17.4: Нерівність

\(\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\)\(\newcommand{\D}{\mathbb{D}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)

Основна теорія

У цьому розділі ми вивчимо ряд цікавих нерівностей, пов'язаних з мартингалами і їх двоюрідними братами субмартингалом і супер-мартингейлом. Вони виявляються дуже важливими як з теоретичних причин, так і для додатків. Вам багатьом потрібно переглянути інфімуми і супремуми.

Основні припущення

Як і у Вступі, ми починаємо зі стохастичного процесу\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) на базовому просторі ймовірностей\( (\Omega, \mathscr{F}, \P) \), що має простір стану\( \R \), і де набір індексу\( T \) (що представляє час) або\( \N \) (дискретний час) або\( [0, \infty) \) (безперервний час). Далі у нас є фільтрація\(\mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \), і ми припускаємо, що\( \bs{X} \) адаптована до\( \mathfrak{F} \). Так\( \mathfrak{F} \) зростає сімейство\( \sigma \) суб-алгебр\( \mathscr{F} \) і\( X_t \) є вимірним щодо\( \mathscr{F}_t \) для\( t \in T \). Ми думаємо про збір подій до часу\( t \in T \).\( \mathscr{F}_t \) Ми припускаємо\( \E\left(\left|X_t\right|\right) \lt \infty \), що, так що середнє\( X_t \) існує як дійсне число, для кожного\( t \in T \). Нарешті, у безперервному часі\( T = [0, \infty) \), де ми робимо стандартні припущення, які\( t \mapsto X_t \) є правими безперервними і мають ліві межі, і що фільтрація\( \mathfrak F \) є правою безперервною і повною.

Максимальні нерівності

Для мотивації розглянемо модифікований варіант нерівності Маркова, названий на честь Андрія Маркова.

Якщо\( X \) є дійсною випадковою величиною, то\[ \P(X \ge x) \le \frac{1}{x} \E(X ; X \ge x), \quad x \in (0, \infty) \]

Доказ

Модифікована версія має по суті такий же елегантний доказ, як і оригінал. Чітко\[ x \bs{1}(X \ge x) \le X \bs{1}(X \ge x), \quad x \in (0, \infty) \] приймаючи очікувані значення через нерівність дає\( x \P(X \ge x) \le \E(X; X \ge x) \). Поділ обох сторін на\( x \) дає результат (і саме в цей момент нам і потрібен\( x \gt 0. \)).

Таким чином, нерівність Маркова дає верхню межу ймовірності, яка\( X \) перевищує задане позитивне значення\( x \), з точки зору моменту\( X \). Тепер повернемося до нашого стохастичного процесу\( \bs X = \{X_t: t \in T\} \). Щоб спростити позначення, нехай\( T_t = \{s \in T: s \le t\} \) за\( t \in T \). Ось основне визначення:

Для процесу\( \bs X \) визначте відповідний максимальний процес\( \bs U = \{U_t: t \in T\} \) шляхом\[ U_t = \sup\{X_s: s \in T_t\}, \quad t \in T \]

Зрозуміло, що максимальний процес збільшується, так що якщо\( s, \, t \in T \) з\( s \le t \) то\( U_s \le U_t \). Тривіальне застосування нерівності Маркова вище дасть\[ \P(U_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(U_t; U_t \ge x), \quad x \gt 0 \] Але коли\( \bs X \) це суб-мартінгейл, наступна теорема дає набагато сильніший результат, замінюючи перший збіг праворуч\( U_t \) на\( X_t \). Теорема відома як максимальна нерівність суб-мартингала Дуба (або простіше, як нерівність Дуба), названа ще раз для Джозефа Дуба, який зробив більшу частину піонерської роботи над мартингалами. Суб-мартінгейл має зростаючу властивість роду в тому сенсі, що якщо\( s, \, t \in T \) з\( s \le t \) потім\( \E(X_t \mid \mathscr{F}_s) \ge X_s \), так що це, можливо, не зовсім дивно, що таке пов'язане можливо.

Припустимо, що\( \bs X \) це суб-мартингейл. Бо\( t \in T \), нехай\( U_t = \sup\{X_s: s \in T_t\} \). Тоді\[ \P(U_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(X_t; U_t \ge x), \quad x \in (0, \infty) \]

