінити прості інтеграли, може швидко навчитися на прикладах, як боротися з ітераційними інтегралами, що використовуються в теорії очікування та умовного очікування. Додаток Б надає зручний збірник математичних фактів, часто використовуваних в цій роботі. А символічний набір інструментів, який реалізує MAPLE, може бути використаний для оцінки інтегралів, за бажанням.

На додаток до введення в істотні особливості базової ймовірності з точки зору точної математичної моделі, робота описує та використовує визначені користувачем процедури і функції MATLAB (які ми називаємо m-програмами, або просто програмами) для вирішення багатьох важливі проблеми з основною ймовірністю. Це повинно зробити роботу корисною як окремою експозицією, так і доповненням до будь-якого з кількох діючих підручників.

Більшість програм, розроблених тут, були написані в більш ранніх версіях MATLAB, але були трохи переглянуті, щоб зробити їх цілком сумісними з MATLAB 7. У деяких випадках альтернативні реалізації доступні в наборі інструментів статистики, але реалізуються тут безпосередньо з базової програми MATLAB, так що студентам потрібна лише ця програма (і набір інструментів символічної математики, якщо вони бажають її допомоги в оцінці інтегралів).

Оскільки машинні методи вимагають точної постановки задач у відповідній математичній формі, необхідно надати певний додатковий аналітичний матеріал, головним чином так званий мінтерм-аналіз. Цей матеріал не тільки важливий для обчислювальних цілей, але і корисний при відображенні деякої структури взаємозв'язків між подіями.

Значна частина імовірнісного мислення «реального світу» є поєднанням інтуїтивних, правдоподібних міркувань та статистичних знань та розуміння. Математична ймовірність намагається надати точність такому аналізу ймовірностей, використовуючи відповідну математичну модель, яка втілює основні принципи та структуру. Успішна модель служить допоміжним засобом (а іноді і коригуючим) цьому типу мислення.

Певні поняття та закономірності виникли з досвіду та інтуїції. Математична формулювання (математична модель), яка найбільш успішно захопила ці істотні ідеї, корениться в теорії мір і відома як модель Колмогорова, на честь геніального російського математика А.Н.Колмогорова (1903-1987).

Неможливо довести, що модель є правильною. Тільки досвід може показати, чи корисна вона (а не некоректна). Корисність моделі Колмогорова встановлюється шляхом вивчення її структури та показу того, що закономірності невизначеності та ймовірності в будь-якій практичній ситуації можуть бути представлені адекватно. Розробки, такі як у цьому курсі, дали достатньо доказів такої корисності.

Найбільш плідний підхід характеризується взаємодією

У цій роботі ми широко використовуємо MATLAB як допоміжний засіб для аналізу. Я спробував написати програми MATLAB таким чином, щоб вони представляли собою корисні, готові інструменти для вирішення проблем. Після того, як користувач розуміє проблеми, які вони призначені для вирішення, використовувані стратегії вирішення та спосіб реалізації цих стратегій, колекція програм повинна забезпечити корисний ресурс.

Однак моя основна мета в експозиції та ілюстрації полягає в тому, щоб допомогти навчальному процесу та поглибити розуміння структури розглянутих проблем та стратегій, які використовуються для їх вирішення. Декілька функцій сприяють цьому.

1. Застосування машинних методів розчину вимагає точної рецептури. Наявні дані та основні припущення повинні бути організовані відповідним чином. Необхідна дисципліна для такого формулювання часто сприяє більш глибокому розумінню проблеми.

2. Розробка програми MATLAB для вирішення вимагає ретельної уваги до можливих стратегій вирішення. Не можна інструктувати машину без чіткого розуміння того, що потрібно зробити.

3. Звертаю увагу на завдання, які виконує програма, із загальним описом того, як MATLAB виконує поставлені завдання. Читач не зобов'язаний простежувати всі деталі програмування. Однак часто доступні ресурси MATLAB пропонують альтернативні стратегії рішення. Отже, для тих, хто так схильний, увага до деталей може бути плідною. Я включив, як окрему збірку, m-файли, написані для цієї роботи. Вони можуть бути використані як шаблони для розширень, а також програми в MATLAB для обчислень. Додаток А надає каталог цих m-файлів.

4. Деякі деталі в сценарії MATLAB є подробицями презентації. Це уточнення, які не є суттєвими для вирішення проблеми. Але вони роблять програми більш доступними для використання. І вони надають ілюстрації методик MATLAB для тих, хто може захотіти написати власні програми. Сподіваюся, багато хто буде схильний виходити за рамки цієї роботи, модифікуючи поточні програми або пишучи нові.

Оскільки програми забезпечують значну свободу від тягаря обчислень та тиранії таблиць (з їх обмеженими діапазонами та значеннями параметрів), до стандартних завдань можна підійти з новим духом експерименту та відкриття. Коли програма вибирається (або написана), вона втілює один спосіб вирішення. Можуть бути й інші, які легко реалізуються. Читачеві пропонується, навіть закликають, досліджувати! Користувач може експериментувати в якій мірі він або вона вважає корисним і цікавим. Можливості безмежні.

Після багатьох років ймовірності викладання, я вже давно втратив слід всіх тих авторів і книг, які сприяли розгляду ймовірності в цій роботі. Я знаю про ці внески і найбільше хочу визнати свою заборгованість, хоча обов'язково без конкретної атрибуції.

Потужність та корисність MATLAB повинні бути віднесені до давнього зобов'язання Клева Молера, який зробив пакет доступним у відкритому доступі протягом декількох років. Поява професійних версій, з розширеною потужністю та вдосконаленою документацією, призвело до подальшого оцінювання та використання його потенціалу у прикладній ймовірності.

Mathworks продовжує розвивати MATLAB та багато потужних «ящиків для інструментів», а також забезпечувати лідерство на багатьох етапах сучасних обчислень. Вони щедро зробили доступним MATLAB 7, щоб допомогти в перевірці на сумісність програм, написаних з попередніми версіями. Я не використав весь потенціал цієї версії для розробки професійних якісних користувальницьких інтерфейсів, оскільки вважаю, що більш прості реалізації, що використовуються тут, наближають учня до формулювання та вирішення досліджуваних проблем.

Розробка та організація модулів CONNEXIONS була досягнута головним чином двома людьми: C.S. (Sid) Burrus, колишній студент, а пізніше колега факультету, потім декан інженерії, а головне - давній друг; і Даніель Вільямсон, музичний майор, чиї навички клавіатури дозволили йому налаштувати текст (особливо математичні вирази) з великою точністю, і чия відданість завданню призвела до покращення презентації. Я дякую їм та іншим команді CONNEXIONS, які внесли свій внесок у публікацію цієї роботи.

Пол Пфайффер

Університет Райса