Доказ в дискретному часі

Так\( T = \N \) і максимальний процес задається\( U_n = \max\left\{X_k: k \in \N_n\right\} \) for\( n \in \N \). Нехай\( x \in (0, \infty) \), і визначити,\( \tau_x = \min\{k \in \N: X_k \ge x\} \) де, як зазвичай,\( \min(\emptyset) = \infty \). Випадковий час\( \tau_x \) - це час зупинки щодо\( \mathfrak F \). Крім того, процеси\( \{U_n: n \in \N\} \) і\( \{\tau_x: x \in (0, \infty)\} \) обертаються в тому сенсі, що для\( n \in \N \) і\( x \in (0, \infty) \),\[ U_n \ge x \text{ if and only if } \tau_x \le n \] Ми бачили цей тип подвійності раніше—в процесі Пуассона і в цілому в процесах оновлення. Нехай\( n \in \N \). Спочатку зверніть увагу, що\[ \E\left(X_{\tau_x \wedge n}\right) = \E\left(X_{\tau_x \wedge n}; \tau_x \le n\right) + \E\left(X_{\tau_x \wedge n}; \tau_x \gt n\right) \] Якщо\( \tau_x \le n \) тоді\( X_{\tau_x \wedge n} = X_{\tau_x} \ge x \). З іншого боку, якщо\( \tau_x \gt n \) тоді\( X_{\tau_x \wedge n} = X_n \). Таким чином, ми маємо\[ \E\left(X_{\tau_x \wedge n}\right) \ge x \P(\tau_x \le n) + \E(X_n; \tau_x \gt n) = x \P(U_t \ge x) + \E(X_n; \tau_x \gt n) \] аналогічно,\[ \E(X_n) = \E(X_n; \tau_x \le n) + \E(X_n; \tau_x \gt n) = \E(X_n; U_t \ge x) + \E(X_n; \tau_x \gt n) \] Але за необов'язковою зупинкою теореми,\( \E\left(X_{\tau_x \wedge n}\right) \le \E(X_n) \). Отже, ми маємо\[ x \P(U_t \ge x) + \E(X_n; \tau_x \gt n) \le \E(X_n; U_t \ge x) + \E(X_n; \tau_x \gt n)\] Віднімання загального терміна, а потім ділення обох сторін на\( x \) дає результат.

Доказ в безперервному часі

Для\( k \in \N \), давайте\( \D^+_k = \{j / 2^k: j \in \N\} \) позначимо набір невід'ємних діадичних раціональних (або двійкових раціоналів) рангу\( k \) або менше. Для\( t \in [0, \infty) \) нехай\( T^k_t = (\D^+_k \cap [0, t]) \cup \{t\} \), так що\( T^k_t \) це кінцевий набір таких діадичних раціональних, які менше\( t \), ніж, з\( t \) додається до набору. Зверніть увагу, що\( T^k_t \) має впорядковане перерахування, так\( \bs{X}^k = \{X_s: s \in T^k_t\} \) це дискретний час суб-мартінгейл для кожного\( k \in \N \). Нехай\( U^k_t = \sup\{X_s: s \in T^k_t\} \) для\( k \in \N \). Зверніть увагу, що\( T^j_t \subset T^k_t \subset [0, t] \) для\( t \in [0, \infty) \) і для\( j, \, k \in \N \) з\( j \lt k \) і тому\( U^j_t \le U^k_t \le U_t \). Звідси випливає\( x \in (0, \infty) \), що для,\[ \left\{U^j_t \ge x\right\} \subseteq \left\{U^k_t \ge x\right\} \subset \{U_t \ge x\} \]\( \D^+ \) Безліч всіх ненегативних діадичних раціональних є щільним в\( [0, \infty) \) і так як\( \bs X \) правий безперервний і має ліві межі, то випливає, що якщо\( U_t \ge x \) потім\( U^k_t \ge x \) для деяких\( k \in \N \). Тобто, ми маємо\[ \{U_t \ge x\} = \bigcup_{k=0}^\infty \left\{U^k_t \ge x\right\} \] Максимальна нерівність застосовується до дискретного часу суб-мартінгейлу\( \bs{X}^k \) і так\[ P(U^k_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(X_t; U^k_t \ge x) \] для кожного\( k \in \N \). За теоремою монотонної збіжності ліва сторона сходиться до\( \P(U_t \ge x) \) as,\( k \to \infty \) а права - до\( \E(X; U_t \ge x) \) як\( k \to \infty \).

Існує ряд простих наслідків максимальної нерівності. Для першого нагадаємо, що позитивна частина\( x \in \R \) є\( x^+ = x \vee 0 \), так що\( x^+ = x \) якщо\( x \gt 0 \) і\( x^+ = 0 \) якщо\( x \le 0 \).

Припустимо, що\( \bs X \) це суб-мартингейл. Бо\( t \in T \), нехай\( V_t = \sup\{X_s^+: s \in T_t\} \). Тоді\[ \P(V_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(X_t^+; V_t \ge x), \quad x \in (0, \infty) \]

Доказ

Нагадаємо, що оскільки\( \bs X \) є субмартінгейлом і\( x \mapsto x^+ \) є зростаючим і опуклим,\( \bs X^+ = \{X_t^+: t \in T\} \) є також субмартінгейл. Звідси результат випливає із загальної максимальної нерівності для субмартингалів.

Як подальший простий наслідок, зверніть увагу, що\[ \P(V_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(X_t^+), \quad x \in (0, \infty) \] Це іноді, як максимальна нерівність дається в літературі.

Припустимо, що\( \bs X \) це мартингейл. Бо\( t \in T \), нехай\( W_t = \sup\{|X_s|: s \in T_t\} \). Тоді\[ \P(W_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(|X_t|; W_t \ge x), \quad x \in (0, \infty) \]

Доказ

Нагадаємо, що оскільки\( \bs X \) є мартингейлом, а\( x \mapsto |x| \) є опуклим,\( |\bs X| = \{|X_t|: t \in T\} \) є субмартінгейлом. Звідси результат випливає із загальної максимальної нерівності для субмартингалів.

Ще раз, подальшим простим наслідком є\[ \P(W_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(|X_t|), \quad x \in (0, \infty) \] Далі нагадаємо, що для\( k \in (1, \infty) \),\( k \) -норма дійсної випадкової величини\( X \) є\( \|X\|_k = \left[\E(|X|^k)\right]^{1/k} \), а векторний простір\( \mathscr{L}_k \) складається з усіх дійсних випадкових величин, для яких ця норма є кінцевою. Наступна теорема є нормою версії максимальної нерівності Дуба.

Припустимо ще раз, що\( \bs X \) це мартингейл. Бо\( t \in T \), нехай\( W_t = \sup\{|X_s|: s \in T_t\} \). Тоді для того\( k \gt 1 \),\[ \|W_t\|_k \le \frac{k}{k - 1} \|X_t\|_k\]

Доказ

Виправити\( t \in T \). Якщо\( \E(|X_t|^k) = \infty \), нерівність тривіально тримає, так припустимо\( \E(|X_t|^k) \lt \infty \), що, і таким чином, що\( X_t \in \mathscr{L}_k \). Доказ принципово спирається на нерівність Гельдера, і для того, щоб ця нерівність працювала, нам потрібно обрізати змінну\( W_t \) і розглянути замість цього обмежену випадкову величину\( W_t \wedge c \) де\( c \in (0, \infty) \). Спочатку нам потрібно показати, що\[ \P(W_t \wedge c \ge x) \le \frac{1}{x} \E(|X_t|; W_t \wedge c \ge x), \quad x \in (0, \infty) \] якщо\( c \lt x \), обидві сторони 0. Якщо\( c \ge x \),\( \{W_t \wedge c \ge x\} = \{W_t \ge x\} \) і так з максимальної нерівності вище,\[ \P(W_t \wedge c \ge x) = \P(W_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(|X_t|; W_t \ge x) = \E(|X_t|; W_t \wedge c \ge x) \] Далі нагадаємо, що\[ \|W_t \wedge c\|_k^k = \E[(W_t \wedge c)^k] = \int_0^\infty k x^{k-1} \P(W_t \wedge c \ge x) dx \] Застосування нерівності дає\[ \E[(W_t \wedge c)^k] \le \int_0^\infty k x^{k-2} \E[|X_t|; W_t \wedge c \ge x] dx \] За теоремою Фубіні ми можемо обмінюватися очікуваним значенням і інтегралом, який дає\[ \E[(W_t \wedge c)^k] \le \E\left[\int_0^{W_t \wedge c} k x^{k-2} |X_t| dx\right] = \frac{k}{k - 1} \E[|X_t| (W_t \wedge c)^{k-1}] \] Але\( X_t \in \mathscr{L}_k \) і\( (W_t \wedge c)^{k-1} \in \mathscr{L}_j \) де \( j = k / (k - 1) \)є показником, сполученим до\( k \). Отже, застосування нерівності Гельдера дає,\[ \|W_t \wedge c\|_k^k \le \frac{k}{k - 1}\|X_t\|_k \, \|(W_t \wedge c)^{k-1}\|_j = \frac{k}{k - 1}\|X_t\|_k \|W_t \wedge c\|_k^{k-1} \] де ми використовували простий факт, що\( \|(W_t \wedge c)^{k-1}\|_j = \|W_t \wedge c\|_k^{k-1} \). Ділення на цей коефіцієнт дає\[ \|W_t \wedge c\|_k \le \frac{k}{k - 1} \|X_t\|_k \] остаточно,\( \|W_t \wedge c\|_k \uparrow \|W_t\|_k\) як\( c \to \infty \) за теоремою монотонної збіжності. Таким чином,\( c \to \infty \) ввівши останнє відображається рівняння дає\[ \|W_t\|_k \le \frac{k}{k - 1} \|X_t\|_k \]

Знову ж таки,\( \bs W = \{W_t: t \in T\} \) це максимальний процес, пов'язаний з\( |\bs X| = \{\left|X_t\right|: t \in T\} \). Як зазначається в доказі,\( j = k / (k - 1) \) є показником сполучених до\( k \), задовольняючи\( 1 / j + 1 / k = 1 \). Так що ця версія максимальної нерівності стверджує, що\( k \) норма максимуму мартингейла\( \bs X \) на\( T_t \) обмежена в\( j \) рази\( k \) нормою\( X_t \), де\( j \) і\( k \) є сполученими показниками. Зазначена лише з точки зору очікуваного значення, а не норм,\( \mathscr{L}_k \) максимальна нерівність є\[ \E\left(\left|W_t\right|^k\right) \le \left(\frac{k}{k - 1}\right)^k \E\left(\left|X_t\right|^k\right) \] нашим кінцевим результатом у цій дискусії є варіація максимальної нерівності для супер-мартингалів.

Припустимо, що\( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) це ненегативний супер-мартінгейл, і нехай\( U_\infty = \sup\{X_t: t \in T\} \). Тоді\[ \P(U_\infty \ge x) \le \frac{1}{x} \E(X_0), \quad x \in (0, \infty) \]

Доказ

Нехай\( Y_t = -X_t \) для\( t \in T \). Так як\( \bs X \) є супер-мартінгейл,\( \bs Y \) є суб-мартінгейл. А так як\( \bs X \) ненегативний,\( Y_t^+ = X_t \) для\( t \in T \). Нехай\( U_t = \sup\{X_s: s \in T_t\} = \sup\{Y_s^+: s \in T_t\} \) для\( t \in T \). До максимальної нерівності для суб-мартінгалес, а\( \bs X \) так як супер-мартінгейл ми маємо для\( t \in T \),\[ \P(U_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(Y_t^+) = \frac{1}{x} \E(X_t) \le \frac{1}{x} \E(X_0), \quad x \in (0, \infty) \] Далі зверніть увагу, що\( U_t \uparrow U_\infty \) як\( t \to \infty \). Нехай\( x \in (0, \infty) \) і\( \epsilon \in (0, x) \). Якщо\( U_\infty \ge x \) то\( U_t \ge x - \epsilon \) для досить великих\( t \in T \). Отже,\[ \{U_\infty \ge x\} \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty \{U_k \ge x - \epsilon\} \] Використання теореми безперервності для збільшення подій, і наш результат вище ми маємо\[ \P(U_\infty \ge x) \le \lim_{k \to \infty} \P(U_k \ge x - \epsilon) \le \frac{1}{x - \epsilon} \E(X_0) \] Оскільки це триває для всіх\( \epsilon \in (0, x) \), випливає, що\( \P(U_\infty \ge x) \le \frac{1}{x} \E(X_0) \).

Нерівність, що перетинає

Нерівність, що перетинає вгору, дає пов'язане з тим, наскільки суб-мартінгейл (або супер-мартінгейл) може коливатися, і є основним інструментом у теоремах конвергенції мартингейла, які будуть вивчені в наступному розділі. Наразі не повинно стати несподіванкою, що нерівність пов'язана з Джозефом Дубом. Починаємо з випадку дискретного часу.

Припустимо, що\( \bs x = (x_n: n \in \N) \) це послідовність дійсних чисел, і що\( a, \, b \in \R \) з\( a \lt b \). Визначити,\( t_0(\bs x) = 0 \) а потім рекурсивно визначити\ begin {align*} s_ {k+1} (\ bs x) & =\ inf\ {n\ in\ N: n\ ge t_k (\ bs x), x_n\ le a\},\ quad k\ in\ N\\ t_ {k+1} (\ bs x) & =\ inf\ {n\ in\ N: n\ ge {k+1} (\ bs x), x_n\ ge b\},\ quad k\ in\ N\ end {align*}

1. Число вгору-перетинів інтервалу\( [a, b] \) за послідовністю\( \bs x \) до часу\( n \in \N \) дорівнює\[ u_n(a, b, \bs x) = \sup\{k \in \N: t_k(\bs x) \le n\} \]
2. Загальна кількість вгору-перетинів інтервалу\( [a, b] \) за послідовністю\( \bs x \) дорівнює\[ u_\infty(a, b, \bs x) = \sup\{k \in \N: t_k(\bs x) \lt \infty\} \]

Подробиці

Як завжди, визначаємо\( \inf(\emptyset) = \infty \). Зверніть увагу\( k \in \N_+ \), що якщо\( t_k(\bs x) \lt \infty \) for, то\( (x_n: n = s_k(\bs x), \ldots t_k(\bs x)) \) це\( k \) -й перетин інтервалу\( [a, b] \) послідовністю\( \bs x \).

Так неофіційно, як випливає з назви,\( u_n(a, b, \bs x) \) це кількість разів, що послідовність\( (x_0, x_1, \ldots, x_n) \) йде від значення нижче\( a \) до одного вище\( b \), і\( u(a, b, \bs x) \) це кількість разів вся послідовність\( \bs x \) йде від значення нижче\( a \) до одного вище\( b \). Ось кілька простих властивостей:

Припустимо знову, що\( \bs x = (x_n: n \in \N) \) це послідовність дійсних чисел і що\( a, \, b \in \R \) з\( a \lt b \).

1. \( u_n(a, b, \bs x) \)збільшується в\( n \in \N \).
2. \( u_n(a, b, \bs x) \to u(a, b, \bs x) \)як\( n \to \infty \).
3. Якщо\( c, \, d \in \R \) з\( a \lt c \lt d \lt b \) то\( u_n(c, d, \bs x) \ge u_n(a, b, \bs x) \) для\( n \in \N \), і\( u(c, d, \bs x) \ge u(a, b, \bs x) \).

Доказ

1. Зауважте, що\(\{k \in \N: t_k(\bs x) \le n\} \subseteq \{k \in \N: t_k(\bs x) \le n + 1\}\).
2. Зауважте, що\( \bigcup_{n=0}^\infty \{k \in \N: t_k(\bs x) \le n\} = \{k \in \N: t_k(\bs x) \le \infty\} \).
3. Кожен перетин також\( [a, b] \) є перетином вгору\( [c, d] \).

Важливість визначень з'ясовується в наступній теоремі. Нагадаємо, що\( \R^* = \R \cup \{-\infty, \infty\} \) це множина розширених дійсних чисел, і\( \Q \) являє собою безліч раціональних дійсних чисел.

Припустимо ще раз, що\( \bs x = (x_n: n \in \N) \) це послідовність дійсних чисел. Тоді\( \lim_{n \to \infty} x_n \) існує в\( \R^* \) є і тільки якщо\( u_\infty(a,b, \bs x) \lt \infty\) для кожного\( a, \, b \in \Q \) з\( a \lt b \).

Доказ

Доводимо контрапозитив. Зверніть увагу, що такі твердження еквівалентні:

1. \( \lim_{n \to \infty} x_n \)не існує в\( \R^* \).
2. \( \liminf_{n \to \infty} x_n \lt \limsup_{n \to \infty} x_n \).
3. Існує\( a, \, b \in \Q \) з\( a \lt b \) і з\( x_n \le a \) для нескінченно багатьох\( n \in \N \) і\( x_n \ge b \) для нескінченно багатьох\( n \in \N \).
4. Існує\( a, \, b \in \Q \) з\( a \lt b \) і\( u_\infty(a, b, \bs x) = \infty \).

Зрозуміло, що теорема істинна з\( \Q \) заміненою на\( \R \), але\( \Q \) підрахунок буде важливим у теоремі збіжності мартингейла. Як простий наслідок, якщо\( \bs x \) обмежений і\( u_\infty(a, b, \bs x) \lt \infty \) для кожного\( a, \, b \in \Q \) з\( a \lt b \), то\( \bs x \) сходиться в\( \R \). Нерівність перетину вгору для мартингейла дискретного часу\( \bs X \) дає верхню межу очікуваної кількості перетинів\( \bs X \) вгору до часу з\( n \in \N \) точки зору моменту\( X_n \).

Припустимо, що\( \bs X = \{X_n: n \in \N\} \) задовольняє основні припущення щодо фільтрації\( \mathfrak F = \{\mathscr{F}_n: n \in \N\} \), і нехай\( a, \, b \in \R \) с\( a \lt b \). Нехай\( U_n = u_n(a, b, \bs X) \), випадкове число\( [a, b] \) вгору-переходів\( \bs X \) до часу\( n \in \N\).

1. Якщо\( \bs X \) супер-мартингейл щодо\( \mathfrak F \) то\[ \E(U_n) \le \frac{1}{b - a} \E[(X_n - a)^-] \le \frac{1}{b - a}\left[\E(X_n^-) + |a|\right] \le \frac{1}{b - a} \left[\E(|X_n|) + |a|\right], \quad n \in \N \]
2. Якщо\( \bs X \) є суб-мартингейлом відносно\( \mathfrak F \) то\[ \E(U_n) \le \frac{1}{b - a} \E[(X_n - a)^+] \le \frac{1}{b - a}\left[\E(X_n^+) + |a|\right] \le \frac{1}{b - a}\left[\E(|X_n|) + |a|\right], \quad n \in \N \]

Доказ

У контексті вищезазначеного визначення, нехай\( \sigma_k = s_k(\bs X) \) і\( \tau_k = t_k(\bs X) \). Це випадкові часи, які визначають переходи вгору\( \bs X \). Нехай,\( Y_k = X_{\tau_k \wedge n} - X_{\sigma_k \wedge n} \) а потім визначте\( Z_n = \sum_{k=1}^n Y_k \). Щоб зрозуміти суму, візьмемо відмінки\( k \) за термін\( Y_k \):

• Якщо\( \tau_k \le n \) тоді\( Y_k = X_{\tau_k} - X_{\sigma_k} \ge b - a \). За визначенням перші\( U_n \) терміни мають таку форму.
• Якщо\( \sigma_k \le n \lt \tau_k \) тоді\( Y_k = X_n - X_{\sigma_k} \ge X_n - a \). Існує максимум один такий термін, з індексом\( k = U_n + 1 \).
• Якщо\( \sigma_k \gt n \) тоді\( Y_k = X_n - X_n = 0 \).

Звідси\( Z_n \ge (b - a)U_n + (X_n - a) \bs{1} \left(\sigma_{U_n + 1} \le n\right) \) і так\( (b - a)U_n \le Z_n - (X_n - a) \bs{1} \left(\sigma_{U_n + 1} \le n\right) \) Далі зверніть увагу, що\( \sigma_k \wedge n \) і\( \tau_k \wedge n \) обмежені час зупинки і звичайно\( \sigma_k \wedge n \le \tau_k \wedge n \).

1. Якщо\( \bs X \) супер-мартингейл, то з необов'язкової теореми зупинки випливає, що\[ \E(Y_k) = \E\left(X_{\tau_k \wedge n}\right) - \E\left(X_{\sigma_k \wedge n}\right) \le 0 \] і тому\( \E(Z_n) \le 0 \). Нарешті,\(-(X_n - a) \bs{1} \left(\sigma_{U_n + 1} \le n\right) \le (X_n - a)^-\). Прийняття очікуваних значень дає\[(b - a) \E(U_n) \le \E(Z_n) + \E[(X_n - a)^-] \le \E[(X_n - a)^-]\] Решта частин нерівності слідують з\( (x - a)^- \le x^- + |a| \le |x| + |a| \) тих пір\( x \in \R \).

Додаткові реквізити

Процес\( \bs Z = \{Z_n: n \in \N\} \) у доказі можна розглядати як перетворення\( \bs X = \{X_n: n \in \N\} \) за допомогою передбачуваного процесу. Зокрема, для\( n \in \N_+ \), нехай\( I_n = 1 \) якщо\( \sigma_k \lt n \le \tau_k \) для деяких\( k \in \N \), і нехай\( I_n = 0 \) інакше. Так як\( \sigma_k \) і\( \tau_k \) зупиняються часи, зверніть увагу, що\( \{I_n = 1\} \in \mathscr{F}_{n-1} \) для\( n \in \N_+ \). Звідси процес\( \bs I = \{I_n: n \in \N_+\} \) є передбачуваним щодо\( \mathfrak F \). Більш того, перетворення\( \bs X \) by\( \bs I \) є\[ (\bs I \cdot \bs X)_n = \sum_{j=1}^n I_j (X_j - X_{j-1}) = \sum_{k=1}^n \left(X_{\tau_k \wedge n} - X_{\sigma_k \wedge n}\right) = Z_n, \quad n \in \N \] Since\( \bs I \) є ненегативним процесом, якщо\( \bs X \) це мартингейл (суб-мартінгейл, супер-мартінгейл), то також\( \bs I \cdot \bs X \) є мартингейлом (суб-мартінгейл, супер-мартінгейл).

Звичайно, якщо\( \bs X \) це мартингейл стосовно,\( \mathfrak F \) то застосовуються обидві нерівності. У безперервний час, як зазвичай, поняття складніше і технічніше.

Припустимо, що\( \bs x: [0, \infty) \to \R \) і що\( a, \, b \in \R \) з\( a \lt b \).

1. Якщо\( I \subset [0, \infty) \) скінченне, визначте,\( t^I_0(\bs x) = 0 \) а потім рекурсивно визначте\ begin {align*} S^i_ {k+1} (\ bs x) & =\ inf\ left\ {t\ in I: t\ ge t^i_k (\ bs x), x_t\ le a\ right\},\ quad k\ in\ N\ t^i_ {k+1} (\ bs x) &\\ inf\ ліворуч\ {t\ in I: t\ ge S^i_ {k+1} (\ bs x), x_t\ ge b\ праворуч\},\ quad k\ in\ N\ end {align*} кількість перетинів інтервалу\( [a, b] \) функцією,\( \bs x \) обмеженою до\( I \) є\[ u_I(a, b, \bs x) = \sup \left\{k \in \N: t^I_k(\bs x) \lt \infty\right\} \]
2. Якщо\( I \subseteq [0, \infty) \) нескінченно, то кількість переходів вгору інтервалу\( [a, b] \)\( \bs x \) обмеженою до\( I \) дорівнює\[ u_I(a, b, \bs x) = \sup\{u_J(a, b, \bs x): J \text{ is finite and } J \subset I\} \]

Щоб спростити позначення, ми дозволимо\( u_t(a, b, \bs x) = u_{[0, t]}(a, b, \bs x) \), кількість вгору-переходів\( [a, b] \)\( \bs x \) по по\( [0, t] \), і\( u_\infty(a, b, \bs x) = u_{[0, \infty)}(a, b, \bs x) \), загальна кількість вгору-переходів\( [a, b] \) по\( \bs x \). У безперервному часі визначення висхідних перетинів будується з скінченних\( [0, \infty) \) підмножин проблем вимірюваності, які виникають при заміні детермінованої функції\( \bs x \) стохастичним процесом\( \bs X \). Ось прості властивості, які аналогічні нашим попереднім.

Припустимо ще раз, що\( \bs x: [0, \infty) \to \R \) і що\( a, \, b \in \R \) с\( a \lt b \).

1. Якщо\( I, \, J \subseteq [0, \infty) \) з\( I \subseteq J \), то\( u_I(a, b, \bs x) \le u_J(a, b, \bs x) \).
2. Якщо\( (I_n: n \in \N) \) є зростаючою послідовністю множин в,\( [0, \infty) \) а\( J = \bigcup_{n=0}^\infty I_n \) потім\( u_{I_n}(a, b, \bs x) \to u_J(a, b, \bs x) \) як\( n \to \infty \).
3. Якщо\( c, \, d \in \R \) з\( a \lt c \lt d \lt b \) і\( I \subset [0, \infty) \) то\( u_I(c, d, \bs x) \ge u_I(a, b, \bs x) \).

Доказ

1. Результат легко випливає з визначень, якщо\( I \) є кінцевим (і\( J \) або скінченним, або нескінченним). Якщо\( I \) нескінченно (а отже, так і є\( J \)), зверніть увагу, що\[ \{u_K(a, b, \bs x): K \text{ is finite and } K \subseteq I\} \subseteq \{u_K(a, b, \bs x): K \text{ is finite and } K \subseteq J\} \]
2. Так як\( I_n \) збільшується в\( n \in \N \) (в підмножині часткового порядку), зверніть увагу,\( K \subset [0, \infty)\) що якщо кінцевий, то\( K \subseteq J \) якщо і тільки якщо\( K \subseteq I_n \) для деяких\( n \in \N \).
3. Кожен перетин вгору\( [a, b] \) є перетином вгору\( [c, d] \).

Наступний результат є приводом для вивчення наверх переходів в першу чергу. Зауважте, що визначення, побудоване з скінченної множини, є достатнім.

Припустимо, що\( \bs x: [0, \infty) \to \R \). Тоді\( \lim_{t \to \infty} x_t \) існує в\( \R^* \) якщо і тільки якщо\( u_\infty(a, b, \bs x) \lt \infty \) для кожного\( a, \, b \in \Q \) з\( a \lt b \).

Доказ

Як і у випадку з дискретним часом, ми доводимо контрапозитив. Доказ майже однаковий: Наступні твердження еквівалентні:

1. \( \lim_{t \to \infty} x_t \)не існує в\( \R^* \).
2. \( \liminf_{t \to \infty} x_t \lt \limsup_{t \to \infty} x_t \).
3. Існує\( a, \, b \in \Q \) з\( a \lt b \) і існує\( s_n, \, t_n \in [0, \infty) \) з\( x_{s_n} \le a \) for\( n \in \N \) і\( x_{t_n} \ge b \) for\( n \in \N \).
4. Існує\( a, \, b \in \Q \) з\( a \lt b \) і\( u_\infty(a, b, \bs x) = \infty \).

Нарешті, ось нерівність, що перетинає, для мартингалів у безперервному часі. Знову ж таки, нерівність дає прив'язку до очікуваної кількості переходів вгору.

Припустимо, що\( \bs X = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) задовольняє основні припущення щодо фільтрації\( \mathfrak F = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \), і нехай\( a, \, b \in \R \) с\( a \lt b \). Нехай\( U_t = u_t(a, b, \bs X) \), випадкове число\( [a, b] \) вгору-переходів\( \bs X \) до часу\( t \in [0, \infty) \).

1. Якщо\( \bs X \) супер-мартингейл щодо\( \mathfrak F \) то\[ \E(U_t) \le \frac{1}{b - a} \E[(X_t - a)^-] \le \frac{1}{b - a}\left[\E(X_t^-) + |a|\right] \le \frac{1}{b - a}\left[\E(|X_t|) + |a|\right], \quad t \in [0, \infty) \]
2. Якщо\( \bs X \) є суб-мартингейлом відносно\( \mathfrak F \) то\[ \E(U_t) \le \frac{1}{b - a} \E[(X_t - a)^+] \le \frac{1}{b - a} \left[\E(X_t^+) + |a|\right] \le \frac{1}{b - a} \left[\E(|X_t|) + |a|\right], \quad t \in [0, \infty) \]

Доказ

Припустимо, що\( \bs X \) це субмартінгейл; доказ супер-мартінгейла аналогічний. Фіксуємо\( t \in [0, \infty) \) і\( a, \, b \in \R \) с\( a \lt b \). Для\( I \subseteq [0, \infty) \) нехай\( U_I = u_I(a, b, \bs X) \), кількість вгору-переходів\( [a, b] \) по\( \bs X \) обмежена до\( I \). Припустимо, що\( I \) є кінцевим, і\( t \in I \) це максимум\( I \). Оскільки\( \bs X \) обмежений також\( I \) є суб-мартінгейлом, діє теорема про перетин дискретного часу\( U_t = \sup\{U_I: I \text{ is finite and } I \subset [0, t]\} \), і тому\[ \E(U_I) \le \frac{1}{b - a} \E[(X_t - a)^+] \] Оскільки існує\( I_n \) скінченна для\( n \in \N \) з\( U_{I_n} \uparrow U_t \) as\( n \to \infty \). Зокрема,\( U_t \) вимірюється. За властивістю (а) в теоремі вище існує така послідовність зі\( I_n \) збільшенням в\( n \) і\( t \in I_n \) для кожного\( n \in \N \). За теоремою монотонної збіжності,\( \E\left(U_{I_n}\right) \to \E(U_t) \) як\( n \to \infty \). Отже, за відображеним рівнянням вище,\[ \E(U_t) \le \frac{1}{b - a} \E[(X_t - a)^+] \]

Приклади і застосування

Нерівність Колмогорова

Припустимо, що\( \bs X = \{X_n: n \in \N_+\} \) це послідовність незалежних змінних з\( \E(X_n) = 0 \) і\( \var(X_n) = \E(X_n^2) \lt \infty \) for\( n \in \N_+ \). Дозвольте\( \bs Y = \{Y_n: n \in \N\} \) бути процес часткової суми, пов'язаний з\( \bs X \), так що\[ Y_n = \sum_{i=1}^n X_i, \quad n \in \N \] З Введення ми знаємо, що\( \bs Y \) це мартингейл. Просте застосування максимальної нерівності дає наступний результат, який відомий як нерівність Колмогорова, назване на честь Андрія Колмогорова.

Бо\( n \in \N \), нехай\( U_n = \max\left\{\left|Y_i\right|: i \in \N_n\right\} \). Тоді\[ \P(U_n \ge x) \le \frac{1}{x^2} \var(Y_n) = \frac{1}{x^2} \sum_{i=1}^n \E(X_i^2), \quad x \in (0, \infty)\]

Доказ

Як зазначалося вище,\( \bs Y \) являє собою мартингейл. Оскільки функція\( x \mapsto x^2 \) on\( \R \) опукла,\( \bs{Y}^2 = \{Y_n^2: n \in \N\} \) є суб-мартінгейлом. Нехай\( V_n = \max\{Y_i^2: i \in \N_n\} \) за\( n \in \N \), і нехай\( x \in (0, \infty) \). Застосовуючи максимальну нерівність для суб-мартингалів ми маємо\[ \P(U_n \ge x) = \P(V_n \ge x^2) \le \frac{1}{x^2} \E(Y_n^2) = \frac{1}{x^2} \var(Y_n)\] Нарешті, оскільки\( \bs X \) є незалежною послідовністю,\[ \var(Y_n) = \sum_{i=1}^n \var(X_i) = \sum_{i=1}^n \E(X_i^2) \]

Червоний і чорний

У грі червоного і чорного, гравець грає послідовність ігор Бернуллі з параметром успіху\( p \in (0, 1) \) при парних ставках. Азартний гравець починається з початкового стану\( x \) і грає до тих пір, поки вона не зруйнована або не досягне визначеного цільового\( a \) стану, де\( x, \, a \in (0, \infty) \) с\( x \lt a \). Коли\( p \le \frac{1}{2} \), щоб ігри були чесними або несправедливими, оптимальною стратегією є смілива гра: на кожну гру азартний гравець ставить весь свій стан або тільки те, що потрібно для досягнення мети, залежно від того, що менше. У розділі про сміливу гру ми показали\( p = \frac{1}{2} \), що коли, щоб ігри були чесними, ймовірність виграшу (тобто досягнення мети,\( a \) починаючи з\( x \)) є\( x / a \). Ми можемо використовувати максимальну нерівність для супер-мартингалів, щоб показати, що насправді не можна зробити краще.

Щоб налаштувати позначення і переглянути різні поняття, давайте\( X_0 \) позначимо початковий стан азартного гравця і нехай\( X_n \) позначимо результат гри\( n \in \N_+ \), де 1 позначає виграш і\( -1 \) програш. Так\( \{X_n: n \in \N\} \) послідовність незалежних змінних з\( \P(X_n = 1) = p \) і\( \P(X_n = -1) = 1 - p \) для\( n \in \N_+ \). (Початковий стан\( X_0 \) має невизначений розподіл на\( (0, \infty) \).) Гемблер в казино врешті-решт, так що звичайно\( p \le \frac{1}{2} \). Нехай\[ Y_n = \sum_{i=0}^n X_i, \quad n \in \N \] так,\( \bs Y = \{Y_n: n \in \N\} \) що процес часткової суми пов'язаний з\( \bs X = \{X_n: n \in \N\} \). Нагадаємо, що також\( \bs Y \) відома як проста випадкова прогулянка з параметром\( p \), а оскільки\( p \le \frac{1}{2} \), є супер-мартингейлом. Процес\( \{X_n: n \in \N_+\} \) являє собою різницеву послідовність, пов'язану з\( \bs Y \). Далі давайте\( Z_n \) позначимо суму, яку гравець робить ставку на гру\( n \in \N_+ \). Процес\( \bs Z = \{Z_n: n \in \N_+\} \) є передбачуваним щодо\( \bs X = \{X_n: n \in \N\} \), так\( Z_n \) що можна виміряти\( \sigma\{X_0, X_1, \ldots, X_{n-1}\} \) по відношенню до\( n \in \N_+ \). Таким чином, стан азартного гравця після\( n \) ігор є\[ W_n = X_0 + \sum_{i=1}^n Z_i X_i = X_0 + \sum_{i=1}^n Z_i (Y_i - Y_{i-1}) \] Нагадаємо, що\( \bs W = \{W_n: n \in \N\} \) це перетворення\( \bs Z \) з\( \bs Y \), позначається\( \bs W = \bs Z \cdot \bs Y \). Гемблеру заборонено йти в борги, і тому ми повинні мати\( Z_n \le W_{n-1} \) для\( n \in \N_+ \): ставка гравця на гру\( n \) не може перевищувати її стан після гри\( n - 1 \). Яка ймовірність того, що гравець може коли-небудь досягти або перевищити ціль,\( a \) починаючи з фортуни\( x \lt a \)?

Нехай\( U_\infty = \sup\{W_n: n \in \N\} \). Припустимо, що\( x, \, a \in (0, \infty) \) з\( x \lt a \) і що\( X_0 = x \). Тоді\[ \P(U_\infty \ge a) \le \frac{x}{a} \]

Доказ

Оскільки\( \bs Y \) є супер-мартингейлом і\( \bs Z \) є ненегативним, перетворення також\( \bs W = \bs Z \cdot \bs Y \) є супер-мартингейлом. За нерівністю для ненегативних супер-мартингалів вище:\[ \P(U_\infty \ge a) \le \frac{1}{a} \E(W_0) = \frac{x}{a} \]

Зверніть увагу, що єдиними припущеннями, зробленими на послідовності ставок гравця,\( \bs Z \) є те, що послідовність є передбачуваною, так що гравець не може бачити в майбутньому, і що гравець не може піти в борг. За цими основними припущеннями жодна стратегія не може зробити краще, ніж смілива гра. Однак є стратегії, які роблять, а також смілива гра; це варіації на сміливу гру.

Відкрийте симуляцію червоно-чорної гри. Виберіть жирним шрифтом грати і\( p = \frac{1}{2} \). Грайте в гру з різними значеннями початкових і цільових статків.